Download mathematics model task for self education and more Schemes and Mind Maps Mathematics in PDF only on Docsity!
Практичне заняття № 1
Математичні моделі оптимізаційних задач
Завдання 1. Скласти математичну модель задачі згідно зі своїм варіантом завдання і розв’язати задачу з
використанням надбудови «Поиск решения» в середовищі Microsoft Excel.
Приклад побудови математичної моделі економічної задачі
Для виготовлення трьох видів виробів А, В, С використовується токарне, фрезерне, револьверне
та шліфувальне обладнання. Затрати часу на обробку одного виробу для кожного з типів обладнання
вказані в таблиці. Також в ній вказано загальний фонд робочого часу кожного з типів використаного
обладнання, а також прибуток від реалізації одного виробу кожного виду:
Тип обладнання
Затрати часу (станко - год.)
на обробку одного виробу
виду
Загальний фонд
робочого часу
обладнання (годин)
Фрезерне
А В С
Токарне 1 8 6 280
Револьверне 7 4 5 240
Шліфувальне 4 6 7 360
Прибуток (грн.) 10 14 12
Необхідно визначити, скільки виробів і якого виду слід виготовити заводу, щоб прибуток від їх
реалізації був максимальний.
Розв’язання.
Введемо змінні:
x 1 – кількість виробів виду А;
x 2 – кількість виробів виду В;
x 3 – кількість виробів виду С.
Тоді для виробництва такої кількості виробів необхідно витратити (верстато-год.)
фрезерного обладнання. Але, так як фонд робочого часу для фрезерних станків не перевищує 120 годин,
то. Аналогічно, міркуючи, отримаємо систему
Так як кількість виробів не може бути від’ємна, то ; ;
Оскільки прибуток від реалізації одного виробу виду А становить 10 грн., виду В – 14 грн., а
виду С – 12 грн., то прибуток від реалізації одиниць виробів виду А, одиниць виробів виду В,
одиниць виробу виду С, буде складати:
F=10x 1 +14 x 2 +12 x 3
Таким чином маємо наступну математичну модель вихідної задачі:
F=10x 1 +14 x 2 +12 x 3
1 2 3
2 x + 4 x + 5 x
1 2 3
2 x + 4 x + 5 x £ 120
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
x x x
ì^ +^ +^ £
ï
í
ï
1
x ³ 0 2
x ³ 0 3
x ³ 0
i
x ³
i =1 3_._
1
x 2
x 3
x
® max
® max
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
x x x
ì^ +^ +^ £
ï
í
ï
i
x ³
i =1 3_._
Варіант 1
Кондитерська фабрика для виробництва трьох видів карамелі А, В та С використовує три види
основної сировини: цукровий пісок, патоку та фруктове пюре. Норми затрат сировини кожного виду на
виробництво 1т карамелі даного виду наведені в таблиці.
В ній також вказано загальну кількість сировини кожного виду, яка може бути використана
фабрикою, а також наведений прибуток від реалізації 1т карамелі даного виду.
Вид сировини
Норми витрат
сировини (т) на 1 т
карамелі
Загальна
кількість
сировини
А В С (т)
Цукровий пісок
Патока
Фруктове пюре
Прибуток від
реалізації 1 т
продукції (грн.)
Знайти план виробництва карамелі, що забезпечує максимальний прибуток від її реалізації.
Варіант 2
При годуванні тварин кожна тварина щоденно повинна отримати не менше 60 од. поживної речовини
А, не менше 50 од. поживної речовини В та не менше 12 од. речовини С. Вказані поживні речовини
містять три види кормів. Вміст одиниць поживних речовин в 1 кг кожного з видів корму наведено в
наступній таблиці:
Поживні
речовини
Кількість одиниць поживних речовин в 1
кг корму виду
I II III
А
В
С
Скласти денний раціон, що забезпечує отримання необхідної кількості поживних речовин при
мінімальних грошових затратах, якщо ціна 1кг корму I виду складає 9 грн., корму II виду - 12 грн та
корму III виду - 10 грн.
Варіант 3
Для виробництва столів та шаф меблева фабрика використовує необхідні ресурси. Норми затрат
ресурсів на один виріб даного виду, прибуток від реалізації одного виробу та загальну кількість наявних
ресурсів кожного виду приведені в наступній таблиці:
Ресурси
Норми
затрат
ресурсів на
один виріб
Загальна кількість ресурсів
стіл шафа
Деревина (м
3 );
I виду
II виду
Трудомісткість (людино-год.)
Прибуток від реалізації одного
виробу (грн.)
Визначити, скільки столів та шаф слід виготовити, щоб прибуток від їх реалізації був максимальним.
Варіант 7
З трьох видів сировини необхідно скласти суміш, у склад якої повинно входити не менше 26 од.
хімічної речовини А, 30 од. - речовини В та 24 од. - речовини С. Кількість одиниць хімічної речовини,
що міститься в 1кг сировини кожного виду, вказано у таблиці. В ній же наведена ціна 1кг сировини
кожного виду.
Речовина
Кількість одиниць речовини, що міститься в 1кг сировини виду
А
В
С
Ціна 1 кг сировини, грн. 5 6 7 4
Скласти суміш мінімальної вартості, що містить не менше потрібної кількості речовини даного виду.
Варіант 8
Для виробництва продукції трьох видів А, В та С використовуються три різні види сировини.
