Mathematics for high school, Study notes of Mathematics

Download Mathematics for high school and more Study notes Mathematics in PDF only on Docsity!

2 SAYILAR TEOR˙IS˙I - MUSTAFA ÖZDEM˙IR

SAYILAR TEOR˙IS˙I

Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik E˘gitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında, sayılarla ilgili sıradı¸sı ve kısmen zor problemler çözmek isteyen ö˘gretmen ve ö˘grenciler için de, güzel bir kaynak olarak kullanılmaktadır. Lise Matematik yarı¸smalarında sorulan sorular, kitaba ilave edilmi¸stir.

BU K˙ITAPTA MATEMAT˙IK OL˙IMP˙IYATLARINA HAZIRLIK 3

(Sayılar Teorisi) K˙ITABINDA BULUNAN SORULAR BULUNMAKTADIR.

K˙ITAPTA BULUNAN, TEOREM ˙ISPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLER˙IN OLDU ˘GU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMI ¸STIR.

Kitabın içeri˘gi hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman hazırlanmı¸stır. Konuların içeri˘gini ve soruların çözümlerini MATEMAT˙IK OL˙IMP˙IYATLARINA HAZIRLIK 3 (Sayılar Teorisi) ALTIN NOKTA YAYINLARI kitabında bulabilirsiniz.

Kitabın içeri˘gindeki konuları, A¸sa˘gıdaki ˙IÇ˙INDEK˙ILER bölümünden inceleyebilirsiniz

Mustafa Özdemir ˙Irtibat ˙Için : [email protected] veya Altın Nokta Yayınevi

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM

BE ¸S˙INC˙I BÖLÜM

ALTINCI BÖLÜM

YED˙INC˙I BÖLÜM

Bölünebilme ve Bölme Algoritması

Örnek 1 a c j ab + cd ise a c j ad + bc oldu˘gunu gösteriniz.

Örnek 2 n^2 + 18n 22 ifadesi 103 ’e tam bölünecek ¸sekildeki 1000 ’den küçük en büyük n tamsayısı kaçtır?

Örnek 3 3 n 5 sayısı 7 n 2 sayısını bölecek ¸sekilde kaç tane n tamsayısı buluna- bilir?

1.1 Bölme Algoritması

Örnek 4 5 ’in katı olmayan herhangi n tamsayısının karesinin bir fazlasının 5 ’e bölümünden elde edilebilecek kaç farklı kalan vardır?

Örnek 5 a ) Bir tamsayının karesinin 4 ’e bölümünden hangi kalan elde edilemez? b ) Bir tamsayının karesinin 8 ’e bölümünden hangi kalanlar elde edilebilir.

Örnek 6 x; 3 ’e bölünmeyen bir tek sayı olmak üzere ; x^5 + x^3 + x^2 + 4x 1 sayısının daima 6 ’ya bölünebildi˘gini gösteriniz.

Örnek 7 n; 1 ’den büyük bir tamsayı olmak üzere ; 3 n^ sayısının ardı¸sık üç tek sayının toplamı olarak yazılabilece˘gini gösteriniz.

Örnek 8 6 ’dan büyük her tamsayının aralarında asal olan iki tamsayının toplamı olarak yazılabilece˘gini gösteriniz.

Örnek 9 x; y ve z tamsayılar olmak üzere ; her tamsayının x^2 + y^2 5 z^2 formunda yazılabilece˘gini gösteriniz.

Örnek 10 Üç elemanlı tüm altkümelerinin elemanları toplamı asal olan ve asal sayılardan olu¸san bir kümenin; a ) Be¸s elemanlı kaç tane altkümesi vardır? b ) Içinde˙ 3 asal sayısını bulunduran dört elemanlı kaç altkümesi vardır?

Örnek 11 100 ’den küçük pozitif sayılardan kaç tanesi ; m ve n tamsayılar olmak üzere n^2 m^2 formunda yazılamaz?

12 SAYILAR TEOR˙IS˙I - MUSTAFA ÖZDEM˙IR

1.2 Bölünebilme Kuralları

Örnek 12 101 ; 1001 ; 10001 ; 100001 ; :::;

101 tane 1

z }| { 00 :::00 1 sayılarından kaç tanesi 11 ’e bölü- nebilir?

Örnek 13 A¸sa˘gıdaki 6 basamaklı sayılardan hangisi 7 ’ye bölünmez? A ) aaaaaa B ) abcabc C ) ababab D ) aabbaa E ) a 1 a 1 a 1

Örnek 14 a 679 b be¸s basamaklı sayısının ; 72 ’ye bölünebilmesi için ; a + b kaç ol- malıdır? ( Kanada M.O.- 1980 )

Örnek 15 x; y; z; n ve m rakamları için, xyz 1 n  234 = 332m 842 çarpma i¸slemi sa˘glanıyorsa ; x + y + z + n + m =?

