Download Material básico para aprender excel and more Study Guides, Projects, Research MS Microsoft Excel skills in PDF only on Docsity!
Matem´atica B´asica com Excel
Ulysses Sodr´e
Este material ´e ´util para alunos que tenham cursado o Ensino M´edio e para docentes de Matem´atica do segundo grau ou de Universidades
Londrina-PR, 25 de Agosto de 2011.
Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
“Ora, a f´e ´e o firme fundamento das coisas que se esperam e a prova das coisas que n˜ao se vˆeem. Porque por ela os antigos alcan¸caram bom testemunho. Pela f´e entendemos que os mundos foram criados pela palavra de Deus; de modo que o vis´ıvel n˜ao foi feito daquilo que se vˆe.” Carta aos Hebreus 11:1-3, A B´ıblia Sagrada.
CONTE ´UDO ii
- 1 Estudando Matem´atica com a Planilha Excel Conte´udo
- 2 Alguns detalhes sobre o programa Excel
- 2.1 Abrir o programa Excel
- 2.2 Criar um arquivo novo
- 2.3 Identificar um conjunto de c´elulas
- 2.4 Selecionar uma ´area cont´ıgua
- 2.5 Selecionar uma ´area n˜ao cont´ıgua
- 3 Sequˆencias reais
- 3.1 Al¸ca de preenchimento
- 3.2 Preenchimento de colunas de ´ındices com a al¸ca
- 3.3 Preencher colunas de ´ındices com a tecla CTRL
- 3.4 Preencher colunas com n´umeros ´ımpares
- 3.5 Preencher colunas com horas
- 3.6 Preencher colunas com datas
- 3.7 Preencher colunas com datas intercaladas
- 3.8 Preencher colunas com horas intercaladas
- 3.9 Informa¸c˜oes Estat´ısticas de sequˆencias
- 4 Equa¸c˜ao da reta que passa por dois pontos
- 4.1 Construir a equa¸c˜ao da reta que passa por dois pontos
- 5 Alinhamento de trˆes pontos no plano
- 5.1 Colinearidade de trˆes pontos via determinante
- 5.2 Area de um triˆ´ angulo com os v´ertices dados
- 5.3 Area de um triˆ´ angulo, dados os v´ertices CONTE ´UDO iii
- 5.4 Area de regi˜´ ao poligonal convexa, dados os v´ertices
- 5.5 Area da regi˜´ ao poligonal convexa
- 6 Algumas medidas de um pol´ıgono regular
- 6.1 Calcular algumas medidas de um pol´ıgono regular
- 7 Ajuste Linear pelos m´ınimos quadrados
- 7.1 A reta de ajuste pelos m´ınimos quadrados no Excel
- 8 Sequˆencias Aritm´eticas e geom´etricas
- 8.1 Sequˆencias Aritm´eticas
- 8.2 Progress˜ao Aritm´etica
- 8.3 Sequˆencias Geom´etricas
- 8.4 Progress˜ao Geom´etrica
- 8.5 Interpolar termos em uma sequˆencia
- 8.6 Interpolar termos aritm´eticos
- 8.7 Interpolar termos geom´etricos
- 9 Opera¸c˜oes com sequˆencias reais
- 9.1 A sequˆencia de Fibonacci
- 9.2 Constru¸c˜ao de uma sequˆencia de Fibonacci com 15 termos.