Кожний із видів сировини може бути використаний в обсязі, відповідно не більшому, ніж 180, 210 та
236 кг. Норми затрат кожного із видів сировини на одиницю продукції даного виду та ціна одиниці
продукції кожного виду наведені в таблиці.
Вид сировини
Норми затрат сировини (кг) на
одиницю продукції
Виріб А Виріб В Виріб С
I
II
III
Ціна одиниці
продукції (грн.)
Визначити план випуску продукції, при якому загальна вартість всієї продукції була б максимальною.
Варіант 9
Для нормального проходження технологічного процесу в одному з цехів кондитерської фабрики
потрібні цукор, патока, горіхи, олія, какао, місячна норма споживання яких повинна бути не меншою,
відповідно, ніж 110, 100,60,20,25, з яких виробляють горіхову карамель трьох видів B1 ,B2 , B 3. В
таблиці даний вміст кожного продукту в кожному з видів карамелей в кг на 1 кг.
Продукти
Вміст продуктів в карамелі виду
B1 B2 B
цукор 0.6 0.6 0.
патока 0.3 0.35 0.
горіхи 0.1 0.1 0.
олія 0.05 0.06 0.
какао 0.05 0.04 0
Ціна 1кг карамелей 3.50 4.00 4.
Визначити оптимальну, з точки зору максимізації сумарної вартості виробленої продукції, структуру
виробництва даної продукції.
Варіант 10
На чотирьох верстатах виготовляють продукцію трьох видів. Відомі час обробки деталей на кожному
верстаті, час роботи верстатів протягом одного циклу виробництва і прибуток від реалізації кожної
деталі. Скільки треба виготовляти деталей кожного виду, щоб прибуток від реалізації механізму, що
складається з двох деталей A , трьох деталей B і деталі C , був максимальним.
Верстати Час роботи вест. за цикл виробництва
Норми використання ресурсів
A B C
I 16 1 2 3
II 26 2 3 5
III 10 1 1 0
ІV 24 3 1 2
Прибуток від реалізації 4 6 7
Визначити оптимальну, з точки зору максимізації прибутку, структуру виробництва даної продукції.
Варіант 11
Для нормальної життєдіяльності людині треба споживати щодоби 10 г. вітаміну A, 15 г вітаміну C і 3
г. вітаміну B. Потрібно також, щоб в раціоні вміст білків, жирів та вуглеводів був не менше 200, 100,
300 грамів відповідно. Вміст даних речовин в грамах на 1 кг продуктів наведено в таблиці.
Білки Жири Вуглеводи Віт. А Віт. В Віт. С Кільк. ккал
Хліб 5 15 100 0.1 0.05 0.02 200
Молоко 80 50 60 0.9 0.07 3.0 120
М'ясо 150 100 80 5.0 0.10 5.0 2000
Овочі 10 30 150 0.05 0.01 7.0 150
Яйця 120 10 70 2.5 0.10 2.0 2600
Скласти раціон, який задовольняє всі вимоги з продуктів, щоб кількість кілокалорій була мінімальною.
Варіант 12
Швейна майстерня виготовляє жіночі костюми, плаття та спідниці з тканин трьох видів A , B , C.
Тканини Наявність
тканини в м
2
Витрати на 1-цю прод.
Костюми плаття спідниці
A 100 2.5 2.0 0.
B 80 0.2 0.3 0.
C 150 1.0 0.8 0.
Ціна одиниці продукції 100 80 40
Як спланувати виробництво, щоб продукції можна було реалізувати на максимальну суму, якщо
відомо, що спідниць продається, втричі більше, ніж костюмів, а платтів - вдвічі більше.
Варіант 13
Підприємство має три види устаткування, на якому можна виробляти продукцію 4-х видів, збут якої
необмежений, тому підприємство само планує асортимент і величину випуску продукції. Сировина
також може постачатися в необмеженій кількості. В табл. наведений місячний фонд часу використання
кожного виду устаткування, витрати часу на одиницю виробу і величину прибутку від реалізації
продукції кожного виду. Треба знайти план випуску продукції, щоб щомісячний прибуток був
максимальний.
Місячний фонд вик. часу
Прибуток за один виріб 45 50 20 60
Варіант 14
Фірма виготовляє два види продукції А та В, використовуючи для цього два види сировини, добовий
запас якої не перевищує відповідно 210 та 240 ум. од. Витрати сировини для виготовлення одиниці
продукції кожного виду подано таблицею:
Сировина
Норма витрат сировини, ум. од., для виготовлення продукції
А В
Відділ збуту фірми вважає, що виробництво продукції В має становити не більш як 65% загального
обсягу реалізації продукції обох видів. Ціна одиниці продукції А та В дорівнює відповідно 10 та 40 дол.
Визначити оптимальний план виробництва продукції, який максимізує дохід фірми.
Варіант 15
Фірма виготовляє деталі до автомобілів, ринок збуту яких практично необмежений. Будь-яка деталь
має пройти послідовну обробку на трьох верстатах, час використання кожного з яких становить 10
год./добу. Тривалість обробки, хв., однієї деталі на кожному верстаті наведено в таблиці:
Деталь
Тривалість обробки деталі, хв., за верстатами
А 10 6 8
1
B
2
B
3
B
4
B
1
A
2
A
3
A
