Matemáticas Conceptuales, Schemes and Mind Maps of Art

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Matemáticas Conceptuales

Una primera introducci´on a categor´ıas

Segunda Edici´on

F. William Lawvere

Stephen H. Schanuel

Traducci´on: Francisco Marmolejo

A F´atima

Contenido

Prefacio ix

Palabras de Bienvenida xi

Agradecimientos xiii

Prefacio

Desde su primera introducci´on hace ya m´as de 60 a˜nos, el concepto de categor´ıa ha sido utilizado con frecuencia creciente en todas las ramas de las matem´aticas, en especial en estudios en los que la relaci´on entre diferentes ramas es importante. Las ideas categ´oricas surgieron originalmente del estudio de la relaci´on entre la geometr´ıa y el ´algebra; la simplicidad fundamental de estas ideas pronto hizo posible su m´as amplia aplicaci´on. Los conceptos categ´oricos est´an latentes en las matem´aticas elementales; ha- cerlos m´as expl´ıcitos nos ayuda a ir m´as all´a del ´algebra elemental hacia ciencias matem´aticas m´as avanzadas. Antes de la aparici´on de la primera edici´on de este libro, su simplicidad era accesible solamente a trav´es de libros de texto de nivel de maestr´ıa porque los ejemplos disponibles involucraban temas tales como m´odulos y espacios topol´ogicos. Nuestra soluci´on a dicho dilema fue desarrollar desde lo m´as b´asico los concep- tos de gr´afica dirigida y de sistema din´amico, que son estructuras matem´aticas de amplia importancia pero que son, sin embargo, accesibles para cualquier estudiante interesado de preparatoria. Conforme progresa el libro, las relaciones entre estas estructuras ejemplifican las ideas elementales de categor´ıas. De forma sorprendente, resulta que a´un algunos aspectos detallados de gr´aficas y de sistemas din´amicos son compartidos por otras categor´ıas que son m´as continuas, e.g. aquellas cuyos morfismos est´an definidos mediante ecuaciones diferenciales. Muchos lectores de la primera edici´on han expresado su deseo de una indicaci´on m´as detallada de las ligas entre el material categ´orico y las aplicaciones m´as avan- zadas. Esta segunda edici´on responde a esta petici´on al agregar dos art´ıculos nuevos y cuatro ap´endices. Un nuevo art´ıculo introduce la noci´on de componente conexa, la cual es fundamental para los brincos cualitativos que se estudian en teor´ıa ele- mental de gr´aficas y en topolog´ıa avanzada; la introducci´on de esta noci´on fuerza el reconocimiento del papel de los funtores. Los ap´endices usan ejemplos del texto para esbozar el papel de funtores adjuntos como gu´ıa para construcciones matem´aticas. A pesar de que estos condensados ap´endices no pueden sustituir un estudio m´as detallado de temas avanzados le permitir´an el estudiante, armado con lo aprendido del texto, acercarse a tal estudio con una mayor comprensi´on.

Buffalo, 8 de Enero de 2009.

F. William Lawvere Stephen H. Schanuel

agradecimientos

Mientras m´as “elemental” sea un libro, mayor es la dificultad de recrearlo en otro idioma. Nos sentimos muy afortunados de que nuestro colega Francisco Marmolejo, quien es un experto en el tema y comparte las metas del original, haya llevado a cabo tanto la traducci´on como la producci´on de los diagramas. Su excelente trabajo con la primera edici´on lo hizo la elecci´on natural para esta segunda edici´on. Nunca seremos capaces de agradecerle lo suficiente por su entusiasmo y generosidad; estamos llenos de alegr´ıa por el resultado y esperamos que el lector comparta nuestro aprecio. Queremos agradecerles a Ivonne Pallares, Iv´an Monroy, Ricardo Vald´es, Beatriz Stellino y al Profesor Mario Bunge quienes ayudaron con la primera edici´on en espa˜nol, la cual fue publicada por siglo xxi. F´atima Fenaroli nos persuadi´o originalmente de que estas ideas deb´ıan conver- tirse en un libro. Ella fue el alma del proyecto, transformando visi´on en realidad, cuid´andolo a trav´es de todas las versiones en varios idiomas como si fuera su jard´ın.

