Statistical Analysis: Curve Fitting and Regression Models - Prof. Sultan, Lecture notes of Electronic Measurement and Instrumentation

Download Statistical Analysis: Curve Fitting and Regression Models - Prof. Sultan and more Lecture notes Electronic Measurement and Instrumentation in PDF only on Docsity!

3. Bölüm

Chauvenet Kriteri

^2 Testi

Eğri Uydurma: “En Küçük Kareler

Yöntemi”

Korelasyon Katsayısı

Grafiksel Analiz

Deneylerde yapılan ölçümlerde, değişik hata kaynakları nedeniyle, gerçeği

yansıtmayan veri olabilir. Şüpheli bir göz hatalı bir veriyi fark edecek ve bu veriyi

ayıklamak isteyecektir. Beklentiler ile uyuşmayan bu tür hatalı veri keyfi olarak

kaldırılırsa yanlış sonuçlar elde edilebilir. 2 farklı verinin ayrı ayrı elendiği durumda

eğrilerin nasıl değiştiği grafiklerde görülmektedir. Ölçüm sonuçlarında hata olduğu

düşünülüyorsa Chauvenet kriteri gibi tutarlı bir analiz yöntemi ile hatalı veri ayıklanabilir.

− 



+ 

1. 96

1. 96

− 



+ 

1. 96

1. 96

Orjinal

Veri Seti

Doğru

Veri

Kötü Veri

Analizde kullanılabilir.

Doğruluğu test

edilmelidir.

Hatalı veri elenmelidir.

n = 10 için örnek hesaplama:

1 0. 05 0. 95

1. 05 2

1 10

→ = − =

= → =

p

n

n

 1 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.

1. 96

maks → = = 



d

Normal hata dağılım fonksiyonu integralinin değerleri:















 − → = = 



2

erf 2

1

1. 475 2

2. 95 xi

( / 2 )→ 2

1 erf 

Veri sayısı ( n ) 3 4 5 6 7 10 15 25 50 100 300 500 1000

d maks /  1.38^ 1.54^ 1.65^ 1.73^ 1.80^ 1.96^ 2.13^ 2.33^ 2.57^ 2.81^ 3.14^ 3.29^ 3.

Veri sayısına göre kabul edilebilir maksimum sapma miktarı:

(Tablo: Ölçme Tekniği Ders Notu, Ders 2, Tablo 2)

Chauvenet kriterinin uygulanması için en az üç ölçüm yapılması gerekir.

Chauvenet kriteri aynı veri setine pratikte birden fazla uygulanarak daha çok

veri ayıklaması yapılabilir, ancak bu uygulama kabul görmez.



 

−

xi

1. adım 2. adım

Okuma Basınç [bar] di = xi - xm ( xi - xm )^2 | di /  | Basınç [bar] di = xi - xm ( xi - xm )^2

Ortalama: xm 113,00  10,32796 110,56  7,

n 10

d maks /  1,

Okuma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Basınç [bar] 100 105 105 110 110 110 115 115 125 135

ÖRNEK:

Bir tankın basıncı arka arkaya 10 defa ölçülmüştür ve tablodaki değerler elde

edilmiştir. Chauvenet kriterini kullanarak şüpheli veri olup olmadığını saptayınız ve

buna göre veri setinin standart sapmasını hesaplayınız.



n

i

m xi n

x 1

1 / 2

1

2 ( ) ( 1 )

1  

  

 − −

= (^) 

n

i

xi xm n

 veri sayisi: 10 → = 1. 96 

d maks

19. 812

13

2

=



F

şüpheli (^) kabul şüpheli

edilebilir

İstatiksel yaklaşım uygularken örneklemenin bellirli bir sayı altında olması

uygun değildir. Benzer olarak χ - kare testi için en az 5 ölçüm değeri olması

gerekir. Bunun sağlanmadığı durumlarda bazı gözlemlerin gruplanması ve

dolayısı ile gözlem sayısında ayarlama yapılması önerilir.

ÖRNEK:

Bir para 20 defa atılmıştır ve 6 defa tura 14 defa yazı gelmiştir. χ^2 testi ile bu

paranın hileli olup olmadığını belirleyiniz.

Her veri için 2 seçenek var: yazı veya tura

Para sayısı: 1 adet

→ n = 2

→ k = 1

= 2 − 1 = 1

F = n − k

Serbestlik derecesi

Atış sayısı: 20

Gözlemlenen Beklenen

Tura 6 10

Yazı 14 10

( ) ( )

1. 2 10

14 10

10

( ) 6 10

2 2

1

2 2 0 =

−

−  = 



 

 (^) − = (^) 

=

n

i (^) e i

e

n

n n 

şüpheli (^) kabul şüpheli

edilebilir

%7.8 →^ Para şüphelidir

( xi , yi ) veri noktaları için, ikisi

arasındaki ilişkiyi kuran, bir fonksiyon

kullanılarak bir eğri elde edilebilir.

y = f ( x ) şeklindeki fonksiyona

regresyon denklemi denir.

