Download mathematics and integrals and more Summaries Law in PDF only on Docsity!
Zadaci za vjeˇzbu (integrali)
I. dio
Vidosava ˇSimi´c i Ksenija Smoljak
1. veljaˇce 2008.
1 Primitivna funkcija (antiderivacija),
neodredeni integral
Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija) za funkciju f ako vrijedi
F ′(x) = f (x). Neodredeni integral
f (x) dx = F (x) + C je skup primi-
tivnih funkcija.C je proizvoljna konsanta.
Zadatak 1. Odredite skup funkcija ˇcija je derivacija:
a) y ′ = 1, b) y ′ = 2x, c) y ′ = e x , d) y ′ = sin x.
Rjeˇsenje:
a) y(x) = x + C, b) y(x) = x 2
- C, c) y(x) = e x
- C, d) y(x) = − cos x + C.
Zadatak 2. Nadite funkciju ˇcija je derivacija y′^ = 2x + 1, ako je za x = 2
vrijednost funkcije 7.
Rjeˇsenje:
y(x) = x 2
- x + C i y(2) = 7 ⇒ C = 1. Traˇzena funkcija je y(x) = x 2
- x + 1.
Zadatak 3. Nadite funkciju ˇcija je derivacija y ′ = cos x, ako je za x = π 2 vrijednost funkcije 0.
Rjeˇsenje: y(x) = sin x + C i y( π 2 ) = 0,^ ⇒^ C^ =^ −1.^ Traˇzena funkcija je y(x) = sin x − 1.
Zadatak 4. Dokaˇzite da je funkcija F primitivna funkcija za funkciju f, ako
je:
a) F (x) = 1 2 a ln^
x−a x+a +^ C,^ f^ (x) =^
1 x^2 −a^2 ,^ a^6 = 0; b) F (x) = 1 a arctg^
x a +^ C,^ f^ (x) =^
1 x^2 +a^2 ,^ a^6 = 0; c) F (x) = arcsin x a +^ C,^ f^ (x) =^
√^1 a^2 −x^2 , a > 0;
d) F (x) = ln(x +
a + x^2 ) + C, f (x) = √^1 a+x^2 , a 6 = 0;
e) F (x) = x 2
a^2 + x^2 + a^2 2 ln(x^ +^
a^2 + x^2 ) + C, f (x) =
a^2 + x^2 + C, a > 0.
Rjeˇsenje: Dovoljno je pokazati da je F ′(x) = f (x).
2 Tablica osnovnih integrala i pravila integri-
ranja
∫ xa^ dx = xa+ a+1 +^ C,^ a^6 =^ −1;^
0 dx = C;
1 dx = x + C ∫ 1 x dx = ln |x| + C, x 6 = 0 ∫ ax^ dx = a
x ln a +^ C;^
ex^ dx = ex^ + C ∫ sin x dx = − cos x + C ∫ cos x dx = sin x + C ∫ dx ∫ cos^2 x^ = tg^ x^ +^ C dx ∫ sin^2 x^ =^ −^ ctg^ x^ +^ C dx x^2 +a^2 =^
1 a arctg^
x ∫ a^ +^ C,^ a^6 = 0 √dx a^2 −x^2 = arcsin x a +^ C,^ a >^0
Osnovna pravila integriranja:
Af (x) dx = A
f (x) dx, gdje je A proizvoljna konstanta razliˇcita od nule
[f (x) ± g(x)] dx =
f (x) dx ±
g(x) dx
3 Neposredna integracija
Zadatak 5. Koriste´ci tablicu osnovnih integrala i pravila itegriranja izraˇcunajte
neodredene integrale:
Zadatak 8. Pomo´cu Newton-Leibnizove formule izraˇcunajte odredene inte-
grale:
a)
0 x(x^ + 1)^ dx,^ b)^
− 1 x
2 dx, c)
∫ (^) b a x
n dx,
d)
0 e
x (^) dx, e)
1
1 x dx,^ f^ )^
− 1
1 1+x^2 dx, g)
0
x dx, h)
0
√^1 1 −x^2 dx, i)
− 1 (x
3
j)
x − √^1 x )^ dx,^ k)^
∫ π 4 0 cos^ x dx,^ l)^
0
x^2 − 16 3 x^2 +12x dx, m)
− 1
1 −x^4 x^2 − 1 dx,^ n)^
− 1 |x|^ dx,^ o)^
− 1 |x
(^2) − 2 x| dx.
