Mathematics for student, Summaries of Mathematical logic

Download Mathematics for student and more Summaries Mathematical logic in PDF only on Docsity!

Xác suất thống kê

Giải bài tập đề cương

Nhóm ngành 1 MI

Nguyễn Quang Huy 20185454

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌCVIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

School of Applied Mathematics and Informatics

Mục lục

• Lời mở đầu
• 1 Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất
  • 1.1 Quan hệ và phép toán của các sự kiện. Giải tích kết hợp
  • 1.2 Định nghĩa xác suất
  • 1.3 Xác suất điều kiện. Công thức cộng, nhân xác suất. Công thức Bernoulli
  • 1.4 Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes
• 2 Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất
  • 2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc
  • 2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục
  • 2.3 Một số luật phân phối xác suất thông dụng
• 3 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều
  • 3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc
  • 3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

(^1) Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất

1.1 Quan hệ và phép toán của các sự kiện. Giải tích kết hợp

Bài tập 1.1.

Một hộp có 10 quả cầu cùng kích cỡ được đánh số từ 0 đến 9. Từ hộp người ta lấy ngẫu nhiên 1 quả ra và ghi lại số của quả đó, sau đó trả lại vào trong hộp. Làm như vậy 5 lần ta thu được một dãy số có 5 chữ số.

1. Có bao nhiêu kết quả cho dãy số đó? 2. Có bao nhiêu kết quả cho dãy số đó sao cho các chữ số trong đó là khác nhau? 1. Số kết quả cho dãy đó là 105 2. Số kết quả cho dãy có các chữ số khác nhau là 10. 9. 8. 7 .6 = 30240

Bài tập 1.2.

Có 6 bạn Hoa, Trang, Vân, Anh, Thái, Trung ngồi quanh một bàn tròn để uống cà phê, trong đó bạn Trang và Vân không ngồi cạnh nhau.

1. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn này trên bàn tròn nếu tất cả các ghế là không phân biệt? 2. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn này trên bàn tròn nếu tất cả các ghế có phân biệt? 1. Số cách xếp để Trang và Vân không ngồi cạnh nhau là 5! − 2 .4! = 72 2. Số cách xếp nếu các ghế có phân biệt là 6! − 6. 2 .4! = 432. Ta thấy rằng 432 = 6. 72

Bài tập 1.3.

Từ một bộ bài tú lơ khơ 52 cây rút ngẫu nhiên và không quan tâm đến thứ tự 4 cây. Có bao nhiêu khả năng xảy ra trường hợp trong 4 cây đó:

1. đều là át; 2. có duy nhất 1 cây át; 3. có ít nhất 1 cây át; 4. có đủ 4 loại rô, cơ, bích, nhép.

1. Chỉ có 1 khả năng do 1 bộ bài chỉ có 4 con át 2. Có 4 cách lấy ra 1 con át, có C 483 cách chọn 3 lá bài còn lại. Như vậy, số cách lấy ra 4 lá để có duy nhất 1 con át là

4 × C 483 = 69184

3. Số cách chọn ra 4 lá từ bộ bài là C 523. Số cách để chọn ra 4 lá bài trong đó không có cây át nào là C 483 (không lấy thứ tự) Suy ra số khả năng là C 523 − C 483 = 76145 4. Số cách lấy 1 lá bài cơ là C 131 = 13. Tương tự với các loại rô, bích, nhép. Suy ra số khả năng là 134 = 28561

Bài tập 1.4.

