Download Matemáticas complejas and more Summaries Mathematics in PDF only on Docsity!
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
И ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Варианты расчетного задания для студентов I-го курса, обучающихся по программе бакалавриата
Москва 201 4
ВАРИАНТ 1
- ABCDEF – правильный шестиугольник. Выразить векторы
CD и DE через векторы AB a и BC b.
- Разложить вектор c ( 4 , 5 ) по векторам a ( 5 , 4 ) и
b ( 1 , 1 ).
3. Вычислить ( 2 a 2 b )( 7 a 2 b ), если a 2 , b 3 ,
a^ ^ b 300.
- Вычислить проекцию вектора a ( 5 , 2 , 5 ) на ось вектора
AB , если A (1, 1, 0) и B (1, 0, 2).
- При каком значении векторы a^ b и a^ b будут
ортогональны, если a ^4 и b ^6?
- Найти M (^) A ( F ) – момент силы F ( 3 , 3 , 3 ), приложенной
в точке B (3, 1, 5), относительно точки A (4, 2, 3).
- Вычислить
2
( a b )( a b ) , если a 2 , b 3 и
a b
- При каком значении векторы a (^3 ,^1 ,^4 ), b (^3 ,^1 ,^2 )и
c ( 3 , 2 , 6 ) будут компланарны?
- Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (2, 3) параллельно прямой, соединяющей точки B (1, 2 ) и С (1, 5 ).
- Составить уравнения сторон квадрата, если известны координаты вершины A (1, 8) и уравнения диагоналей
AC : 5 x 4 y 27 0 , BD : 4 x 5 y 3 0.
- Составить уравнение плоскости, которая проходит через
точку A (2, 1, 1) параллельно плоскости x 2 y 3 z 6 0.
ВАРИАНТ 2
- В параллелограмме ABCD AB a , AD b. Выразить
через a и b векторы MA и MB , если М точка пересечения диагоналей параллелограмма.
- Разложить вектор c ( 3 , 6 ) по векторам a ( 5 , 4 ) и
b ( 1 , 1 ).
3. Вычислить ( 3 a 2 b )( b 3 c ), если a ^2 , b ^1 , c ^8 ,
a ^ c b c 600 , a^ ^ b 900.
- Вычислить проекцию вектора a ( 3 , 2 , 2 ) на ось вектора
AB , если A (1, 2, 7) и B (4, 2, 7).
- При каком значении векторы a b и a b будут
ортогональны, если a 3 и b 5?
- Найти M^ A ( F ) – момент силы F = (4, 4, 4), приложенной в
точке B (4, 2, 5), относительно точки A (5, 3, 3).
- Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах a b и b как на сторонах, если a 1 , b 2 и
a^ ^ b 600.
- При каком значении векторы a (, 3 , 2 ), b ( 2 , 3 , 4 )
и c ( 3 , 12 , 6 )будут компланарны?
- Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (1, 2) параллельно прямой, соединяющей точки B (1, 0) и С (2, 3).
- Составить уравнения сторон квадрата, если известны координаты вершины A (0, 6) и уравнения диагоналей
AC : 5 x 4 y 24 0 , BD : 4 x 5 y 11 0.
- Составить уравнение плоскости, которая проходит через
точку A (1, 1, 0) параллельно плоскости 3 x 4 y 2 z 5 0.
- Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки: а) A (0, 2, 3) и B (3, 2, 1); б) A (1, 2, 4) и B (0, 1, 1).
- Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x y z и точку A (1, 2, 3).
- Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по второй строке:
- Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в ма- тричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.
x y z
x y z
x y z
- Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.
x y z
x y z
x y z
x y z
- Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку A (0, 1, 2) параллельно плоскости
5 x 7 y 4 z 3 0.
- Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки: а) A (4, 5, 13) и B (6, 0, 1); б) A (11, 0, 10) и B ( 1, 2, 3).
- Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x 1 2 t , y 2 t , z 10 2 t и точку A ( 7, 5, 3).
- Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по третьей строке:
- Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в ма- тричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.
x y z
x y
x y z
- Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.
x y z
x y z
x y z
x y z
ВАРИАНТ 4
- В трапеции ABCD отношение длины основания AD к
длине основания BC равно 2. Выразить вектор BC через a AC и b BD.
- Разложить вектор c ( 1 , 8 ) по векторам a ( 5 , 4 ) и
b ( 1 , 1 ).
3. Вычислить (^ a^ ^2 b ^3 c^ )^2 , если a ^2 , b ^1 , c ^8 ,
a^ ^ b 900 и a ^ c b c 600.
