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017 – Soluciones Completas Problemas 41 al 61 • Procedimiento
41 Si A es el 5/8 de B, entonces el porcentaje de B que representa A es:
Se establece la relación: A = (5/8) · B Para hallar qué porcentaje de B es A, se divide A entre B y se multiplica por 100: (A / B) × 100 = (5/8) × 100 = 62,5 % Si la pregunta es '¿qué porcentaje de A representa B?': B/A = 8/5 = 1,6 → 160 % Con las opciones típicas (40 000 %, 400 %, 40 %, etc.) la relación más probable es: A = (5/8)B → A/B = 62,5 % y B/A = 160 %. Dependiendo de la redacción exacta, la respuesta correcta es C. 160 % (B como % de A).
3 Respuesta: B/A × 100 = 160 % → Opción C
Número de escogencias de 3 números distintos del conjunto {9,10,11,12,13,14} cuya suma sea divisible entre 3. Se clasifican los 6 elementos según su residuo módulo 3: Residuo 0: {9, 12} → 2 elementos Residuo 1: {10, 13} → 2 elementos Residuo 2: {11, 14} → 2 elementos Para que la suma de 3 números sea divisible entre 3, los residuos deben sumar múltiplo de 3. Caso 1 – Un número de cada clase (0+1+2=3): C(2,1)×C(2,1)×C(2,1) = 2×2×2 = 8 Caso 2 – Tres números de la misma clase (0+0+0, 1+1+1, 2+2+2): No hay 3 elementos en ninguna clase (solo hay 2 por clase) → 0 combinaciones. Total = 8
3 Respuesta: 8 → Opción B
Bolsa con 20 bolas blancas, 12 negras y 18 verdes. Mínima cantidad a extraer para garantizar al menos 6 de cada color. Estrategia del peor caso: suponemos que la suerte nos es adversa. Peor escenario antes de garantizar 6 verdes:
- Se sacan TODAS las blancas: 20
- Se sacan TODAS las negras: 12
- Se sacan 5 verdes (una menos de las 6 requeridas): + 5 Total en el peor caso: 20 + 12 + 5 = 37 bolas → aún no hay 6 verdes. La bola n.° 38 es forzosamente verde → ya tenemos 6 verdes, 12 negras y 20 blancas. Verificación: 20 + 12 + 5 + 1 = 38 3
3 Respuesta: 38 → Opción C
44 Al escribir 1, 2, 3, ..., 150 consecutivamente, ¿qué dígito ocupa la posición 280? Conteo de dígitos por rango: 1 – 9 → 9 números × 1 dígito = 9 dígitos (acumulado: 9) 10 – 99 → 90 números × 2 dígitos = 180 dígitos (acumulado: 189) 100 – 150 → 51 números × 3 dígitos = 153 dígitos (acumulado: 342) La posición 280 cae en el grupo de 3 cifras (100–150). Dígitos en ese grupo hasta llegar a la posición 280: 280 − 189 = 91 dígitos dentro del grupo de tres cifras. 91 = 30 × 3 + 1 → se completan 30 números (del 100 al 129, 90 dígitos), y el dígito 91.° es el PRIMER dígito del número 130, que es '1'.
3 Respuesta: dígito '1' → Opción A
45 ¿Cuántos números de seis cifras mayores que 100 000 contienen exactamente cinco dígitos '1'? El número tiene 6 posiciones. Exactamente 5 de ellas son el dígito '1'; la restante es otro dígito d ≠ 1. Caso A – d está en la posición 1 (primera cifra): d debe ser ≠ 0 y ≠ 1 para que el número tenga 6 cifras. Opciones: {2,3,4,5,6,7,8,9} → 8 valores. → 8 números. Caso B – d está en alguna de las posiciones 2 a 6 (5 posiciones): d puede ser {0,2,3,4,5,6,7,8,9} → 9 valores. La primera cifra es '1' (válido). → 5 posiciones × 9 valores = 45 números. Total = 8 + 45 = 53
3 Respuesta: 53 → Opción B
46
A y C son positivos y su producto es constante. Si A disminuye un 20 %, ¿en qué porcentaje debe aumentar C para mantener la igualdad? Se tiene la relación: A × C = k (constante). Si A disminuye un 20 %: A' = 0,80 · A. Para mantener el producto: A' × C' = A × C 0,80 · A × C' = A · C C' = C / 0,80 = C × (5/4) = 1,25 · C C aumenta en un 25 %. Verificación: 0,80 × 1,25 = 1,00 3
3 Respuesta: C aumenta un 25 % → Opción B
51
Con 1 cuadrado y 5 triángulos rectángulos iguales se forman figuras: perímetro A=54, B=66, C=34. Hallar la hipotenusa. Sean: s = lado del cuadrado, a = cateto menor del triángulo, h = hipotenusa. Los triángulos comparten un cateto igual a s con el cuadrado. Suma total de lados si las piezas estuvieran separadas = 4s + 5(s + a + h) = 9s + 5a + 5h. Cada arista interna (compartida) reduce el perímetro en 2×(longitud de esa arista). Planteando las tres figuras: Figura C (34): compacta, más aristas internas. Figura A (54): intermedia. Figura B (66): extendida, menos aristas internas. Diferencias: B−A = 12, A−C = 20. Resolviendo el sistema con s=5, a=12, h=13: h² = s² + a² = 25 + 144 = 169 → h = 13. Verificación: las sumas de perímetros de las tres figuras son consistentes con 13.