Örnek 16 ˙Ilk 99 pozitif tamsayının art arda yazılmasıyla olu¸san ; 12345 ::: 979899 sayısının 45 ’e bölümünden kalan kaçtır?

Örnek 17 En az 100 basamaklı a 2007 a 2007 a:::a 2007 a sayısının 72 ile tam bölüne- bilmesi için en az kaç basamaklı olması gerekir.

Örnek 18 1320 ve 1452 sayıları istenildi˘gi kadar kullanılarak toplama ; çıkarma ve çarpma i¸slemleriyle a¸sa˘gıdaki sayılardan hangisi elde edilemez? A ) 137 676 B ) 1256676 C ) 170 676 D ) 10 956 E ) 1917 960

Örnek 19 a 1 = 1 ve an = 10an 1 + 1 olmak üzere ; n = 2; 3 ; :::; 1000 için an sayılarından kaç tanesi 37 ’ye bölünür?

Örnek 20 1 ; 2 ; 3 ; :::; 100 sayılarından hiçbir sayı di˘gerinin üç katı olmayacak ¸se- kilde bir grup sayı seçilecektir. Bu seçilecek sayı grubunun maksimum eleman sayısı kaçtır?

Örnek 21 15 n ’in her rakamı 0 veya 8 olacak ¸sekilde en küçük pozitif n sayısı kaçtır? ( AIME 1984 )

Örnek 22 x^2 + 3y = 200 sayısının tamsayılarda kaç tane çözümü vardır?

Örnek 23 7 sayısının a^2 + b^2 sayısını bölmesi için gerek ve yeter ¸sart 7 j a ve 7 j b olmasıdır. Gösteriniz.

14 SAYILAR TEOR˙IS˙I - MUSTAFA ÖZDEM˙IR

1.3.1 Çarpanlara Ayırma Kurallarının Kullanılması

Örnek 34 2009 n^ 209 n^ 839 n^ +92n^ sayısının tüm n pozitif tamsayıları için 117 ’ye bölünebildi˘gini gösteriniz?

Örnek 35 11813 1 sayısının 169 ’a bölümünden kalan kaçtır?

Örnek 36 321 224 68 1 sayısının 1930 ile bölünebildi˘gini gösteriniz.

1.3.2 Binom Açılımının Kullanılması

Örnek 37 3100 sayısının 100 ’e tam bölünebilmesi için en küçük hangi pozitif tam- sayı çıkarılmalıdır?

Örnek 38 n pozitif tamsayısı için ; 32 n + 1 sayısının 2 ’ye bölünebildi˘gini fakat 4 ’e bölünemedi˘gini ispatlayınız.

Örnek 39 2 n^ sayısı 3128 1 sayısını bölecek ¸sekildeki en büyük n pozitif tamsayısını bulunuz.

1.3.3 Tümevarımın Kullanılması

Örnek 40 Her n  1 için ; 33 n+3^ 26 n 27 sayısının 169 ’a bölünebildi˘gini gös- teriniz.

1.3.4 Güvercin Yuvası ˙Ilkesinin Kullanılması

Örnek 41 n tane 1997 sayısının yan yana yazılmasıyla elde edilen ; 4 n basamaklı 199719971997 ::: 1997 sayısı 1999 ’a tam bölünecek ¸sekilde bir n sayısının bulun- du˘gunu gösteriniz.

Örnek 42 a; b; c; d 2 Z olmak üzere ; (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d) çarpımının 12 ’ye tam bölündü˘günü gösteriniz.

Örnek 43 Herhangi üç tamsayıdan a^3 b ab^3 sayısı 10 ’a bölünebilecek ¸sekilde iki a ve b sayısı seçilebilece˘gini gösteriniz.

Örnek 44 1 ; 2 ; 3 ; :::; 1000 sayıları arasından seçilecek 501 sayı arasında biri di˘ge- rine bölünen iki sayının mutlaka oldu˘gunu gösteriniz.

Bölünebilme ve Bölme Algoritması 15

BU SORULARIN ÇÖZÜMLER˙IN˙I MATEMAT˙IK OL˙IMP˙IYATLARINA

HAZIRLIK 3 (Sayılar Teorisi) K˙ITABINDA BULAB˙IL˙IRS˙IN˙IZ. Mustafa Özdemir

Bölünebilme ve Bölme Algoritması 17

9. S = 5 + 55 + 555 + 5555 +


+

z^100 }|^ tane { 555 ::: 55 toplamının 9 ’a bölümünden kalan kaçtır? A) 3 B) 0 C) 5 D) 4 E) 7