- 9.3 Somas de termos de sequˆencias
- 9.4 Somas parciais de termos de uma sequˆencia
- 9.5 Somas de todos os termos de uma sequˆencia
- 9.6 Somas de todos os termos de uma regi˜ao cont´ıgua
- 9.7 Somas de todos os termos de uma regi˜ao n˜ao cont´ıgua
- 9.8 Limites de sequˆencias
- 9.9 N´umero ´aureo relacionado com uma sequˆencia CONTE ´UDO iv
- 9.10 Multiplica¸c˜ao de lista por um n´umero fixo
- 9.11 Multiplicar uma lista por um n´umero fixo
- 10 Logaritmos, Trigonometria e Triˆangulo de Pascal
- 10.1 T´abua de logaritmos no Excel
- 10.2 T´abua Trigonom´etrica
- 10.3 T´abua trigonom´etrica
- 10.4 Triˆangulo de Pascal
- 10.5 Triˆangulo de Pascal no Excel
- 10.6 Forma alternativa para o triˆangulo de Pascal
- 11 Matem´atica Financeira
- 11.1 Sistema Price e Financiamentos
- 11.2 Tabela para financiamento de bens no Excel
- 11.3 Modo de usar a tabela Price
- 11.4 Fluxo de caixa e taxas de juros
- 11.5 Taxa de juros
- 11.6 A fun¸c˜ao PGTO do Excel
- 11.7 Coment´arios sobre a fun¸c˜ao PGTO()
- 11.8 Presta¸c˜oes em um financiamento (end)
- 11.9 Presta¸c˜oes em um financiamento (begin)
- 11.10 Resgate de um empr´estimo
- 11.11 Dep´osito em caderneta de poupan¸ca
- 12 Matrizes e sistemas lineares
- 12.1 Matrizes reais
- 12.2 Inversa de uma matriz quadrada CONTE ´UDO v
- 12.3 Multiplica¸c˜ao de matrizes
- 12.4 Soma e Subtra¸c˜ao de matrizes
- 12.5 Determinante de uma matriz quadrada
- 12.6 Resolu¸c˜ao de um sistema linear
- 12.7 Resolver um sistema no Excel
- 13 Gr´aficos de fun¸c˜oes
- 13.1 Gr´afico da fun¸c˜ao seno
- 13.2 Gr´aficos com seno e cosseno em uma planilha nova
- 13.3 Gr´afico da fun¸c˜ao tangente
- 13.4 Gr´afico de uma fun¸c˜ao quadr´atica
- 13.5 Obten¸c˜ao de uma raiz de f(x)=0
- 13.6 Algumas fun¸c˜oes matem´aticas e trigonom´etricas
- 13.7 Fun¸c˜oes Estat´ısticas (b´asicas)
Se¸c˜ao 2 Alguns detalhes sobre o programa Excel 2
2 Alguns detalhes sobre o programa Excel
2.1 Abrir o programa Excel
Para abrir o programa Excel no Windows, pode-se clicar com o mouse, seguindo a ordem:
¿ Iniciar → Programas → Microsoft Excel
Normalmente, o Excel j´a abre com um arquivo novo, pronto para receber dados, mas podemos abrir um outro arquivo novo.
2.2 Criar um arquivo novo
No Excel, podemos abrir um arquivo novo com uma pasta de trabalho:
¿ Arquivo → Novo... → Geral → Pasta de Trabalho → OK
2.3 Identificar um conjunto de c´elulas
No Excel, o conjunto de c´elulas que vai de C1 at´e D4, ´e formado pelo conjunto: {C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , D 1 , D 2 , D 3 , D 4 }.
A B C D E 1 A1 B1 C1 D1 E 2 A2 B2 C2 D2 E 3 A3 B3 C3 D3 E 4 A4 B4 C4 D4 E 5 A5 B5 C5 D5 E
O Excel entende este conjunto de c´elulas quando inserimos dois pontos na vertical entre C1 e D4, isto ´e, C1:D4.
2.4 Selecionar uma ´area cont´ıgua
Para selecionar uma ´area cont´ıgua (c´elulas anexas) no Excel, que vai de C1 at´e D4, isto ´e, C1:D4, podemos usar:
2.5 Selecionar uma ´area n˜ao cont´ıgua 3
¿ Colocamos o cursor do mouse sobre a posi¸c˜ao C1, mantendo pressionada a tecla SHIFT e com as setas de deslocamento do cursor, indo at´e a c´elula D4.
Uma forma alternativa para fazer isto, ´e:
¿ Manter pressionado o bot˜ao esquerdo do mouse desde C1 at´e D4.
Observa¸c˜ao: O o uso do teclado evita problemas de coordena¸c˜ao motora de cada pessoa ou problemas com o pr´oprio mouse.
2.5 Selecionar uma ´area n˜ao cont´ıgua
Para selecionar uma ´area com v´arios blocos de c´elulas n˜ao cont´ıguos (n˜ao est˜ao juntos), podemos usar:
¿ Selecionar a primeira ´area. ¡ Pressionar a tecla CTRL (control) e manter pressionada esta tecla enquanto durar a pr´oxima etapa. ¬ Selecionar a segunda ´area com o Mouse e ent˜ao soltar a tecla CTRL. √ Para anexar uma outra regi˜ao devemos, pressionar a tecla CTRL e manter pressionada esta tecla enquanto durar a pr´oxima etapa. ƒ Selecionar a terceira ´area com o Mouse e ent˜ao soltar a tecla CTRL. ≈ Assim, continuamos ...