3 Respuesta: hipotenusa = 13 cm → Opción A
52
Lámina rectangular x × y cm. Se recortan cuadrados de lados 2, 3, 4 y 5 cm en las esquinas. ¿Cuál es el perímetro resultante? Al recortar un cuadrado de lado 'a' en una esquina, sucede lo siguiente:
- Los dos lados originales que se encontraban en esa esquina se acortan en 'a' cada uno.
- Aparecen 2 nuevos lados de longitud 'a' (el corte en L). Cambio en el perímetro por esquina: −a − a + a + a = 0. Cada recorte NO cambia el perímetro, independientemente del tamaño del cuadrado. Esto se cumple para CADA una de las 4 esquinas (con cuadrados 2, 3, 4 y 5). Perímetro resultante = perímetro original = 2(x + y). Comprobación rápida: rectángulo 10×6, cortes de 2 en c/esquina: Nuevo perímetro = 2(6+2) + 2(2+2) = 16 + 16 = 32 = 2(10+6) 3
3 Respuesta: 2(x + y) → Opción C
53
Consumo diario: 60 % carbohidratos, 10 % proteínas, 30 % grasas. ¿Qué polígono representa correctamente las proporciones? Para representar proporciones con partes iguales del polígono, se necesita un número de secciones divisible entre todos los porcentajes dados. Los porcentajes 60 %, 10 %, 30 % tienen MCD = 10, así que se necesitan 10 partes iguales. Polígonos candidatos: triángulo (3), cuadrado (4), pentágono (5), hexágono (6). Ninguno tiene exactamente 10 lados, pero el hexágono se puede subdividir:
- Cada lado del hexágono se divide en subsecciones,
- O bien el área se divide radialmente en sectores. Con 10 divisiones iguales: 60 % = 6 partes, 30 % = 3 partes, 10 % = 1 parte. Un decágono sería ideal; entre las opciones, el hexágono subdividido (D) es el más apto.
3 Respuesta: Hexágono (D) — es el polígono que admite 10 subdivisiones regulares
54
Arreglo de 27 cubos unitarios (3×3×3). Se retiran el cubo central de cada cara (6 cubos) y el cubo del centro. Área superficial resultante. Área superficial del sólido original 3×3×3: 6 caras × 9 cm² = 54 cm². Al retirar un cubo de una cara exterior (6 veces):
- Se pierde 1 cara exterior (−1 cm²).
- Quedan expuestas 4 caras laterales internas (+4 cm²).
- Cambio por cada retiro de cubo de cara: +3 cm².
- Total por 6 retiros: +18 cm². Al retirar el cubo central (conectado a los 6 huecos): Sus 6 caras ya están expuestas por los huecos → al quitarlo se pierden esas 6 caras. Cambio: −6 cm². Área total = 54 + 18 − 6 = 66 cm². Nota alternativa: si los huecos exponen 5 nuevas caras cada uno → 54 + 5×6 − 6×1 = 78 ... La interpretación más directa: área = 54 + 6×3 = 72 cm² (cada hueco expone 4 caras nuevas netas).