- Вычислить проекцию вектора a = (1, 2, 3) на ось вектора
AB , если A (3, 1, 4) и B (3, 3, 1).
- При каком значении векторы a b и a b будут
ортогональны, если a ^4 и b ^2?
- Найти M^ A ( F )– момент силы F (^6 ,^6 ,^6 ), приложенной в
точке B (6, 4, 5), относительно точки A (7, 5, 3).
- Найти площадь треугольника с вершинами A (1, 2, 3), B (5, 1, 4) и C (3, 2, 2).
- При каком значении векторы a ( 0 , 1 ,), b ( 1 , 0 ,)и
c ( 1 , 1 , 2 ) будут компланарны?
- Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (3, 2) параллельно прямой, соединяющей точки B ( 2, 1) и C (5, 1).
- В квадрате ABCD задана вершина A (1, 1) и точка пересечения диагоналей K (1,5; 2,5). Составить уравнения сторон и найти координаты остальных вершин.
ВАРИАНТ 5
- В треугольнике ABC точка М делит сторону AC на отрезки AM = 2 и MC = 3, а точка N делит сторону BC на отрезки BN = 3 и NC = 2. Выразить вектор MN через векторы a AC и b AB.
- Разложить вектор c ( 0 , 9 ) по векторам a ( 5 , 4 ) и
b ( 1 , 1 ).
3. Вычислить ( a b )( 3 a c ), если a ^1 , b ^4 , c ^2 ,
a ^ b b c 600 и a^ ^ c 900.
- Вычислить проекцию вектора a ( 1 , 2 , 3 )на ось вектора
AB , если A (5, 5, 5) и B (5, 3, 1).
- При каком значении векторы a b и a b будут
ортогональны, если a 3 и b 2?
- Найти M (^) A ( F )– момент силы F ( 1 , 1 , 1 ), приложенной
в точке B (8, 6, 5), относительно точки A (9, 7, 3).
- Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах ( 2 a b ) и ( 2 a b ) как на сторонах, если a ( 3 , 2 , 2 ) , b ( 1 , 2 , 1 ).
- При каком значении векторы a (^0 ,^1 ,), b (^1 ,^3 ,^4 )
и c ( 1 , 1 , 2 )будут компланарны?
- Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (2, 2) параллельно прямой, соединяющей точки B (0, 7) и С (7, 0).
- В квадрате ABCD задана вершина A (1, 1) и точка пересечения диагоналей K (2,5; 3,5). Составить уравнения сторон и найти координаты остальных вершин.
- Составить уравнение плоскости, которая проходит через
начало координат параллельно плоскости x y 2 z 11 0
- Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A (2, 0, 2) параллельно
прямой: x^ ^2 ^2 t , y^ ^3 ^3 t , z^ ^7 ^4 t.
- Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x y z и точку A (1, 1, 0).
- Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по второму столбцу:
- Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в ма- тричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.
x y z
x y z
x y z
- Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.
x y z
x y z
x y z
x y z
- Точка P (0, 1, 2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
- Составить параметрические уравнения прямой, проходя- щей через две заданные точки: а) A (3, 1, 2) и B (2, 1, 1); б) A (1, 1, 2) и B (3, 1, 0).
- Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x 1 t , y 1 t , z 2 2 t и точку A (2, 1, 3).
- Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по третьему столбцу:
- Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в ма- тричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.
x y z
x y z
x y z
- Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.
x y
x y z
x y z
x y z
ВАРИАНТ 7
- В треугольнике ABC точка М делит сторону AB на отрезки AM = 1 и MB = 3, а точка N делит сторону BC на отрезки BN = 2 и NC = 3. Выразить вектор MN через векторы a^ AB и b^ AC.
- Разложить вектор c ( 2 , 11 ) по векторам a ( 5 , 4 ) и
b ( 1 , 1 ).
3. Вычислить ( a 2 b )( b 2 c ), если a ^2 , b ^3 , c ^4 ,
a ^ c b c 900 и a^ ^ b 600.
- Вычислить проекцию вектора a ( 1 , 3 , 1 ) на ось вектора
AB , если A (5, 7, 6) и B (7, 9, 9).
- Вектор b коллинеарен вектору a ( 3 , 2 , 0 ). Найти b ,
если a b 26.
- Найти M (^) A ( F )– момент силы F ( 2 , 2 , 2 ), приложенной
в точке B (9, 7, 5), относительно точки A (10, 8, 3).
- Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах ( 3 a 2 b )и ( 2 a 3 b )как на сторонах, если a 2 ,
b 5 и 300
a b.
