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Metodi matematici per la chimica

G.Botti

I semestre 2017/

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Capitolo 1

Richiami

1.1 Insieme Rm

L’insieme Rn^ con n ∈ N è l’insieme dei vettori (o punti) riga o colonna

x = (xi,... , xn)

ciascuna componente xi ∈ R. È strutturato come uno spazio vettoriale, per mezzo di due operazioni:

(x + y)j = xj + yj (cx)j = cxj

In questo modo, tutte le buone operazioni sui numeri vengono scaricate sulle componenti, quindi valgono.

1.2 Prodotto scalare o interno

È un’operazione che fornisce un numero:

(x, y) = 〈x, y〉 = x • y =

∑^ n

j=

xj yj

Anche qui, poiché si lavora sulle componenti, valgono tutte le belle operazioni e le loro belle proprietà, come quella distributiva

(x + y) • z = xz + yz

1.3 Norma di un vettore

Definisco la norma di un vettore come

‖x‖ := (x • x)^1 /^2 =

∑n

1

x^2 j

Per la norma, vale la proprietà

‖nx‖ = |n|‖x‖

1.4 Base canonica

Definisco la base canonica di Rn^ è

{e}ni=1 con

ei

j =^ δij

In questo modo, ogni x ∈ Rn^ è combinazione lineare {ei}:

x =

∑^ n

i

eixi

Ogni vettore ei, in quanto vettore di norma unitaria, è chiamato versore.

1.5 Ortogonalità

Si impiega il prodotto scalare per definire l’ortogonalità in Rn:

x ⊥ y def ⇐⇒ x · y = 0

In questo modo, tutti gli ei^ sono ortogonali. Il teorema di Pitagora è presto dimostrato

‖x‖^2 = x · x =

∑^ n

j=

x^2 j

e si dimostra (anche se non lo faremo) la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz:

|x · y| ≤ ‖x‖ · ‖y‖

Capitolo 2

Funzioni vettoriali a variabile reale

2.1 Limiti e definizioni

Si considerano funzioni che hanno valori in uscita vettoriali ed in entrata reali. Si prende l’intervallo generico I = [a, b] ⊂ R, nel quale si definisce la variabile t; la funzione p : I → Rm^ corrisponde ad avere m funzioni disposte a vettore:

p(t) := (p 1 (t) , p 2 (t) ,... , pm (t))

dove ogni pj (t) delle componenti è pj : I → R. Di particolarmente intelligente c’è pochissimo. Si estende il concetto di limite anche a queste funzioni, lavorando sulle com- ponenti: lim t→t 0 p(t) = l ∈ Rm

il che significa, per ogni componente j-esima con 1 ≤ j ≤ m

lim t→t 0 pj (t) = lj

ossia

∀j = 1,... , m ∀ε > 0 ∃δ > 0 | |t − t 0 | < δ , t ∈ I , t 6 = t 0 ⇒ |pj − lj | < ε

cioè più mi muovo vicino a t 0 , più pj si muove vicino a lj. In pratica, si è scari- cata la definizione di limite sulle singole componenti; inoltre, si ricorda che in più dimensioni si ha solo un infinito generico, corrispondente ad una posizione molto molto lontana dal centro del sistema di riferimento.

Definizione. Funzione continua p è continua in t 0 se quando t → t 0 si va verso p(t 0 ), quindi ∃ lim t→t 0 p(t) = p(t 0 )

Definizione. Curva parametrica Se p : I → Rm^ è continua in tutto I dico che è una curva (legge che genera la “camminata”) in forma parametrica, dove t fa da variabile e le singole componenti di p(t) dipendono da t. Chiamo sostegno della curva l’immagine di p(t) (ossia i punti calpestati).

Posso descrivere una curva come

chiusa se si arriva allo stesso punto di partenza: p(a) = p(b)

semplice se non si intreccia, ovvero non calpesta mai lo stesso punto più volte, eccetto per gli estremi

di classe C^1 se p è derivabile sempre e la derivata prima è completa, quindi tutte le componenti sono derivabili (questa è una proprietà della legge p)

regolare se è di classe C^1 e con p′^ sempre non nulla; anche nota come funzione bellissima

regolare a tratti se la curva è fatta di pezzi regolari attaccati in modo continuo, ossia che p è continua ed è l’unione di curve regolari (come ad esempio un rettangolo, che è formato da quattro pezzi regolari con quattro punti bruttacchiotti)

2.2 Curva regolare

Si considera una curva regolare p : I [a, b] → Rm^ di classe C^1 (quindi con p′^6 = 0 ∀t). Si ha una corrispondenza biunivoca tra [a, b] ed i punti del sostegno della curva γ, quindi dato un punto è possibile ricavare il tempo. Inoltre, ad ogni punto p(t) corrisponde ad un vettore p′(t) che chiamo vettore velocità, mentre chiamo

T(t) =

p′(t) ‖p′‖

versore tangente a γ nel punto p(t).