Rjeˇsenje:
a) 5 6 ,^ b)^
1 3 ,^ c)^
bn+1−an+ n+1 , d) e 2 − 1 , e) ln 2, f ) π 2 , g) 4 3
2 , h) π 2 ,^ i)^ −^
5 4 , j) 83 , k)
√ 2 2 ,^ l)^
− 1 3 , m) − 8 3 ,^ n)^
5 2 ,^ o)^4.
4 Metoda supstitucije (zamjena varjable)
4.1 Supstitucija i neodredeni integral
Ako u integralu
f (x) dx uvedemo supstituciju x = g(t), dx = g ′ (t)dt,
dobiva se : ∫
f (x) dx =
f (g(t))g ′ (t)dt = H(t) + C = H(g − 1 (x)) + C.
g−^1 je inverzna funkcija funkcije g.
Zadatak 9. Akoje
f (x) dx = F (x) + C, dokazati da je
f (ax + b) dx = 1 a F^ (ax^ +^ b) +^ C.
Rjeˇsenje: Supstitucija : ax + b = t, a dx = dt, dx = (^1) a dt.
∫
f (ax + b) dx =
a
f (t)dt =
a
F (t) + C =
a
F (ax + b) + C
Zadatak 10. Izraˇcunajte integrale:
a)
1 7 x+1 dx,^ b)^
(2x − 3)^20 dx, c)
(ax + b)n^ dx, d)
2 x − 1 dx, e)
2 x − 1 dx, f )
√^1 1 − 2 x dx,
g)
e 5 x− 1 dx, h)
−x+ dx, i)
a bx+c dx, j)
sin(4x − 3) dx, k)
cos(b − ax) dx, l)
1 sin^2 (3x−5) dx,
m)
1 x^2 +2x+2 dx,^ n)^
√^1 x^2 +2x dx, o)
√^1 −x^2 +2x dx.
Rjeˇsenje: Primjeniti rezultat iz prethodnog zadatka.
Zadatak 11. Dokaˇzite da je
∫ (^) f ′(x) f (x) dx^ = ln^ |f^ (x)|^ +^ C.
Rjeˇsenje: Supstitucija: t = f (x), dt = f ′(x) dx. Dakle,
∫ (^) f ′(x)
∫ f^ (x)^ dx^ = 1 t dt^ = ln^ |t|^ +^ C^ = ln^ |f^ (x)|^ +^ C.
Zadatak 12. Izraˇcunajte integrale:
a)
tg x dx, b)
ctg x dx, c)
cos x 1+sin x dx, d)
2 x− 5 x^2 − 5 x+7 dx,^ e)^
∫ √1+ln x x dx,^ f^ )^
1 x(1+ln x) dx, g)
ex 1+e^2 x^ dx,^ h)^
xe−x
2 dx, i)
e
√x √ x dx.
Rjeˇsenje: Primijeniti rezultat iz prethodnog zadatka.
4.2 Supstitucija i odredeni integral
Dva su naˇcina kako moˇzemo izraˇcunati odredeni integral metodom supstitu-
cije:
I. Izraˇunamo neodredeni integral, pa se vratimo na polaznu varijablu i prim-
ijenimo Newton-Leibnizovu formulu.
II. Pri supstituciji x = g(t) (g je neprekidna i diferencijabilna na intervalu
[a, b], a g′neprekidna na intervalu [α, β], gdje je α = g(a) i β = g(b)), vrijedi:
∫ (^) b
a
f (x) dx =
∫ (^) β
α
f (g(t))g ′ (t)dt.
Zadatak 13. Izraˇcunajte integrale:
a)
1
1 4 x− 3 dx,^ b)^
1 (2x^ −^ 3)
(^20) dx, c)
1
1 (2x−3)^20 dx, d)
1
x√− 1 x dx,^ e)^
− 2
2 − x dx, f )
− 4
√^1 1 − 2 x dx, g)
∫ π 4 0 sin(2x^ +^ π)^ dx,^ h)^
∫ π π^3 4
1 sin^2 4 x dx^ i)^
∫ (^) a 0
a^2 − x^2 dx,
j)
∫ (^) e 1
ln x x dx,^ k)^
0
ex 1+e^2 x^ dx,^ l)^
1
e
√x √ x dx.
