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Évaluation formative 1 - CORRIGÉ
Veuillez réaliser ce devoir après avoir étudié la séquence 1.
Corrigé – Exercice 1 (8 points)
- (1 pt) On peut former 6^3 =216 triplets (a;b;c) différents donc 216 systèmes différents.
- a. (1 pt) Les droites sont parallèles si deux vecteurs normaux des deux droites sont
colinéaires :
⃗ n (^1) ( 1 − 2 )^ et ⃗ n (^2) (
a − b )^ sont colinéaires si et seulement si 1 ×(− b )−(−^2 )× a =^0 c’est-à-
dire si et seulement b =^2 a
b. (1,5 pts) Le système a une seule solution si et seulement si les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont
sécantes (non parallèles). On compte 36 couples (a;b) auxquels on retranche les trois
couples suivants :
- (^) a=1 et b=
- (^) a=2 et b=
- (^) a=3 et b=
Il reste donc 33 couples (a;b) possibles et donc 33 × 6 = 198 triplets ( a;b;c ) possibles.
La probabilité de l’événement E 3 est donc
- a. (1pt) Pour que les droites soient confondues, on peut transformer les droites sous
forme réduite : comme a ≠^0 , on en déduire que ce système s’écrit :
y =
x −
y = a b
x − c a
Il s’agit de la même équation si et seulement si
a b
et
c a
.
Parmi les triplets (a;b;c) tels que b=2a, ceux qui répondent à la question vérifient aussi
c=3a.
b. (0,5 pt) Les deux seuls triplets solution sont donc (1;2;3) et (2;4;6). La probabilité de
l’événement E 1 est donc
.
- a. (1 pt) Il faut résoudre le système.En multipliant par a la 1ère équation et en
soustrayant la deuxième, on élimine l’inconnue x et on trouve :
( ax − 2 ay )−( ax − by )= 3 a − c soit ax − 2 ay − ax + by = 3 a − c c’est-à-dire
( b − 2 a ) y = 3 a − c (^) ce qui revient à y =^ 3 a − c b − 2 a
Les droites se coupent en x=3 et y=0 si et seulement si 3a-c=0 et b≠2a ce qui revient à
c=3a et b≠2a.
b. (1 pt) Il y a dix triplets solutions car le couple (a;c) peut prendre les valeurs (1;3) et
(2;6) et pour ces deux possibilités, b peut prendre les valeurs de 1 à 6 sauf 2a :
2 × 5 = (^10). La probabilité de E 4 est
- (1 pt) E 1 , E 2 et E 3 forment une partition de l’univers donc
p ( E 2 )= 1 − p ( E 1 )− p ( E 3 )= 1 −
Remarque : on peut aussi répondre (^) (
3 )^ car on trouve trois fois la lettre H dans un trajet
minimal et c’est le même nombre que par symétrie des combinaisons.
1.b. (1 pt) La probabilité d’obtenir un trajet minimal est (
4 ) 27
car il y a 27 7-uplets
d’éléments de l’ensemble {P,F}.
- a. (1 pt)La réponse est (^) (
p + q p )^ car les trajets minimaux sont de longueur p+q et on se
déplace p fois à droite. Une autre réponse possible est (^) (
p + q q )^ , il s’agit bien du même
nombre carp+q-q=p.
(^4 )