Có 20 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 sinh viên (không xét tới tính thứ tự) tham gia câu lạc bộ Văn và 4 sinh viên tham gia câu lạc bộ Toán trong trường hợp:

1. một sinh viên chỉ tham gia nhiều nhất một câu lạc bộ; 2. một sinh viên có thể tham gia cả hai câu lạc bộ. 1. Chọn 4 học sinh tham gia câu lạc bộ Văn có C 204 cách. Do 1 sinh viên không thể tham gia cùng lúc 2 câu lạc bộ, nên số cách chọn 4 sinh viên tham gia câu lạc bộ Toán là C 164. Số khả năng là

C 204 C^416 = 8817900

2. Chọn 4 học sinh tham gia câu lạc bộ Văn có C 204 cách. Do 1 sinh viên có thể tham gia cùng lúc 2 câu lạc bộ, nên số cách chọn 4 sinh viên tham gia câu lạc bộ Toán là C 204. Số khả năng là

C 204 C 204 = 23474025

Bài tập 1.5.

Cho phương trình x + y + z = 100. Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm:

1. nguyên dương; 2. nguyên không âm. 1. Ta đánh dấu trên trục số từ số 1 đến 100 bởi 100 số 1 cách đều nhau 1 đơn vị. Khi đó, ta có 99 khoảng giữa 2 số 1 liên tiếp.

1.2 Định nghĩa xác suất

Bài tập 1.7.

Số lượng nhân viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau:

Tuổi

Giới tính Nam Nữ

Dưới 30 120 170 Từ 30 đến 40 260 420 Trên 40 400 230

Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty thì được:

1. một nhân viên trong độ tuổi 30 – 40; 2. một nam nhân viên trên 40 tuổi; 3. một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống. 1. Gọi A là "lấy được một nhân viên trong độ tuổi 30 − 40 "

P (A) =

2. Gọi B là "lấy được nam nhân viên trên 40 tuổi"

P (B) =

3. Gọi C là "lấy được nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống"

P (C) =

Bài tập 1.8.

Một kiện hàng có 24 sản phẩm, trong số đó có 14 sản phẩm loại I, 8 sản phẩm loại II và 2 sản phẩm loại III. Người ta chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất trong 4 sản phẩm đó:

1. có 3 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II; 2. có ít nhất 3 sản phẩm loại I; 3. có ít nhất 1 sản phẩm loại III.

Ta tính xác suất theo định nghĩa cổ điển. Số trường hợp đồng khả năng là C 244.

1. Số cách lấy 3 sản phẩm loại I là C 143. Số cách lấy 1 sản phẩm loại II là C 81. Số kết cục thuận lợi là C 143 C^18. Suy ra

P (A) =

C^314 C 81

C^424

2. Để trong 4 sản phẩm chọn ra có ít nhất 3 sản phẩm loại I, chỉ có 2 khả năng là cả 4 đều loại I, hoặc 3 loại I, 1 loại II, hoặc loại III. Dễ dàng tính được

P (B) =

C 144 + C 143 C 101

C 244

3. Ta tính xác suất trong 4 sản phẩm không có sản phẩm loại III: P (C) =

C^422

C^424

Do đó, ta có P (C) = 1 − P (C) ' 0. 3116

Bài tập 1.9.

Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để:

1. tất cả tấm thẻ đều mang số chẵn; 2. có đúng 5 số chia hết cho 3; 3. có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có một số chia hết cho 10.

Sử dụng công thức xác suất cổ điển. Số kết cục đồng khả năng khi chọn 10 tấm thẻ là n = C 3010

1. Gọi A là "tất cả thẻ đều mang số chẵn" thì số kết cục thuận lợi cho A là m = C 1510.

Có P (A) =

C 1510

C 3010

' 9. 995 × 10 −^5

2. Gọi B là "có đúng 5 số chia hết cho 3". Có P (B) =

C^510 C 205

C 3010

3. Gọi C là sự kiện cần tính xác suất. Dễ tính được số kết cục thuận lợi cho C là C 31 C 124 C 155. Suy ra

P (C) =

C 31 C 124 C 155

C 3010

Bài tập 1.10.

Việt Nam có 64 tỉnh thành, mỗi tỉnh thành có 2 đại biểu quốc hội. Người ta chọn ngẫu nhiên 64 đại biểu quốc hội để thành lập một ủy ban. Tính xác suất để:

1. trong ủy ban có ít nhất một người của thành phố Hà Nội; 2. mỗi tỉnh có đúng một đại biểu trong ủy ban.