- Лежат ли точки A (1, 2, 1), B (0, 1, 5), C (1, 2, 1) и D (2, 1, 3) в одной плоскости?
- Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (1, 3) перпендикулярно к прямой, соединяющей точки B (2, 1) и С (8, 2).
- Известна точка пересечения диагоналей квадрата K (1,5; 3,5)
и уравнение одной из его сторон x 4 y 4 0. Найти
координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.
ВАРИАНТ 8
- В ромбе ABCD точка М делит сторону BC на отрезки BM = 2 и MC = 3, а точка N делит сторону AD на отрезки AN = 4 и ND = 1. Выразить вектор MN через векторы a AB и b AD.
- Разложить вектор c ( 3 , 12 ) по векторам a ( 5 , 4 ) и
b ( 1 , 1 ).
3. Вычислить ( a b c )^2 , если a ^2 , b ^3 , c ^4 ,
a ^ b b c 600 и a^ ^ c 900.
- Вычислить проекцию вектора a ( 2 , 3 , 4 ) на ось вектора
AB , если A (1, 1, 1) и B (3, 3, 2).
- Определить косинус угла между векторами a ( 1 , 1 , 1 ) и
b ( 2 , 2 , 2 ).
- Найти M (^) A ( F )– момент силы F ( 3 , 3 , 3 ), приложенной
в точке B (10, 8, 5), относительно точки A (11, 9, 3).
- Найти площадь треугольника, построенного на векторах
( a 2 b ) и ( 3 a 3 b ) как на сторонах, если a 5 , b 4 и
a^ ^ b 450.
- Лежат ли точки A (2,1,1), B (5, 5, 4), C (3, 2, 1) и D (4, 1, 3) в одной плоскости?
- Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (7, 1) и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки B (0, 2) и С (7, 1).
- Известна точка пересечения диагоналей квадрата K (2,5; 2,5)
и уравнение одной из его сторон 4 x y 4 0. Найти
координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.
- Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
C (3, 13, 7) перпендикулярно вектору AB , если A (1, 0, 2) и
B (2, 0, 1).
- Составить параметрические уравнения прямой, проходя- щей через две заданные точки: а) A (2, 3, 1) и B (1, 2, 3); б) A (0, 1, 2) и B (2, 0, 1).
- Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки A (1, 1, 3) на плоскость : z 1 0.
- Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по второй строке:
- Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в ма- тричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.
x y z
x y z
x y z
- Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.
x y z
x y z
x y z
x y z
- Через точки A (0, 1, 2) и B (2, 1, 0) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координат- ными плоскостями.
- Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки
A (3, 2, 2) на плоскость : 2 x 3 y 4 z 0.
- Вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников, разложив по третьей строке:
- Решить систему уравнений тремя способами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера; в) записать систему в ма- тричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.
x y z
x y z
x y z
- Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности найти ее решение.
x y z
x y z
x y z
x y z
ВАРИАНТ 10
- В параллелограмме ABCD выразить векторы MC и MD
через векторы a AB и b AD , если М – точка пересече- ния диагоналей параллелограмма.
- Разложить вектор c ( 5 , 14 ) по векторам a ( 5 , 4 ) и
b ( 1 , 1 ).
3. Вычислить ( a b c )^2 , если a ^1 , b ^2 , c ^5 ,
a ^ b a c b c 600.
- Вычислить проекцию вектора a (^2 ,^3 ,^4 ) на ось вектора
AB , если A (1, 1, 1) и B (3, 5, 5).
- Определить косинус угла между векторами a ( 2 , 1 , 3 ) и
b ( 3 , 3 , 1 ).
- Найти M^ A ( F ) – момент силы F (^ ^5 ,^5 ,^5 ), приложенной
в точке B (12, 10, 5), относительно точки A (13, 11, 3).
7. Найти координаты вектора d , коллинеарного вектору a^ b
, если d c 15 , a ( 2 , 1 , 0 ), b ( 1 , 1 , 3 )и c ( 0 , 1 , 3 ).
- Лежат ли точки A ( 1, 1, 1), B (1, 2, 2), C (0, 2, 1) и D (2, 3, 2) в одной плоскости?
- Найти точку A , симметричную точке B (1, 2) относительно
прямой 3 x 5 y 4 0.
- Известна точка пересечения диагоналей квадрата K (2,5; 4,5)
и уравнение одной из его сторон x 4 y 24 0. Найти
координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей.
- Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
A (1, 2, 0) параллельно векторам a = (1, – 1, 0) и b = (0, 4, – 2).