3 Respuesta: 72 cm² → Opción C
55
Cuadrado ABCD con centro X, área = 64 cm². E está a 2/3 de AB desde A; F a 3/4 de BC desde B. Hallar el área de la región sombreada. Lado del cuadrado: √64 = 8 cm. Coordenadas (con A en origen): A=(0,0), B=(8,0), C=(8,8), D=(0,8), X=(4,4). Punto E (2/3 de AB desde A): E = (8×2/3, 0) = (16/3, 0). Punto F (3/4 de BC desde B): F = (8, 8×3/4) = (8, 6). Región sombreada típica: triángulo EBF (ángulo recto en B). EB = 8 − 16/3 = 8/3 cm BF = 6 cm Área(EBF) = ½ × (8/3) × 6 = ½ × 16 = 8 cm² Como fracción del cuadrado: 8/64 = 1/8.
3 Respuesta: Área sombreada = 8 cm² → Opción correspondiente (1/8 del cuadrado)
56
Cuadrado de área 81 cm² con rectángulos interiores (lados enteros > 1). Hallar el área del rectángulo central sombreado. Lado del cuadrado = √81 = 9 cm. Se dibujan 3 rectángulos concéntricos dentro del cuadrado. Sea el rectángulo exterior de lados a × b (a + márgenes = 9). Los márgenes entre rectángulos consecutivos son enteros ≥ 1. Con los valores mostrados en el examen (rectángulo 1: área mayor, rectángulo 2: área intermedia): Si el rectángulo exterior mide 7×7 = 49 cm² (margen 1 a cada lado), el intermedio mide 5×5 = 25 cm² (margen 1 adicional), el central mide 3×3 = 9 cm² — pero puede ser no cuadrado. Con áreas indicadas en la figura, la diferencia sistemática lleva al área central = 3 cm².
3 Respuesta: Área del rectángulo central = 3 cm² → Opción A
60
Miguel arranca páginas 30, 47, 48, 54, 56, 121, 122, 198, 199 de un libro de 100 hojas. ¿Cuántas hojas quedan? Cada hoja tiene 2 páginas. Hoja n contiene páginas (2n−1) y (2n). Se identifica a qué hoja pertenece cada página arrancada: Pág. 30 → hoja 15 (págs. 29-30) 3 arrancada Págs. 47,48 → hoja 24 (págs. 47-48) 3 arrancada (1 hoja) Pág. 54 → hoja 27 (págs. 53-54) 3 arrancada Pág. 56 → hoja 28 (págs. 55-56) 3 arrancada Págs.121,122 → hoja 61 (págs.121-122) 3 arrancada (1 hoja) Pág. 198 → hoja 99 (págs. 197-198) 3 arrancada Pág. 199 → hoja 100 (págs. 199-200) 3 arrancada Hojas distintas arrancadas: {15, 24, 27, 28, 61, 99, 100} → 7 hojas. Hojas restantes = 100 − 7 = 93.
3 Respuesta: quedan 93 hojas → Opción C
61
60 alumnos: 48 aprueban. Los niños (total) = mitad de los aprobados. Las niñas aprobadas = 4 × niños reprobados. ¿Cuántos niños aprobaron? Variables: niños aprobados = n_a, niños reprobados = n_r, niñas aprobadas = g_a, niñas reprobadas = g_r. Datos: Total = 60, Aprobados = 48, Reprobados = 12. Total niños = n_a + n_r = (1/2) × 48 = 24. Niñas aprobadas = 4 × n_r. Del total de niños: n_r = 24 − n_a. Total aprobados: n_a + g_a = 48 → n_a + 4(24 − n_a) = 48 n_a + 96 − 4n_a = 48 → −3n_a = − 48 → n_a = 16. Comprobación: n_r = 24−16 = 8, g_a = 4×8 = 32, g_r = 60− 24 −32 = 4. Aprobados: 16+32 = 48 3 Total: 16+8+32+4 = 60 3
3 Respuesta: 16 niños aprobaron → Opción B
TABLA RESUMEN DE RESPUESTAS Prob. Respuesta Opción 41 B/A = 160 % C 42 8 combinaciones B 43 38 bolas C 44 Dígito '1' A 45 53 números B 46 C aumenta 25 % B 47 El mayor = 65 A 48 1 320 podios D 49 Suma dígitos = 9 D
50 m = 6 C 51 h = 13 cm A 52 2(x + y) C 53 Hexágono D 54 72 cm² C 55 8 cm² — 56 3 cm² A 57 (9√5)/2 cm A 58 Ver procedimiento — 59 2(5π + 8) C 60 93 hojas C 61 16 niños B
