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Chapitre 1

R´evision du Calcul Diff´erentiel et Int´egral

MTH2304: Probabilit´es et Statistique Appliqu´ees

Table des Mati`eres

Limites et Continuit´e

D´eriv´ees

Int´egrales

S´eries infinies

Limite d’une fonction

Soit f (x) une fonction `a valeurs r´eelles. On dit que f (x) tend vers f 0 lorsque x tend vers x 0 , si pour tout ϵ > 0, il existe δ > 0 tel que :

0 < |x − x 0 | < δ =⇒ |f (x) − f 0 | < ϵ

Notation : limx→x 0 f (x) = f 0.

Remarque sur la limite (i)

La limite peut exister mˆeme si la fonction f (x) n’est pas d´efinie au point x 0.

Exemple

f (x) =

x^2 − 1 x− 1 ,^ si^ x^ ̸= 1 non d´efinie, si x = 1 Calculez limx→ 1 f (x).

Remarque sur la limite (iii)

limx→x 0 f (x) = ∞ signifie que, pour n’importe quel M > 0, il existe δ > 0 tel que :

0 < |x − x 0 | < δ =⇒ f (x) > M

Exemple

f (x) =

(x − 3)^2 Calculez limx→ 3 f (x).

Remarque sur la limite (iv)

On peut g´en´eraliser la d´efinition de limite pour x 0 = ±∞.

Exemple

f (x) =

1 + e−x Calculez limx→∞ f (x).

Limite a droite et limitea gauche (suite)

Si la limite a droite et la limitea gauche sont ´egales, alors la limite de f en x 0 existe et est donn´ee par :

lim x→x 0 f (x) = lim x→x 0 +

f (x) = lim x→x 0 −

f (x)

Exemple

Soit la fonction : f (x) = |x| Calculez la limite en x 0 = 0.

Continuit´e d’une fonction

Une fonction f (x) est continue au point x 0 si :

1. Elle est d´efinie en x 0.
2. limx→x 0 f (x) existe.
3. limx→x 0 f (x) = f (x 0 ).

Exemple

Soit la fonction suivante :

f (x) =

x^2 , si x ≤ 1 2 − x, si x > 1

Etudiez la continuit´´ e en x 0 = 1.

Remarque : Continuit´e unilat´erale (ii)

Si limx→x 0 − f (x) = f (x 0 ), on dit que f (x) est continue a gauche. Si limx→x 0 + f (x) = f (x 0 ), on dit que f (x) est continuea droite.

Exemple

Consid´erons la fonction partie enti`ere :

f (x) = ⌊x⌋ Etudiez la continuit´^ ´ e en x 0 = 1.

Remarque : Continuit´e par morceaux (iii)

Une fonction est continue par morceaux si l’intervalle peut ˆetre divis´e en sous-intervalles ou f (x) est continue et possede des limites a gauche eta droite.

Exemple

Consid´erons la fonction d´efinie par morceaux suivante :

f (x) =

x + 2, si x < 0 x^2 , si 0 ≤ x ≤ 2 4 − x, si x > 2

Etudiez la continuit´´ e de la fonction en x = 0 et x = 2.

Limite pour les fonctions de plusieurs variables

Une fonction f (x, y ) est continue au point (x 0 , y 0 ) si :

lim (x,y )→(x 0 ,y 0 )

f (x, y ) = f (x 0 , y 0 )

Exemple

Consid´erons la fonction `a deux variables suivante :

f (x, y ) = x^2 + y 2 Etudiez sa continuit´^ ´ e au point (x 0 , y 0 ) = (1, 2).

Exemple: Limite pour les fonctions de plusieurs variables

Consid´erons la fonction suivante :

f (x, y ) =

( (^) xy x^2 +y 2 ,^ si (x,^ y^ )^ ̸= (0,^ 0) 0 , si (x, y ) = (0, 0)

Etudiez la continuit´´ e en (0, 0).

D´efinition : D´erivabilit´e

Supposons que la fonction f (x) est d´efinie en x 0 ∈ (a, b). Si

f ′(x 0 ) := lim x→x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

≡ lim ∆x→ 0

f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) ∆x

existe, alors on dit que la fonction f (x) est d´erivable au point x 0 et f ′(x 0 ) est la d´eriv´ee de f (x) par rapport `a x en x 0.

Exemple

Consid´erons les deux fonctions suivantes : ▶ (^) f (x) = 3x − 5 ▶ (^) h(x) = x^2 − 4 Calculez la d´eriv´ee de chacune de ces fonctions en x 0 = 2.

Remarque : Condition de continuit´e

Pour que la fonction f (x) soit d´erivable en x 0 , elle doit au moins ˆetre continue en ce point.

Exemple

La fonction de Heaviside est d´efinie par :

u(x) =

0 si x < 0 1 si x ≥ 0

Est-ce que cette fonction est d´erivable en x 0 = 0?

Cependant, cette condition n’est pas suffisante.