Junio de 2014

F. William Lawvere Stephen H. Schanuel

[xiii]

Sesi´on 1

Galileo y la multiplicación de objetos

1. Introducci´on

En este libro pretendemos explorar las consecuencias de una concepci´on nueva y fundamental de la naturaleza de las matem´aticas, la cual ha conducido a m´etodos mejores para comprender y utilizar los conceptos matem´aticos. Aunque esta con- cepci´on parece simple, no es lo suficientemente familiar; dominarla require de cierto esfuerzo, pero dicho esfuerzo ser´a recompensado con una claridad de comprensi´on que sera ´util para descifrar los aspectos matem´aticos de cualquier tema.

La noci´on b´asica que subyace a todas las dem´as es la de categor´ıa o “universo matem´atico”. Hay diversas categor´ıas, una indicada para cada tema particular, y hay formas de pasar de una categor´ıa a otra. Al introducir de manera informal esta noci´on con algunos ejemplos, veremos que los ingredientes ser´an objetos, morfismos y composici´on de morfismos.

La idea de que las matem´aticas involucran diferentes categor´ıas y las relaciones que hay entre ´estas ha estado impl´ıcita durante siglos; no obstante, no fue sino hasta 1945 cuando Eilenberg y Mac Lane dieron definiciones expl´ıcitas de las nociones b´asicas en su revolucionario art´ıculo “A general theory of natural equivalences”, en el que sintetizan muchas d´ecadas de an´alisis del funcionamiento de las matem´aticas as´ı como de las relaciones entre sus partes.

2. Galileo y el vuelo de un ave

Comencemos con Galileo quien, hace cuatro siglos, intentaba descifrar el problema del movimiento. Deseaba comprender el movimiento preciso de una piedra lanzada y el arco elegante del chorro de agua de una fuente. Con el tiempo, Galileo encontr´o f´ormulas simples para estos movimientos pero su primer paso fue el de encontrar un m´etodo conceptual preciso para describir los movimientos en general, incluso uno tan impredecible y caprichoso como el vuelo de un ave.

Galileo comprendi´o que un movimiento es m´as que su camino. El movimiento de un ave contiene, para cada instante, la posici´on del ave en ese instante; para registrarlo se necesita una pel´ıcula, m´as que una fotograf´ıa de exposici´on prolon- gada. Decimos que el movimiento es un “morfismo” (o “funci´on”) del tiempo al

[1]

2 Sesi´on 1

espacio. El vuelo de un ave como morfismo del tiempo al espacio

tiempo espacio

tiempo de inicio

un poco m´as tarde

tiempo final

(^99) c c Y Y  

.. , ,

Esquem´aticamente:

tiempo vuelo del ave^ // espacio

Sin duda habr´an o´ıdo la leyenda: Galileo dej´o caer un objeto pesado y uno ligero desde la torre inclinada de Pisa sorprendiendo a los espectadores cuando los objetos tocaron el piso simult´aneamente. Por ser tan especial, el estudio del movimiento vertical de objetos lanzados hacia arriba, lanzados hacia abajo o simplemente deja- dos caer, parecer´ıa no aportar mucho a la comprensi´on del movimiento en general. El camino de una roca que se dej´o caer es, como todo ni˜no bien sabe, una l´ınea recta. Sin embargo, su movimiento no es tan simple; la roca se acelera al ir cayendo, de tal forma que los ´ultimos metros los cae en menos tiempo que los primeros. ¿Por qu´e habr´ıa decidido Galileo concentrar su atenci´on en esta cuesti´on particular sobre el movimiento vertical? La respuesta yace en una simple ecuaci´on:

ESPACIO = PLANO×L´INEA

¡pero esto requiere de cierta explicaci´on! Ahora entran en escena dos morfismos nuevos. Imaginemos el sol cayendo de manera vertical; para cada punto en el espacio obtendremos un punto sombra en el plano horizontal:

espacio

plano

sombra de p

• p  

sombra    

Este es el morfismo “sombra” del espacio al plano.^ ´ La mejor manera de imaginar el segundo morfismo es pensar en una l´ınea vertical, quiz´a un poste clavado en la tierra. Para cada punto en el espacio hay un punto correspondiente en la l´ınea, al