5 Parcijalna integracija
∫
udv = uv −
vdu;
∫ (^) b
a
udv = uv| b a −
∫ (^) b
a
vdu
Osim toga, koristimo i tzv. op´cu supstituciju za
R(sin x, cos x) dx, pri
ˇcemu je R(x, y) =
P (x,y) Q(x,y) , a^ P^ (x, y) i^ Q(x, y) su polinomi u dvije varijable. Supstitucijom tg x 2 =^ t^ dobiva se :
sin x =
2 t
1 + t^2
, cos x =
1 − t^2
1 + t^2
, , x = 2 arctg x, dx =
2 dt
1 + t^2
Integral
R(sin x, cos x) dx se svodi na
R 1 (t)dt, gdje je R 1 (t) racionalna
funkcija u varijabli t.
Zadatak 18. Izraˇcunajte integrale:
a)
sin 2 3 x dx, b)
cos^4 x dx, c)
sin 2 x cos^2 x dx, d)
sin 3 x dx, e)
cos 5 x dx, f )
sin 3 x cos 3 x dx, g)
sin^2 x cos^3 x dx, h)
sin x cos^7 x dx, i)
sin^3 x cos^2 x dx, j)
sin 3x cos 4x dx k)
cos 1 2 cos 2x dx,^ l)^
sin 2x sin 7x dx, m)
sin x dx,^ n)^
5+3 cos x dx,^ o)^
3 sin x+4 cos x dx.
8 Nepravi integrali
(1) Integrali sa beskonaˇcnim granicama.
∫ (^) b
−∞
f (x) dx = lim a→−∞
∫ (^) b
a
f (x) dx;
b
f (x) dx = lim b→∞
∫ (^) b
a
f (x) dx.
(2) Integrali neograniˇcene funkcije. Ako funkcija f nije definirana u toˇcki b, ili je limx→b−ε f (x) = ∞, tj. b je singularna toˇcka, onda je ∫ (^) b
a
f (x) dx = lim ε→ 0
∫ (^) b−
a
f (x) dx.
Ako je c ∈ 〈a, b〉 singularna toˇcka, onda je:
∫ (^) b
a
f (x) dx = lim ε→ 0
∫ (^) c−
a
f (x) dx + lim δ→ 0
∫ (^) b
c+δ
f (x) dx.
Ako navedene graniˇcne vrijednosti postoje kaˇzemo da integral konvergira. U
protivnom kaˇzemo da integral divergira.
Zadatak 19. Ispitajte konvergenciju integrala :
a)
1
1 xs^ dx,^ b)^
0 ln^ x dx,^ c)^
−∞
1 x dx.
Rjeˇsenje: a)Za s > 1 integral konvergira, a za s ≤ 1 integral divergira,
b) konvergira, c) divergira.
Zadatak 20. Izraˇcunajte integrale :
a)
0
1 + x^2
dx, b)
x (^) dx, c)
−∞
1 + x^2
dx,
d)
1
x − 1
dx, e)
0
√^1 1 −x^2 dx, g)
0
xe −x dx.
Rjeˇsenje:
a)
0
1 + x^2
dx = lim b→∞
∫ (^) b
0
1 + x^2
dx = lim b→∞
arctg x| b 0 = lim b→∞ arctg^ b^ −^ arctg 0 =^
π
2
b)
−∞
x dx = lim a→−∞
a
x dx = lim a→−∞
x
ln 3
1 a =^ a→−∞lim (
ln 3
a
ln 3
ln 3
c)
−∞
1 + x^2
dx = lim a→−∞
lim b→∞
arctg x| b a =^ a→−∞lim lim b→∞
(arctg b − arctg a) =
π
2
π
2
) = π,
d)
1
x − 1
dx = lim → 0
1+ε
x − 1
dx = lim → 0
x − 1 | 2 1+ε = 2,
e)
0
1 − x^2
dx = lim ε→ 0
∫ (^1) −ε
0
1 − x^2
dx = lim ε→ 0
arcsin x| 1 −ε 0
= lim ε→ 0
arcsin(ε − 1) − arcsin 0 =
π
2
π
2
f )
− 1
1 − x^2
dx = lim ε→ 0
lim δ→ 0
∫ (^1) −δ
−1+ε
1 − x^2
dx = lim ε→ 0
lim δ→ 0
arcsin x| 1 −δ −1+ε =^
π
2
π
2
) = π,
g)
0
xe −x dx = lim b→∞
∫ (^) b
0
xe −x dx = (parcijalnaintegracija : u = x, dv = e −x dx)
= lim b→∞
[−e −x (x + 1)]| b 0 = lim b→∞[−e
−b (b + 1)] + 1 = 1.