3 Sequˆencias reais
Em Matem´atica, o uso de sequˆencias reais ´e muito intenso. Este conceito ´e utilizado desde o in´ıcio do processo de contagem nos primeiros anos escolares e continua sendo usado nas sequˆencias aritm´eticas, geom´etricas, t´abuas de logaritmos, t´abuas trigonom´etricas, chegando ao estudo de limi- tes de fun¸c˜oes reais, que ´e fundamental nos cursos superiores de Ciˆencias Exatas.
3.3 Preencher colunas de ´ındices com a tecla CTRL 5
3.3 Preencher colunas de ´ındices com a tecla CTRL
¿ Colocar 1 na c´elula A2. ¡ Pressionar a tecla CTRL (control) e manter pressionada esta tecla enquanto durar a pr´oxima etapa. ¬ Arrastar a al¸ca para baixo desde A2 at´e A11. √ Comparar com o caso anterior.
3.4 Preencher colunas com n´umeros ´ımpares
¿ Colocar 1 na c´elula B2 e por 3 na c´elula B3. ¡ Selecionar a regi˜ao B2:B3. ¬ Arrastar a al¸ca para baixo at´e a c´elula B √ Comparar com o caso anterior.
3.5 Preencher colunas com horas
¿ Colocar 08:40 na c´elula D2. ¡ Clicar com o mouse na c´elula D2. ¬ Arrastar a al¸ca para baixo at´e a c´elula D
3.6 Preencher colunas com datas
¿ Colocar 12/07/99 na c´elula E2. ¡ Clicar com o mouse na c´elula E2. ¬ Arrastar a al¸ca para baixo at´e a c´elula E
3.7 Preencher colunas com datas intercaladas
¿ Colocar 12/07/99 na c´elula F2 e por 14/07/99 na c´elula F3. ¡ Selecionar a regi˜ao F2:F3. ¬ Arrastar a al¸ca para baixo at´e a c´elula F
3.8 Preencher colunas com horas intercaladas 6
3.8 Preencher colunas com horas intercaladas
¿ Colocar 12:45 na c´elula G2. ¡ Colocar 12:49 na c´elula G3. ¬ Selecionar a regi˜ao G2:G3. √ Arrastar a al¸ca para baixo at´e a c´elula G
3.9 Informa¸c˜oes Estat´ısticas de sequˆencias
No Excel existem v´arias fun¸c˜oes internas para realizar estat´ısticas b´asicas sobre uma certa sequˆencia ou intervalo com valores num´ericos. Tais es- tat´ısticas s˜ao obtidas com algumas fun¸c˜oes estat´ısticas como as que est˜ao indicadas na tabela abaixo, que ´e similar a uma planilha.
A B C 1 =CONT.N UM(A1:A11)´ N´umero de Termos 5 =CONT.SE(A1:A11;">=10") No. de termos ≥ 10 3 =CONT.VALORES(A1:A11) No. de valores n˜ao vazios =CONTAR.VAZIO(A1:A11) Valores vazios 54 =M AXIMO(A1:A11)´ M´aximo termo 54 =M´INIMO(A1:A11) M´ınimo termo 67 =MEDIA(A1:A11)´ M´edia Aritm´etica =MEDIA.GEOM´ ETRICA(A1:A11)´ M´edia Geom´etrica 4 =MEDIA.HARM ´ ONICA(A1:A11)ˆ M´edia Harmˆonica 434 =MODO(A1:A11) No. que mais aparece 4 =ORDEM(A9;A1:A11) Ordem do n´umero B
¿ V´a ao menu e insira uma nova planilha para construir a tabela. ¡ Escreveremos os nomes dessas fun¸c˜oes mas na sequˆencia aprenderemos a buscar tais fun¸c˜oes no local adequado. ¬ Uma c´elula vazia n˜ao deve ter conte´udo. Digitando um n´umero em uma c´elula e depois apagando este n´umero com a tecla DELETE, a c´elula deixar´a de estar vazia.
Se¸c˜ao 5 Alinhamento de trˆes pontos no plano 8
√ Colocar k= na c´elula C1 e w= na c´elula C ƒ Na c´elula D1, escrever = (B2-B1) / (A2-A1) ≈ Na c´elula D2, escrever = - (A1B2-A2B1) / (A2-A1) ∆ Em A4 escrever y= , em B4 escrever =D1 e em C4 escrever x « Na c´elula D4, escrever =SE(D2<=0;"-";"+"). » Na c´elula E4, escrever =ABS(D2) … Selecionar A4:E4, formatar em negrito e com fonte de tamanho 16 e fundo amarelo.