2.3 Lunghezza di una curva

Definizione. Lunghezza di una curva Definisco la lunghezza di una curva p come

L(p) :=

∫ (^) b

a

‖p′(t)‖ dt

Il segno di ϕ′^ e gli estremi giocano un ruolo fondamentale nella definizione di lunghezza. Se a → c e b → d si ha ϕ′^ > 0 , quindi

L(q) =

∫ (^) b

a

‖p′(t)‖ dt

Se invece a → d e b → c si ha ϕ′^ < 0 , quindi

L(q) =

∫ (^) a

b

‖p′(t)‖ · (−ϕ′(u))

dt ϕ′(u)

∫ (^) b

a

‖p′(t)‖ dt

Quindi la lunghezza è intrinseca al sostegno.

2.4 Ascissa curvilinea

Si hanno infinite ϕ : [c, d] → [a, b] quindi si hanno infinite leggi orarie, ma la più bella è quella con l’ascissa curvilinea o parametro di arco. Se p : [a, b] → Rm è una curva regolare, mi invento una diversa parametrizzazione usando l’ascissa curvilinea, con

t ∈ [a, b] 7 −→ S(t) :=

∫ (^) t

a

‖p′(u)‖ du

La definizione è simile alla lunghezza, infatti dice quanta lunghezza della curva è stata calpestata tra a e t (è la lettura del contachilometri). Accadono le seguenti cose

S(a) = 0 S(b) = L (p) S′(t) = ‖p′‖ > 0

Perciò S : [a, b] → [0, L] in modo monotono crescente: S è invertibile, quindi ∃t(S) : [0, L] → [a, b], con la quale si fa nascere una nuova funzione

r = p ◦ t : [0, L] → Rm

curva regolare equivalente a p. Il parametro ora non è più il “tempo”, ma lo “spazio percorso”, che è molto più intrinseco e vale per chiunque percorra la strada. La principale utilità la si evidenzia tramite

dr dS

dp dt

dt dS

= p′^ ·

dS dt

p′ S′^

p′ ‖p′‖

= T

con T versore tangente; va da sé che ‖r′‖ = 1.

2.5 Curve piane cartesiane

A partire dalla funzione f ∈ C^1 : [a, b] → R costruisco la curva

p : [a, b] → R^2

come p(t) = (t; f (t))

Chiamo p grafico della curva. La lunghezza del grafico si calcola a partire da

p′(t) = (1; f ′(t))

quindi

‖p′‖ =

1 + (f ′)^2

L’elemento di lunghezza infinitesima sulla curva ds può essere calcolato come

ds = ‖p′‖dt =

1 + (f ′)^2 dt

(si noti come ds risulti essere il risultato del teorema di Pitagora

ds =

dt^2 + (f ′(t)dt)^2 dt

applicato alla curva) La lunghezza della curva è quindi

L =

∫ (^) b

a

ds =

∫ (^) b

a

1 + (f ′)^2 dt

Questa formula è molto utile per calcolare il volume di una botte.

2.6 Curva piana in forma polare

Assegno un intervallo [α, β] in cui si muove la coordinata angolare θ ed una funzione positiva ρ : [α, β] → (0; +∞)

Ossia, se guardo in posizione θ, trovo un punto a distanza ρ, più precisamente in

p(θ) = (ρ (θ) cos θ, ρ(θ) sin θ)

dove p(θ) è l’equazione parametrica. Si può ricavare come per le curve cartesiane l’elemento infinitesimo di lunghezza ds, semplicemente mettendosi di buona lena; ciò che si ottiene è

ds =

ρ^2 + (ρ′)^2 dt

Capitolo 3

Funzioni reali di più variabili reali

3.1 Limiti e definizioni

Definizione. Funzione reale a variabile reale Definisco una funzione reale a va- riabile reale la legge f : A ⊆ Rn^ → R

Il suo grafico è il sottoinsieme di Rn+1^ descritto da

Rn+1^ : {(x, xn+1) ∈ A × R : xn+1 = f (x)}

Definizione. Limite di f Posso definire il limite di f

lim x→˜x f (x) = l ∈ R

in due modi; il primo è la tipica definizione ε δ:

∀ε > 0 , ∃δ > 0 : ‖x − x˜‖ < δ , x ∈ A , x 6 = ˜x ⇒ |f (x) − l| < ε

ossia “purché ti avvicini abbastanza (δ), puoi far avvicinare f (x) a l quanto vuoi (ε)”. Alternativamente, impiego la definizione successionale, nella versione discreta,

∀ successione {xk} ⊂ A , x 6 = ˜x : xk → ˜x se k → +∞ ⇒ f (xk) → l

o nella versione continua:

∀ curva ϕ : (0, 1) → A | lim t→ 0 +^

ϕ(t) = ˜x ⇒ lim t→ 0 +^

f (ϕ(t)) = l

Esempio Si prenda la funzione

f (x, y) =

xy x^2 + y^2

definita in A = R^2 \ { 0 }. Cosa succede se x = (x, y) → 0? Se ci si concentra lungo un asse, si ha f (x, 0) = 0 = f (0, y)

Quindi, visto che un avvicinamento mi dice 0, se il limite esiste è 0. Guardo lungo la retta y = mx con m 6 = 0, si ha

f (x, mx) =

mx^2 x^2 + (mx)^2

m 1 + m^2

quindi, in effetti, il limite non esiste.

Esercizio Calcolare, se esiste, il limite per l’origine di

f (x, y) =

x^2 y x^4 + y^2

3.2 Limiti in coordinate polari

In Rn^ è un disastro avvicinarsi ad un punto, dal momento che si hanno infiniti cammini possibili. Si vuole però una risposta positiva all’esistenza di un limite, perché non si può andare avanti a risposte negative. Si prova a passare alle coordi- nate polari, magari sono più utili. Un generico punto vicino al punto x˜ può essere definito come (x, y) = (˜x + ρ cos θ ; ˜y + ρ sin θ)

Per avvicinarsi a ˜x basta quindi far tendere ρ → 0 , riducendo lo studio del limite

lim x→x˜

f (x)

allo studio di lim ρ→ 0 f (˜x + ρ cos θ ; ˜y + ρ cos θ)

Bisogna verificare però che il limite valga “uniformemente a θ”; questo non significa ∀θ fissato, quelle sono solo rette: uniformemente significa che θ può variare come vuole, quindi il limite non deve dipendere da θ.

Esempio Si consideri il limite per (x, y) → ∞ della funzione

f (x, y) =

x^2 y x^4 + y^2

La funzione è nulla lungo gli assi, quindi se esiste il limite è nullo. Tuttavia,

f (x, x^2 ) =

x^4 2 x^4

quindi il limite non esiste

Esempio Si consideri il limite per (x, y) → ∞ della funzione

f (x, y) = xye−(x

(^2) +y (^2) )

Lungo gli assi f = 0, ma in breve

|f | ≤ ρ^2 e−ρ

2 → 0

Esempio Si consideri il limite per (x, y) → ∞ della funzione

f (x, y) = xye−xy

Lungo gli assi f = 0, ma

f

x,

x

e

Quindi il limite non esiste

Capitolo 4

Calcolo differenziale R

n

→ R

4.1 Rapporto incrementale

Sappiamo come imporre la continuità (limite destro uguale a limite sinistro); con- siderando ciò, se il sottoinsieme A è aperto in Rn^ (non ho paura di cadere dal bordo), a ∈ A ⇒ Br (a) ⊂ A

(quindi mi muovo comodamente intorno ad a) e f : A → R, allora per ogni |t| < r (quindi dentro la bolla!) e per ogni 1 ≤ j ≤ n (con n dimensioni dello spazio), può aver senso definire ∂f ∂xj

= lim t→ 0

f (a + tej^ ) − f (a) t

con a + tej^ che sta per “mi muovo lungo la direzione degli assi di un passo t”.

Definizione. Rapporto incrementale Se questo limite esiste finito lo chiamo rap- porto incrementale e chiamo ∂f ∂xj

(a)

derivata parziale di f ; alternativamente, posso indicarla come ∂j f o come Dxj f.

Definizione. Vettore gradiente Se esistono tutte le derivate parziali, le metto in riga per formare il vettore gradiente:

∇f (a) :=

∂f ∂x 1

(a) ;... ;

∂f ∂xn

(a)

Definizione. Derivata direzionale Più in generale, è possibile muoversi lungo una qualsiasi direzione, anche storta; per analogia, lungo il versore v si ha

Dvf (a) = lim t→ 0

f (a + tv) + f (a) t