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Chapitre 2. Nombres complexes Maths SUP OPTIMAL SUP-SPE Fiche de cours |. Propriétés fondamentales de C « Définitions. -On appelle ensemble des nombres complexes, et l’on note €, l’ensemble R? muni des lois + et x définies par : Gy) + @y)= ex yry) You yew {. Y)*@y) = @x'-yy' xy +x) * +On note i le nombre complexe (0, 1). «Propriétés de C. + +admet un élément neutre dans R’ qui est (0, 0). -xadmet un élément neutre dans R? qui est (1, 0). + (C, +, x) est un corps. + Soit E l'ensemble {(x, 0), xe R}. E est un sous-corps de (C, +, x). + Soit f'application définie sur R par : x +> (x, 0). fest un isomorphisme de R sur E. + Conséquence. R est un sous-corps de (C, +, x), et pour tout xe R, (x, 0) peut étre identifié 4 x. En procédant a cette identification, la restriction a R des lois + et x de C sont alors respectivement I’addition et la multiplication usuelles sur R. - # = (-1, 0), soit, en procédant a la méme identification : i? = -1. Programme officiel : “la construction de C n’est pas exigible’. ll. Ecriture d’un complexe, module, conjugué = Tout nombre complexe z (ze C) s’éctit de maniére unique z = a + ib, avec (a, b)e R’. On note : + Re(z) =a, la partie réelle de z, + Yu (z) = b, la partie imaginaire de z, +Z=a- ib, le conjugué de z, «|2| = Va? +b le module de z. = Propriétés, Soit (z,z)eC*. Ona: +2=%, 2z=|z/', te (#0), [2] =|zI, +Z=Zsi, et seulement si : ze R (i.e. Ye(z) = 0), z = -Z si, et seulement si, z est imaginaire pur (i.e. Re (z) = 0), awit Red) =, tn) = TFT HZ+ » |za|=|2\ 2), [+2] 