Exerc´ıcio: Obter a reta que passa pelos
- pontos (0,0) e (3,4).
- Refazer o exerc´ıcio com os pontos (1,3) e (1,5).
- Refazer o exerc´ıcio com os pontos (3,1) e (5,1).
Ocorreu algo interessante nos dois ´ultimos exerc´ıcios?
5 Alinhamento de trˆes pontos no plano
Um fato importante do ponto de vista matem´atico e que tamb´em serve para obter a equa¸c˜ao geral de uma reta no plano ´e a condi¸c˜ao de alinha- mento de trˆes pontos no plano.
Quando temos trˆes pontos P = (x 1 , y 1 ), Q = (x 2 , y 2 ) e R = (x 3 , y 3 ), podemos verificar esta condi¸c˜ao de alinhamento se ´e nulo o determinante da matriz que tem os elementos dispostos de acordo com a tabela:
Primeira linha x 1 y 1 1 Segunda linha x 2 y 2 1 Terceira linha x 3 y 3 1
Exerc´ıcio: E verdade que os pontos´ P = (1, 3), Q = (3, 5) e R = (8, 12) s˜ao colineares?
5.1 Colinearidade de trˆes pontos via determinante 9
5.1 Colinearidade de trˆes pontos via determinante
¿ Inserir uma nova planilha. ¡ Existe um quadrado de cor cinza `a esquerda da letra A da primeira linha guia localizado sobre o n´umero 1 da primeira coluna guia. ¬ Clicando sobre este quadrado, vocˆe seleciona toda a planilha e poder´a mudar o tamanho da fonte para 16. √ Em A1 escrever 1, em B1 escrever 3 e em C1 escrever 1. ƒ Em A2 escrever 3, em B2 escrever 5 e em C2 escrever 1. ≈ Em A3 escrever 8, em B3 escrever 10 e em C3 escrever 1. ∆ Em A5, escrever det= « Em B5, escrever =MATRIZ.DETERM(A1:C3) » Em D5, escrever =SE(B5=0;”Colineares”;”N˜ao colineares”) … Selecionar A5:G7, formatar em negrito, fundo amarelo e tamanho da fonte
Exerc´ıcio: Verificar se os pontos (0, 0), (2, 2) e (20, 20) s˜ao colineares.
5.2 Area de um triˆ´ angulo com os v´ertices dados
Podemos obter a ´area de um triˆangulo a partir do conhecimento dos seus v´ertices, dados por P = (x 1 , y 1 ), Q = (x 2 , y 2 ) e R = (x 3 , y 3 ).
Para obter a ´area deste triˆangulo, basta construir a matriz 3 × 3 com os elementos de acordo com a tabela:
Primeira linha x 1 y 1 1 Segunda linha x 2 y 2 1 Terceira linha x 3 y 3 1
e obter a metade do valor absoluto do determinante da matriz 3 × 3.
Exerc´ıcio: Obter a ´area do triˆangulo cujos v´ertices s˜ao identificados pelos pontos P = (1, 3), Q = (3, 5) e R = (8, 12).
5.5 Area da regi˜´ ao poligonal convexa 11
realizar multiplica¸c˜oes com as diagonais para baixo e para cima, para obter
2 A = (x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + ... + xny 1 ) − (x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 4 y 3 + ... + x 1 yn)
Exerc´ıcio: Qual ´e a ´area da regi˜ao poligonal convexa cujos v´ertices s˜ao: P = (1, 3), Q = (3, 5), R = (8, 12), S = (34, 24) e T = (25, 19).
5.5 Area da regi˜´ ao poligonal convexa
¿ Inserir uma nova planilha ¡ Nas primeiras c´elulas da planilha (A1:B6), escrever duas colunas:
1 3 3 5 8 12 34 24 25 19 1 3
¬ Pintar de amarelo as c´elulas da regi˜ao A1:B √ Em C1 escrever =A1B2 e copiar C1 para a regi˜ao C1:C ƒ Em D1 escrever =A2B1 e copiar D1 para a regi˜ao D1:D ≈ Em B7 escrever Somas ∆ Em C7 escrever =SOMA(C1:C6) e em D7 escrever =SOMA(D1:D6) « Em B8, escrever ´Area= e em D8 escrever =ABS(C6-D6)/
6 Algumas medidas de um pol´ıgono regular
Em Geometria, no estudo de pol´ıgonos regulares, ´e comum precisarmos obter rela¸c˜oes com o n´umero de lados, os ˆangulos internos, externos, n´umero de diagonais e outras. Por exemplo, o quadrado tem 4 lados, 4 ˆangulos internos de 90 graus, 4 ˆangulos externos de 90 graus e 2 diago- nais. Como ficam tais dados no hex´agono?