1. P (A) =

2. P (B) = 1 −

3. Để số chấm xuất hiện tổng bằng 7 thì tập kết cục thuận lợi phải là

{(1, 6), (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

suy ra m = 7. Do đó ta có P (C) =

Bài tập 1.13.

Trong một thành phố có 5 khách sạn. Có 3 khách du lịch đến thành phố đó, mỗi người chọn ngẫu nhiên một khách sạn. Tìm xác suất để:

1. mỗi người ở một khách sạn khác nhau; 2. có đúng 2 người ở cùng một khách sạn.

Mỗi người có 5 cách chọn khách sạn để ở. Do đó số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra là 53

1. Gọi A là "mỗi người ở một khách sạn khác nhau".

Số kết cục thuận lợi cho A là 5. 4 .3 = 60. Từ đó có P (A) =

2. Gọi B là "có đúng 2 người ở cùng một khách sạn". Có C 32 cách để chọn ra 2 người. Có 5 cách để họ chọn khách sạn. Người còn lại ở một trong số 4 cái còn lại. Số kết cục thuận lợi cho B, theo quy tắc nhân, là C 32 × 5 × 4. Suy ra P (B) =

C^23 × 5 × 4

Bài tập 1.14.

Một lớp có 3 tổ sinh viên: tổ I có 12 người, tổ II có 10 người và tổ III có 15 người. Chọn hú họa ra một nhóm sinh viên gồm 4 người.

1. Tính xác suất để trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I. 2. Biết trong nhóm có đúng một sinh viên tổ I, tính xác suất để trong nhóm đó có đúng một sinh viên tổ III. 1. Gọi A là "trong nhóm có đúng 1 sinh viên tổ I". Ta có

P (A) =

C 121 C 253

C 374

2. Gọi B "có đúng 1 sinh viên tổ III". Theo định nghĩa xác suất điều kiện,

P (B | A) =

P (AB)

P (A)

C 121 C 102 C 151

C 374

Nếu ta tính trực tiếp không qua công thức xác suất điều kiện, thì với giả thiết biết có đúng 1 sinh viên tổ I, số trường hợp đồng khả năng là C^325.

Số kết cục thuận lợi là C 102 C 151 , suy ra P =

C 102 C 151

C 253

Bài tập 1.15.

Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa đĩa chén và giả sử ba người này đều khéo léo như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất để:

1. chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén; 2. một trong ba người đánh vỡ 3 chén; 3. một trong ba người đánh vỡ cả 4 chén.

Số kết cục đồng khả năng là 34

1. P (A) =

C 43 C 11

2. Chọn một người đánh vỡ 3 chén, và một trong 2 người còn lại đánh vỡ 1 chén.

Suy ra P (B) =

C^13 C 43 C 21 1

3. P (C) =

C 31 1

Bài tập 1.16.

Đội A có 3 người và đội B có 3 người tham gia vào một cuộc chạy thi, 6 người có khả năng như nhau và xuất phát cùng nhau. Tính xác suất để 3 người đội A về vị trí nhất, nhì, ba.

Vì chỉ có 3 giải nhất, nhì, ba và mỗi giải chỉ có thể trao cho 1 trong 6 người, nên số kết cục đồng khả năng là A^36 = 20. Mặt khác, với mỗi cách trao giải cho 3 người đội A, ta có một hoán vị của "nhất, nhì, ba" nên số kết cục thuận lợi là 3!.