Eğri uydurma seçeneklerinden bazı örnekler şu şekildedir:

➢ Doğrusal (lineer):

y = mx + c

➢ 2. derece eğri:

2 y = x

2 y = ax + bx + c

➢ 3. derece eğri:

3 y = x

➢ 3. derece eğri:

➢ Logaritmik eğri:

➢ Eksponansiyel eğri:

y x

y x

ln

log

=

=

x y = e

y = px + qx + rx + s

3 2

y a a x e i i

= + + 0 1

Kesme noktası Eğim Hata

Bu eğrilerden

hangisi daha

doğru sonuç

vermektedir?

y a a x 0 1 = +

y (^) i = a 0 + a 1 xi + e

y f x a a x 0 1 = ( )= +

( x (^) i , yi ) i =1, 2 ,, n

ei = yi −( a 0 + a 1 xi )

2 2 2 2

2 r 1 i n S = e + e ++ e ++ e

 (^ )

2

1

 0 1

= − +

n

i

Sr yi a a xi

• Veri noktaları:
• Fonksiyon uydurma ( lineer ):
• Fonksiyon ile veri noktaları arasındaki hata:
• Hataların karelerinin toplamı:

Çözüm aşamaları:

Burada hedef, S değerini minimum seveyide tutacak a 0 ve a 1 katsayılarının belirlenmesidir

( ) ( )    = = =

= = − = − −

n

i

i i

n

i

i i

n

i

r S e y y y a a x i 1

2 0 1 1

2 ,measured ,model 1

2

y (^) i = a 0 + a 1 xi + e

y

x

Polinom şeklinde eğri uydurma:

• 1. derece polinom uydurma
• Farkların karelerinin toplamı: ( )

=

= − − −

n

i

Sr yi a a xi a xi

1

2 2 0 1 2

• Sr değerini minimum seviyede tutacak

a 0 , a 1 ve a 2 katsayılarının

belirlenmesi:

y = a + a x + a x + e

2 0 1 2

• Elde edilen denklem takımı:

3 bilinmeyen – 3 denklem

1 / 2

2

2 , 1 













 = − y

yx R 



1 / 2 2

1

1

( )

















−

−

 (^) =

n

y y

n

i i m  y

2 1 /^2

1 , 2

( )





















−

−

 (^) =

n

y y

n

i i ic  yx

KORELASYON KATSAYISI

Verilerden eğri geçirildiğinde yapılan

yaklaşımın ne kadar iyi olduğunu

korelasyon katsayısı R belirler.

Burada σy y ’nin standart sapmasıdır.

𝑦𝑖, y ’nin ölçülen gerçek değerleri, 𝑦𝑖𝑐 ise aynı x değeri için hesaplanan değerleri gösterir.

𝑦𝑚, y değerlerinin aritmetik ortalamasıdır. n - 2 bölümü 𝑦𝑖𝑐’yi belirlemekte kullandığımız a

ve b gibi iki değişkenden kaynaklanır. Korelasyon katsayısı 𝑅 şu şekilde de yazılabilir:

2

2 ,

2 2

y

y y x R 

 −

Mükemmel bir uyumda σy , x = 0 olacağı için 𝑅 = 1 ’dir. Veriler belirlenen eğriden

uzaklaştıkça 𝑅 , 1 ’den küçük değerler almaya başlar.

𝒙 − 𝒚 datasında veri eleme için genel kural :

𝑒𝑖

𝜎𝑦,𝑥

> 2

şartını sağlayorsa ve aynı zamanda hesaplanan

𝑒𝑖

𝜎𝑦,𝑥

değeri

komşuluğundaki datalarla uyumsuz karakterde ise eleme

yapılır.

1 / 2 2

1 , 2

( )





















−

−

 (^) =

n

y y

n

i i ic  yx

i x y

1 0.00 0.

2 2.00 1.

3 4.00 2.

4 6.00 5.

5 8.00 7.

6 10.00 10.

7 12.00 14.

8 14.00 19.

9 16.00 24.

10 18.00 30.

11 20.00 37.

12 22.00 48.

𝑥 ve 𝑦 arasındaki kalibrasyon verisi tabloda verilmektedir. Eğrinin ikinci

dereceden polinom olduğu kabul edilmektedir. Elenecek veri olup

olmadığını araştırınız.