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Méthode de simplexe
IV. Méthode de simplexe à deux phases
On a déjà indiqué que la méthode de Simplexe part d’un PL sous la forme canonique. Cela suppose qu’on peut facilement identifier une SBR initiale. Parfois, ceci n’est pas évident, par exemple (P) Max z = 4x1 + 3x s.c. 2x1 –x2 15 x1 + x2 = 10 2x1 – x2 20 x1, x2 0 En mettant ce PL sous la forme standard, on obtient Max z = 4x1 + 3x s.c. 2x1 –x2 –e1 = 15 x1 + x2 = 10 2x1 – x2 + s3= 20 x1, x2, e1, s3 0
Méthode de simplexe
Il est difficile de trouver intuitivement/rapidement une SBR. Alors, qu’est-ce qu’on fait? On introduit encore des variables dites artificielles à chaque contrainte ‘‘et à chaque contrainte ‘=’, on obtient alors (P’) : Max z = 4x1 + 3x s.c. 2x1 –x2 –e1 + s1= 15 x1 + x2 +s2= 10 2x1 – x2 + s3 = 20 x1, x2, e1, s3, s1,s2 0 Une SBR de P’ est donnée par VB = {s1,s2, s3}. Cependant, les variables artificielles non seulement ont un effet nul dans la fonction objectif mais aussi doivent être nulles dans une SBR de P. Alors, lorsqu’une variable artificielle est non nulle, ceci indique que la solution est non réalisable dans P. On doit essayer d’annuler les variables artificielles dans P’. Ceci est réalisé en appliquant l’algorithme de Simplexe au problème suivant :
Méthode de simplexe
Cas 3 : z
I= 0 et au moins une^ si est une VB du tableau optimal de la
phase I Le problème original P a au moins une contrainte
redondante Eliminer les contraintes redondantes ; réintroduire z(x)
et commencer la phase II. Rq : dans le cas 3, on trouve une ou plusieurs lignes où tous les
coefficients sont nuls sauf ceux des variables artificielles telles
lignes sont redondantes et peuvent être éliminées. (^) Exemple La Ligne 2 peut être éliminée. x1 x2 x3 x4 x5 s 2 x3 3 -1 1 1 0 0 6 s 2 0 0 0 0 0 1 0 x5 2 1 0 2 1 0 5
Méthode de simplexe
(^) Application à P : Max zI = - s1 - s s.c. 2x1 –x2 –e1 + s1= 15
(PI) x1 + x2 + s2= 10
2x1 – x2 + s3= 20
x1, x2, e1, s3, s1, s2 0
1 x
1 x 2 e 1 s 3 s 1 s 2 s 1
s 2
s 3
Méthode de simplexe
Tableau optimal de la phase I (cas 2) : VB = {x1, x2, s3} Rq : On peut éliminer du tableau la colonne d'une variable artificielle dès que celle-ci sort de la base.
3 x
1 x 2 e 1 s 3 s 1 s 2 X 1
X
2
S
3
Méthode de simplexe
Phase II :
4 x
1 x 2 e 1 s 3 x 1
x 2
s 3
L
4
– 4L
1
–3 L
2
5 x
1 x 2 e 1 s 3 x 1
x 2
e 1
Méthode de simplexe
Exemple : Max zM= 4x1 + 3x2-M s1 -Ms s.c. 2x1 –x2 –e1 + s1= 15 (PI) x1 + x2 +s2= 10 2x1 – x2 + s3= 20 x1, x2, e1, s3, s1, s2 0
1 x
1 x 2 e 1 s 3 s 1 s 2 s 1
s 2
s 3
4 3 0 0 -M -M 0
Mise à jour
4+3M 3 -M 0 0 0 25M
Méthode de simplexe
# 2 X
1 x 2 e 1 s 3 s 1 s 2 x 1
s 2
s 3
M
2+1/2M 0 -2-
M
0 -30+5/2M
# 3 X
1 x 2 e 1 s 3 s 1 s 2 x 1
x 2
s 3
0 0 1/3 0 -1/3-M 0 -115/