Tóm lại, xác suất cần tính P =

A^36

x

y

O

Gọi x là độ dài AC, hiển nhiên CB = 10 − x. Số kết cục đồng khả năng ở đây là độ dài đoạn thẳng AB, chính là 10 cm. Gọi A là "chênh lệch độ dài giữa AC và CB không quá 4 cm", khi đó, A biểu thị bởi miền hình học H =

{ x ∈ [0, 10] mà

∣∣ x − (10 − x)

∣∣ ≤ 4

}

A B

Vì H là đoạn thẳng có độ dài 7 − 3 = 4 (cm) nên ta dễ dàng tính P (A) theo định nghĩa hình

học: P (A) =

Bài tập 1.20.

Cho đoạn thẳng AB độ dài 10 cm. Lấy hai điểm C, D bất kỳ trên đoạn AB (C nằm giữa A và D). Tính xác suất độ dài AC, CD, DB tạo thành 3 cạnh một tam giác.

Gọi x, y lần lượt là độ dài các đoạn thẳng AC, CD. Khi đó ta có DB = 10 − x − y, với điều kiện x ≥ 0 , y ≥ 0 , 10 − x − y ≥ 0. Miền đồng khả năng là

G =

{ (x, y) ∈ R^2 | x ≥ 0 , y ≥ 0 , 10 − x − y ≥ 0

}

Gọi A là "độ dài AC, CD, DB tạo thành 3 cạnh tam giác" thì miền kết cục thuận lợi cho A là

H =

{ (x, y) ∈ G | x + y > 10 − x − y, x + (10 − x − y) > y, y + (10 − x − y) > x

}

Như vậy, xác suất của sự kiện A là P (A) =

|H|

|G|

x

y

O

1.3 Xác suất điều kiện. Công thức cộng, nhân xác suất. Công thức

Bernoulli

Bài tập 1.21.

Cho các sự kiện A, B với P (A) = P (B) =

; P (AB) =

. Tìm:

1. P (A + B);

2. P (AB), P (A + B).

1. P (A + B) = 1 − P (AB) = 1 − P (A) + P (AB) = 0. 625

2. P (AB) = P (B) − P (AB) = P (B) − P (A) + P (AB) = 0. 125

và P (A + B) = 1 − P (AB) = 0. 875

Bài tập 1.22.

Cho ba sự kiện A, B, C độc lập từng đôi thỏa mãn P (A) = P (B) = P (C) = p và P (ABC) = 0.

1. Tính P (ABC); P (AB C); P (A B C). 2. Tìm giá trị p lớn nhất có thể có. 1. P (ABC) = P (AB) − P (ABC) = p^2 P (AB C) = P (AB) − P (ABC) = p(1 − p) − p^2 = p − 2 p^2 Chú ý rằng vì A, B, C có vai trò như nhau nên P (ABC) = P (ABC) Suy ra P (A B C) = P (B C) − P (AB C) = (1 − p)^2 − p + 2p^2 = 3p^2 − 3 p + 1

Bài tập 1.26.

Trong một thùng kín có 6 quả cầu đỏ, 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng quả cầu cho đến khi lấy được cầu đỏ thì dừng lại. Tính xác suất để:

1. Lấy được 2 cầu trắng, 1 cầu vàng. 2. Không có quả cầu trắng nào được lấy ra.

Gọi D i , T j , V k là "lấy được quả đỏ, trắng, vàng ở lần thứ i, j, k"

1. Có A = T 1 T 2 V 3 D 4 + T 1 V 2 T 3 D 4 + V 1 T 2 T 3 D 4 suy ra

P (A) =

ở đó P (T i T j V k D l ) = P (T i ) P (T j | T i ) P (T k | T i T j ) P (D l | T i T j T k )

2. Có B = D 1 + V 1 D 2 + V 1 V 2 D 3 + V 1 V 2 V 3 D 4 + V 1 V 2 V 3 V 4 D 5 Vì các sự kiện trong tổng trên là xung khác, nên áp dụng công thức cộng và xác suất của một tích ta có

P (B) =

Bài tập 1.27.

Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng bắn súng vào bia. Xác suất bắn trúng bia của 3 người A, B và C tương ứng là 0,7, 0,6 và 0,9. Tính xác suất để:

1. có duy nhất một xạ thủ bắn trúng bia; 2. có đúng hai xạ thủ bắn trúng bia; 3. có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia; 4. xạ thủ A bắn trúng bia biết rằng có hai xạ thủ bắn trúng bia.

Gọi A, B, C lần lượt là "A, B, C bắn trúng bia". Dễ thấy A, B, C là các sự kiện độc lập. Ta có

1. P (A 1 ) =

∑ P (A BC) = 0. 154

2. P (A 2 ) =

∑ P (ABC) = 0. 456

3. P (A 3 ) = 1 − P (A B C) = 0. 988 4. Gọi A 4 là "xạ thủ A bắn trúng bia biết rằng có hai xạ thủ bắn trúng bia". Ta có A 4 = A | A 2. Sử dụng xác suất điều kiện,

P (A 4 ) = P (A | A 2 ) =

P (ABC) + P (ACB)

P (A 2 )

Bài tập 1.28.

Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn độc lập. Hệ thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của mỗi bóng của mỗi hệ thống được xem như độc lập. Tính xác suất để trong 18 giờ thắp sáng liên tục:

1. cả hai hệ thống bị hỏng; 2. chỉ có một hệ thống bị hỏng.

Gọi A i là "bóng thứ i của hệ thống I hỏng" và B j là "bóng thứ j của hệ thống II hỏng". Hệ thống I bị hỏng iff 1 trong 4 bóng của nó hỏng, ta biểu diễn sự kiện này là

A = A 1 + A 2 + A 3 + A 4

Có P (A) = 1 − (1 − 0 .1)^4 = 0. 3439 Hệ thống II hỏng iff tất cả 3 bóng mắc song song đều hỏng, sự kiện này là

B = B 1 B 2 B 3

Có P (B) = 0. 13 = 0. 001

1. Gọi C là "cả hai hệ thống hỏng". C xảy ra iff hệ thống I và hệ thống II đều hỏng, nói cách khác, C = AB = (A 1 + A 2 + A 3 + A 4 )B 1 B 2 B 3 Suy ra P (C) = 0. 3439 × 0 .001 = 3. 439 × 10 −^4 2. Gọi D là "chỉ có một hệ thống hỏng" thì ta có

D = AB + AB = (A 1 + A 2 + A 3 + A 4 )(B 1 + B 2 + B 3 ) + (A 1 A 2 A 3 A 4 )B 1 B 2 B 3

Suy ra P (D) = 0. 3439 × (1 − 0 .001) + (1 − 0 .3439) × 0. 001 ' 0. 3442

Bài tập 1.29.

Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là 0,8, còn súng mới là 0,95. Bắn hú họa bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Điều gì có khả năng xảy ra lớn hơn: bắn bằng khẩu súng mới hay bắn bằng khẩu súng cũ?

Gọi M là "bắn bằng khẩu mới" thì M là "bắn bằng khẩu cũ". Có P (M ) = 0. 4 và P (M ) = 0. 6. Gọi T là "bắn trúng" thì theo đề bài, ta có P (T | M ) = 0. 95 và P (T | M ) = 0. 8. Áp dụng công thức xác suất điều kiện suy ra

P (M | T ) =

P (M )P (T | M )

P (T )

P (T )

, P (M | T ) =

P (M )P (T | M )

P (T )

P (T )

1. P (A B) = 1 − P (A + B) = 1 − P (A) − P (B) + P (AB) = 0. 65

2. P (B | A) =

P (BA)

P (A)

P (A) − P (AB)

P (A)

Bài tập 1.33.

Một cuộc khảo sát 1000 người về hoạt động thể dục thấy có 80% số người thích đi bộ và 60% thích đạp xe vào buổi sáng và tất cả mọi người đều tham gia ít nhất một trong hai hoạt động trên. Chọn ngẫu nhiên một người hoạt động thể dục. Nếu gặp được người thích đi xe đạp thì xác suất mà người đó không thích đi bộ là bao nhiêu?

