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El Problema de Asignación
Una de las actividades más comunes en los negocios es
la asignación de la persona “ideal” para la eficiente
realización de una tarea en particular; sin embargo, la
manera de realizar esta asignación presenta ciertas
dificultades implícitas, por ejemplo, ¿quién es la persona
indicada para cada tarea?, ¿es mínimo el costo de esta
asignación?, así como ¿qué tipo de información soporta
la asignación realizada? Estas preguntas encuentran
respuesta en el Modelo de asignación y su solución.
En general, la asignación tiene que ver con personas,
pero también se utiliza para asignar plantas industriales,
vehículos e incluso periodos de tiempo con tareas
específicas.
´´La mejor persona para el puesto” es una buena
descripción del modelo de asignación.
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El Problema de Asignación
Este problema de asignación
se puede usar para resolver diversas situaciones, entre los
que cabe mencionar se encuentran la asignación de:
- (^) personal a maquinas,
- (^) herramientas a puestos de trabajos,
- (^) horarios a maestros,
- (^) candidatos a vacantes,
- (^) huéspedes a habitaciones,
- (^) comensales a mesas,
- (^) vendedores a zonas territoriales etc.
El Problema de Asignación
La importancia de presentar y resolver el modelo de
asignación radica en que se busca optimizar algún objetivo
como:
- Minimizar tiempos de producción.
- Minimizar costos de asignación.
- (^) Minimizar defectos de producción.
Debido a que el modelo de asignación es un caso particular
del modelo de transporte; habitualmente, el primero se
resolvía con las herramientas del segundo, pero dadas las
características del modelo de asignación, la inversión en
cálculos y tiempo de cómputo era demasiado alta. En
consecuencia, dos matemáticos húngaros desarrollaron un
algoritmo para resolver de manera eficiente el modelo de
asignación, siendo éste conocido como el Método Húngaro.
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Definición del Problema de Asignación El problema de asignación es una variación del problema general de transporte en la cual las variables de decisión X(i,j) solo pueden tomar valores binarios, es decir ser cero (0) o uno (1) en la solución óptima, lo que supone que la oferta y la demanda están perfectamente alineadas, de hecho ambas son iguales a uno (1). This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-SA
Construcción del modelo de asignación
Como para todo problema de programación lineal, es necesario definir
las variables de decisión del problema y en este caso particular del
modelo de asignación, las variables son:
si el asignado i realiza la tarea j en caso contrario
Las variables de decisión pueden tomar valores de 0 o 1 (binario).
Construcción del modelo de asignación El costo total y las restricciones del modelo están dados por las funciones: n n Min ( Z) = Σ Σ i=1 j= sujeta a: Σ =1 para i =1, 2,..., n Σ = 1 para j =1, 2,..., n binarias para toda i y j. ≥ 0
PROBLEMAS DE
ASIGNACION
MÉTODO
HÚNGARO
PROBLEMAS DE ASIGNACION MÉTODO HÚNGARO
El método Húngaro es un método de optimización de problemas de
asignación, conocido como tal gracias a que los primeros aportes al
método clásico definitivo fueron de Dénes König y Jenő Egerváry dos
matemáticos húngaros. El algoritmo tal como se detallará a
continuación está diseñado para la resolución de problemas de
minimización únicamente, será entonces cuestión de agregar un paso
adicional para abordar ejercicios de maximización.
Algoritmo general del método húngaro
4. Identificar los ceros de asignación, que son únicos en su fila y columna
(puede haber más ceros en la fila o columna, pero sólo uno es de
asignación). Los ceros de asignación son aquellos que forman una
diagonal (como la diagonal principal de una matriz cuadrada) aunque
para obtenerla se cambie la posición de una o varias columnas. La
posición de los ceros de asignación indica la tarea que le corresponde a
cada candidato de asignación. Si el número de ceros de asignación es
igual al número de tareas, termina y calcula el costo del modelo. En caso
contrario, continúa.
Algoritmo general del método húngaro
5. Cuando no es posible obtener todos los ceros de asignación se procede
a:
a) Cubrir todos los ceros de la tabla con el menor número de líneas
verticales y horizontales.
b) Seleccionar el costo menor no cubierto por línea alguna y restarlo a
todos los costos no cubiertos. Sumar a los costos donde haya una
intersección de las líneas, el costo menor seleccionado.
c) Los costos cubiertos por una sola línea permanecen iguales.
d) Volver al paso 4.
Ejemplo 1 de Asignación
1. Restar el menor costo de cada fila
M.C.F
Tabla despúes de restar el M.C.F. 3 9 0 8 12 3 1 6 0 9 1 4 3 0 4 4 7 0 11 9 4 0 2 1 5
Ejemplo 1 de Asignación
2. Restar el menor costo de cada columna
M.C.C 1 0 0 0 4
La tabla que contiene los datos despúes de haber restado el menor costo de cada columna se llama matriz de costos reducidos, y es en esa tabla donde se aplica el paso 4 del algoritmo del método húngaro. El paso 4 consiste en trazar líneas horizontales y verticales con las que se puedan tachar la mayor cantidad de ceros con la menor cantidad de líneas , si despúes de haber trazado las líneas el numero de estas es igual al número , es decir si el número de ceros de asignación es igual al número de tareas, termina y calcula el costo del modelo. En caso contrario, continúa.
Ejemplo 1 de Asignación Matriz de Costos Reducidos 1
- En este caso el costo menor no cubierto por línea alguna es 1, por lo que se procede a restarlo a todos los costos no cubiertos, luego sumarlo a los costos donde haya una intersección de las líneas. Los costos cubiertos por una sola línea permanecen iguales. Por último volver al paso 4. 2 9 0 8 8 2 1 6 0 5 0 4 3 0 0 3 7 0 11 5 3 0 2 1 1
Ejemplo 1 de Asignación Matriz de Costos Reducidos 2 La tabla resultante de restar 1 a los costos no cubiertos y sumarlo donde haya una intersección de las líneas y de dejar iguales los costos cubiertos por una sola línea, también se llama tabla de costos reducidos y es la siguiente: A esta tabla resultante se le tachan la mayor cantidad de ceros con la menor cantidad de líneas , al hacerlo se lograron tachar los ceros con cuatro líneas y no con 5, porque 5 son las tareas que debemos asignar , por lo que se vuelve a identificar el menor costo no cubierto por línea alguna, en el que también ese menor costo es 1
Menor costo: 1