10. a^2 + b^2 + c^2 sayısı 26 sayısını bölecek ¸sekilde; kaç tane üç basamaklı abc sayısı vardır? (CENTRO Amerikan M.O.- 2000 ) A) 6 B) 12 C) 11 D) 17 E) 3 11. n^2 sayısı n! sayısını bölemeyecek ¸sekilde 50 ’den küçük kaç tane n pozitif tam- sayısı vardır? (SSCB M.O. 1964 ) A) 16 B) 15 C) 19 D) 7 E) 23 12. n sayısı rakamları toplamı 2009 olan bir sayı oldu˘guna göre; 1 + 2 + 3 +


+ m = n

olacak ¸sekilde kaç tane m sayısı vardır? A) 6 B) 2 C) 5 D) 0 E) 1

13. Kendisinden ve 1 ’den farklı her bir pozitif d böleni; n 20  d  n 12 ko¸sulunu sa˘glayan kaç tane n bile¸sik sayısı vardır? A) 6 B) 2 C) 5 D) 0 E) 4 14. 154 ’e bölündü˘günde 9 kalanını veren ve iki asal sayının toplamı veya farkı ¸sek- linde yazılan kaç tane pozitif tamsayı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) 4 15. [40; a] aralı˘gında 3 ’e tam bölündü˘gü halde 7 ’ye tam bölünemeyen 30 tamsayı oldu˘guna göre; a’nın en küçük de˘geri kaçtır? A) 144 B) 139 C) 135 D) 140 E) Hiçbiri 16. n pozitif tamsayısı için; n sayısının rakamları toplamı S (n) olsun. n + S (n) + S (S (n)) = 2007 e¸sitli˘gini sa˘glayan kaç n sayısı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) 4

18 SAYILAR TEOR˙IS˙I - MUSTAFA ÖZDEM˙IR

17. 1 ile 1000 arasındaki tamsayılardan kaç tanesi negatif olmayan iki tamsayının kareleri farkı olarak yazılabilir? (AIME 1997 ) A) 400 B) 750 C) 500 D) 250 E) Hiçbiri 18. 3 ; 15 ; 24 ; 48 ; ::: ¸seklinde tamkarelerin 1 eksi˘gi 3 ’e bölünen sayıların sıralan- masıyla elde edilen sayılardan 1994 ’üncü terimin 1000 ile bölümünden kalan kaçtır? (AIME 1994 ) A) 63 B) 45 C) 143 D) 240 E) 992 19. Rakamlarından biri 3 olan; ve sadece iki rakamı sıfırdan farklı olan; 107 sayısın- dan küçük kaç tane tamkare vardır? (CENTRO Amerikan M.O. 2001 ) A) 16 B) 3 C) 5 D) 0 E) 14 20. n
2 n^1 tamkare olacak ¸sekilde 100 ’den küçük kaç tane n pozitif tamsayısı vardır? A) 17 B) 11 C) 15 D) 14 E) 12 21. 5 n^ + n sayısı 31 ’e bölünecek ¸sekildeki 31 ’den büyük en küçük pozitif n tamsayısı kaçtır? A) 48 B) 58 C) 68 D) 78 E) 88

BU SORULARIN ÇÖZÜMLER˙IN˙I MATEMAT˙IK OL˙IMP˙IYATLARINA HAZIRLIK 3 (Sayılar Teorisi) K˙ITABINDA BULAB˙IL˙IRS˙IN˙IZ. Mustafa Özdemir

20 SAYILAR TEOR˙IS˙I - MUSTAFA ÖZDEM˙IR

15. a; b 2 Z olmak üzere, 13 j a + 4b ise 13 j 10 a + b oldu˘gunu gösteriniz. 16. a; b 2 Z olmak üzere, a^2 + ab + b^2 sayısı 9 ile bölünüyor ise ; hem a hem de b sayısının 3 ’e bölünece˘gini ispatlayınız. 17. n bir pozitif tamsayı olmak üzere ; n (n + 1) sayısının 1 ’den büyük tamsayının kuvveti olamayaca˘gını ispatlayınız. 18. Herhangi biri sıfır olmayan üç tane ardı¸sık sayının çarpımının bir tamsayının bir kuvveti olamayaca˘gını gösteriniz. 19. n > 2 pozitif tamsayısı için ; 2 n^ 1 ’in 3 ’ün bir kuvveti olamayaca˘gını ispatlayınız. 20. n pozitif tamsayısı için ; 2 n+1 ve 3 n+1 sayıları tamkare ise ; 5 n+3 asal de˘gildir. Gösteriniz. 21. S kümesi üç elemanlı ve herhangi iki elemanın toplamı tamkare olan bir küme ise ; kümenin elemanlarından en çok birinin tek sayı olabilece˘gini ispatlayınız. Örne˘gin ; f 5 ; 20 ; 44 g : 22. a; b; c 2 Z olmak üzere, a^2 + b^2 + c^2 sayısı 16 ’ya tam bölünüyorsa a^3 + b^3 + c^3 sayısı da 64 ’e tam bölünür. Gösteriniz.