Gọi A là "người thích đi bộ", B là "người thích đi xe đạp" Theo giả thiết, P (A) = 0. 8 , P (B) = 0. 6 và P (A + B) = 1. Ta có

P (A | B) =

P (A B)

P (B)

P (B) − P (AB)

P (B)

P (B) +

[ P (A + B) − P (A) − P (B)

]

P (B)

=

P (A + B) − P (A)

P (B)

Bài tập 1.34.

Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai. Để vào được đội tuyển, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi. Tính xác suất để một thí sinh bất kỳ:

1. được vào đội tuyển; 2. bị loại ở vòng thứ ba; 3. bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại.

Gọi A i là "thí sinh vượt qua vòng thứ i" thì ta có P (A 1 ) = 0. 8 , P (A 2 | A 1 ) = 0. 7 và P (A 3 | A 1 A 2 ) = 0. 45

1. Gọi A là "thí sinh được vào đội tuyển" thì A xảy ra nếu thí sinh vượt qua cả 3 vòng, nghĩa là A = A 1 A 2 A 3

P (A) = P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 2 | A 1 ) P (A 3 | A 1 A 2 ) = 0. 8 × 0. 7 × 0 .45 = 0. 252

2. Gọi B là "thí sinh bị loại ở vòng thứ 3 " thì B = A 1 A 2 A 3

P (B) = P (A 1 ) P (A 2 | A 1 ) P (A 3 | A 1 A 2 ) = 0. 8 × 0. 6 × (1 − 0 .45) = 0. 308

3. Gọi C là sự kiện đang quan tâm: "thí sinh bị loại ở vòng 2 , biết thí sinh này bị loại". Ta biểu diễn C = A 1 A 2 | A.

P (C) =

P

[ (A 1 A 2 )A

]

P (A)

P (A 1 A 2 )

P (A)

( vì A 1 A 2 ⊂ A

)

P (A 1 )P (A 2 | A 1 )

P (A)

Bài tập 1.35.

Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai đều là trai là 0,27 và hai con đều là gái là 0,23, còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết sự kiện khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.

Gọi A là "con thứ nhất là con trai" và B là "con thứ hai là con trai" thì theo đề, P (AB) = 0. 27 , P (A B) = 0. 23 và P (A B) = P (A B) = 0. 25. Sự kiện quan tâm là B | A. Ta có

P (B | A) =

P (B A)

P (A)

P (B A)

P (AB) + P (A B)

Bài tập 1.36.

Một tổ có 15 sinh viên trong đó có 5 sinh viên học giỏi môn "Xác suất thống kê". Cần chia làm 5 nhóm, mỗi nhóm 3 sinh viên. Tính xác suất để nhóm nào cũng có một sinh viên học giỏi môn "Xác suất thống kê".

Gọi A i là "nhóm thứ i có 1 người giỏi Xác suất thống kê" và A là sự kiện nhóm nào cũng có người giỏi Xác suất thống kê, thì dễ dàng nhận thấy

A = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5

Ta có

P (A 1 ) =

C 51 C 102

C 153

, P (A 2 | A 1 ) =

C^14 C 82

C 123

, P (A 3 | A 1 A 2 ) =

C 31 C 62

C 93

P (A 4 | A 1 A 2 A 3 ) =

C 21 C 42

C 63

, P (A 5 | A 1 A 2 A 3 A 4 ) =

C 11 C 22

C 33

Áp dụng công thức xác suất của tích ta có

P (A) = P (A 1 ) P (A 2 | A 1 ) P (A 3 | A 1 A 2 ) P (A 4 | A 1 A 2 A 3 ) P (A 5 | A 1 A 2 A 3 A 4 )

=

C 51 C 102

C 153

C 41 C 82

C 123

C^13 C 62

C^39

C 21 C 42

C 63

C^11 C 22

C 33