6.1 Calcular algumas medidas de um pol´ıgono regular 12
Para um pol´ıgono regular, se n ´e o n´umero de lados, ent˜ao:
- soma dos ˆangulos internos ´e igual a 180n − 360;
- Cada ˆangulo interno ´e dado por 180 − 360 /n;
- Cada ˆangulo externo ´e dado por 360/n;
- n´umero de diagonais ´e dado por n(n − 3)/2.
6.1 Calcular algumas medidas de um pol´ıgono regular
¿ Inserir uma nova planilha ¡ Colocar os dados de acordo com a tabela abaixo. A B C D E F 1 Pol´ıgono Lados SomaAngInt AngInternoˆ Diagonais 2 Regular n 180n-360 180-360/n n(n-3)/ 3 triˆangulo 3 =180C3-360 =180C3-360 =C3*(C3-3)/ 4 quadrado 4 5 pent´agono 5 6 hex´agono 6 7 hept´agono 7 8 oct´ogono 8 9 ene´agono 9 10 dec´agono 10
¬ Selecione D3:F3 e copie os dados at´e D10:F10.
7 Ajuste Linear pelos m´ınimos quadrados
Ap´os realizar um experimento, obtemos uma cole¸c˜ao de pares ordenados de dados e podemos tentar construir uma fun¸c˜ao afim y = kx + w (parece linear) que se ajusta aos dados, isto ´e, desejamos obter uma reta que passa o mais pr´oximo poss´ıvel dos pontos obtidos no experimento.
O M´etodo dos M´ınimos Quadrados, estudado em Estat´ıstica e tamb´em tratado no Excel, fornece uma resposta adequada ao problema.
Se¸c˜ao 8 Sequˆencias Aritm´eticas e geom´etricas 14
8 Sequˆencias Aritm´eticas e geom´etricas
8.1 Sequˆencias Aritm´eticas
E essencial estudar sequˆ^ ´ encias aritm´eticas, pois elas est˜ao relacionadas com sequˆencias lineares em fun¸c˜ao de seus comportamentos gr´aficos. Uma sequˆencia aritm´etica ´e uma fun¸c˜ao f : N → R definida por
f (n) = f (1) + (n − 1)r
onde a 1 ´e o primeiro termo, n ´e o n´umero de termos e r ´e a raz˜ao da sequˆencia, que coincide com a diferen¸ca de dois termos consecutivos da sequˆencia quando tratada no conjunto f (N )).
O Excel est´a preparado para construir sequˆencias aritm´eticas.
8.2 Progress˜ao Aritm´etica
Para construir uma Progress˜ao Aritm´etica (PA) com 15 termos, onde o primeiro termo ´e a 1 = 7 e a raz˜ao ´e r = 3, usamos:
¿ Inserir uma nova planilha ¡ Colocar 7 na c´elula A ¬ Selecionar a regi˜ao A1:A √ Editar → Preencher → Sequˆencia
ƒ Colocar 3 na caixa de Incremento ≈ Clicar no Tipo: Linear → OK
8.3 Sequˆencias Geom´etricas 15
8.3 Sequˆencias Geom´etricas
O estudo das sequˆencias geom´etricas est´a relacionado com a id´eia de cres- cimento populacional, decaimento radioativo, varia¸c˜ao de temperatura em um corpo, Matem´atica Financeira e outras situa¸c˜oes muito comuns de nossa vida.
Uma sequˆencia geom´etrica ´e uma fun¸c˜ao f : N → R definida por
f (n) = f (1) · qn−^1
onde a 1 ´e o primeiro termo, n ´e o n´umero de termos e q ´e a raz˜ao da sequˆencia, que coincide com o quociente entre dois termos consecutivos da sequˆencia quando tratada no conjunto f (N ).
O Excel est´a adaptado para construir tais sequˆencias geom´etricas.
8.4 Progress˜ao Geom´etrica
Para construir uma Progress˜ao Geom´etrica (PG) com 15 termos, onde o primeiro termo ´e a 1 = 7 e a raz˜ao ´e q = 3, podemos usar:
¿ Inserir uma nova planilha ¡ Colocar 7 na c´elula A ¬ Selecionar a regi˜ao A1:A √ Editar → Preencher → Sequˆencia
ƒ Colocar 3 na caixa de Incremento ≈ Clicar no Tipo: Crescimento → OK