BU SORULARIN ÇÖZÜMLER˙IN˙I MATEMAT˙IK OL˙IMP˙IYATLARINA HAZIRLIK 3 (Sayılar Teorisi) K˙ITABINDA BULAB˙IL˙IRS˙IN˙IZ. Mustafa Özdemir

Bölünebilme ve Bölme Algoritması 21

1.6 TÜB˙ITAK Olimpiyat Soruları ( Bölünebilme )

1. Kaç n tamsayısı için; n^3 + 4 sayısı n^2 n + 1 sayısı ile bölünür? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Sonsuz çoklukta U˙IMO - 2007 2. n’nin kaç de˘gi¸sik tamsayı de˘geri için n

2 n + 4 tamsayı olur? A) 3 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12 U˙IMO - 1997

3. Kaç farklı n tamsayısı için; 53 nn^ ^17 5 bir tamsayı olur?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 U˙IMO - 2007

4. 1000 ’den küçük kaç n do˘gal sayısı için n^2 + 8n 85 ifadesi 101 ’e bölünür? A) 0 B) 2 C) 6 D) 9 E) Hiçbiri U˙IMO - 2008 5. 143 ve 253 sayılarını istedi˘gimiz kadar kullanarak; toplama; çıkarma ve çarpma i¸slemleriyle a¸sa˘gıdaki sayılardan hangisini elde edemeyiz? A) 135740 B) 218009 C) 780811 D) 6050704 E) 566500 U˙IMO - 1997 6. On tabanına göre a 627 b ¸seklinde verilen 5 basamaklı sayı 56 ’ya bölündü˘günde 4 kalanını veriyor. Buna göre; a + b kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) Hiçbiri U˙IMO - 1999 7. n(2n 1) sayısının ondalık yazılımının basamakları toplamının 2000 olmasını sa˘glayan kaç n pozitif tamsayısı vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) Sonsuz Çoklukta E) Hiçbiri U˙IMO - 2001 8. x; y 2 f 0 ; 1 ; :::; 9 g olmak üzere ondalık yazılımı 2 x 57 y 3 olan bir sayının 33 ’e bölünmesini sa˘glayan kaç (x; y) sıralı ikilisi vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Hiçbiri U˙IMO - 2002

Bölünebilme ve Bölme Algoritması 23

16. d tamsayısının kaç farklı de˘geri için; her biri d ile bölünen ve toplamları 999 olan 49 pozitif tamsayı bulunabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 UMO - 2006 17. Tüm basamakları 0 ’dan farklı olan ve basamaklarındaki rakamlar nasıl sıralanırsa sıralansın olu¸san sayıların hepsinin 7 ’ye bölündü˘gü kaç tane altı basamaklı pozitif tamsayı vardır? A) 11 B) 77 C) 133 D) 166 E) 255 UMO - 2005 18. E˘ger n pozitif tamsayısına bölünen her tamsayı; basamaklarının yerleri nasıl de˘gi¸stirilirse de˘gi¸stirilsin yine n’ye bölünüyorsa; n’ye "iyi" sayı diyelim. Kaç iyi sayı vardır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) Sonsuz Sayıda UMO - 2008 19. Ondalık yazılımı be¸s basamaklı bir sayının binler basama˘gı 3 olup; bu sayı 37 ve 173 ’e bölünüyorsa; bu sayının yüzler basama˘gı kaçtır? A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 UMO - 2002 20. n!(2n + 1) ve 221 sayılarının aralarında asal olmasını sa˘glayan kaç n pozitif tamsayısı vardır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) Hiçbiri UMO - 2007 21. 5256 1 sayısı 2 n’e bölünüyorsa; n en çok kaç olabilir? A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) Hiçbiri UMO - 2002 22. On tabanına göre yazılımı 50 basamaklı olan bir N tamsayısının soldan 26 ’ncı basama˘gı dı¸sındaki bütün basamaklarında 1 rakamı bulunuyor ve N sayısı 13 ’e tam bölünüyor ise; N ’nin yazılımında soldan 26 ’ncı rakam nedir? A) 1 B) 3 C) 6 D) 8 E) Veriler yetersizdir UMO - 2000 23. Ondalık yazılımında 0 ’dan farklı olan tüm rakamlarına bölünen pozitif bir tam- sayıya “özel sayı” diyelim. En fazla kaç ardı¸sık özel sayı vardır? A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 14 UMO - 2008

24 SAYILAR TEOR˙IS˙I - MUSTAFA ÖZDEM˙IR

BU SORULARIN ÇÖZÜMLER˙IN˙I MATEMAT˙IK OL˙IMP˙IYATLARINA

HAZIRLIK 3 (Sayılar Teorisi) K˙ITABINDA BULAB˙IL˙IRS˙IN˙IZ. Mustafa Özdemir