Résolution d'équations différentielles dans l'ensemble des nombres complexes, Schemes and Mind Maps of Mathematics

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Correction des dix derniers sujets

du Baccalauréat Malien

Année scolaire : 2018- 2019

Séries : TSE, STI et MTGC

Séries : TSE, STI et MTGC

Auteur : Mahamadou BAGAYOKO

Master Mathématiques ENSup Bamako

Adresse : Titibougou-Bamako

Tél : 75884726 Email : [email protected]

Enoncés et corrigés des exercices des sujets du baccalauréat Malien de 200 9 à 2018

Bac 2018 : Enoncé du Sujet

Exercice 1 : (6 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂 ; 𝑢⃗ ; 𝑣 )^ (unité graphique 1 cm).

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (𝐸) d’inconnue z suivante :

(𝐸) ∶ 𝑧^3 + (−8 + 𝑖)𝑧^2 + (17 − 8𝑖)𝑧 + 17𝑖 = 0

Partie A :

1. Montrer que −𝑖 est solution de (𝐸).
2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que :

𝑧^3 + (−8 + 𝑖)𝑧^2 + (17 − 8𝑖)𝑧 + 17𝑖 = (𝑧 + 𝑖)(𝑎𝑧^2 + 𝑏𝑧 + 𝑐)

3. Résoudre l’équation (𝐸) dans l’ensemble des nombres complexes.

Partie B :

On appelle A, B et C les points d’affixes respectives 4 + 𝑖 , 4 − 𝑖 𝑒𝑡 − 𝑖.

1. Placer les points sur une figure que l’on complètera dans la suite de l’exercice.
2. Soit r l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point 𝑀′^ d’affixe 𝑧′^ telle que 𝑧′^ = 𝑖𝑧 − 2𝑖 + 2.

Le point Ω est le point d’affixe 2. On appelle S l’image de A par r. Calculer l’affixe de S.

3. Démontrer que les points B, A, S et C appartiennent à un même cercle 𝒞 dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle.
4. A tout point d’affixe 𝑧 ≠ 2, on associe le point 𝑀′^ 𝑑′𝑎𝑓𝑓𝑖𝑥𝑒 𝑧′

𝑧′^ =

a) Déterminer les affixes des points 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′^ associés respectivement aux points A, B, C. b) Vérifier que 𝐴′, 𝐵′^ 𝑒𝑡 𝐶′^ appartiennent à un cercle 𝒞′^ de centre P, d’affixe i. déterminer son rayon et tracer 𝒞′. c) Pour tout nombre complexe 𝑧 ≠ 0, 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 |𝑧′^ − 𝑖| en fonction de z. d) Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle 𝒞. Démontrer que |𝑧′^ − 𝑖| = 2√5. e) En déduire à quel ensemble appartiennent les points 𝑀′^ associés aux points M.

Exercice 2 : (4 point)

I) On considère l’équation (𝐸): 8𝑥 + 5𝑦 = 1, où (𝑥 ; 𝑦) est un couple de nombres entiers relatifs.

a) Donner une solution particulière de l’équation (𝐸). b) Résoudre l’équation (𝐸).

2. Soit N un entier naturel tel qu’il existe un couple d’entiers (𝑎 ; 𝑏) vérifiant :

{𝑁 = 8𝑎 + 1 𝑁 = 5𝑏 + 2 a) Montrer que le couple (𝑎 ; −𝑏)^ est solution de (𝐸). b) Quel est le reste de la division de N par 40?

a) Résoudre l’équation 8𝑥 + 5𝑦 = 100 , 𝑜ù (𝑥 ; 𝑦) est un couple de nombres entiers relatifs. b) Au VIIIè^ siècle, un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge.

Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe?

II) On se propose de résoudre l’équation différentielle :

𝑦′^ − 2𝑦 =

1 + 𝑒−2𝑥^

1. Soit 𝑔 une fonction dérivable sur IR et 𝑓 la fonction définie par :

𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥𝑔(𝑥)

Montrer que 𝑓 est solution de (𝐸) si et seulement si : 𝑔′(𝑥) = −

2𝑒−2𝑥 1+𝑒−2𝑥

2. En déduire toute les solutions de (𝐸).

Problème

A)

1. On définit la fonction 𝑔 𝑠𝑢𝑟 𝑙′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 ]1 ; +∞[^ par :

𝑔(𝑥) = 2𝑥 − (𝑥 − 1) ln(𝑥 − 1).

a) On admet le résultat suivant : (^) 𝑥→0lim 𝑥 ln(𝑥) = 0.

En déduire la limite de 𝑔 lorsque 𝑥 tend vers 1.

b) Calculer 𝑔′(𝑥) pour 𝑥 appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[. c) Résoudre l’inéquation : 1 − ln(𝑥 − 1) > 0, d’inconnue 𝑥 appartenant à ]1 ; +∞[. d) Etudier le sens de variation de 𝑔 sur l’intervalle ]1 ; +∞[. e) Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 a une solution unique notée 𝛼, dans l’intervalle [𝑒 + 1 ; 𝑒^3 + 1]^ puis étudier le signe de 𝑔(𝑥) sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

2. Soit 𝜑 la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[^ par :

ln(𝑥^2 − 1) 𝑥 a) Calculer lim 𝑥→ 𝜑(𝑥) 𝑒𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 lim 𝑥→+∞

b) Calculer 𝜑′(𝑥)^ et montrer que 𝜑′(𝑥) 𝑎 𝑙𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑥^2 ) 𝑠𝑢𝑟 ]1 ; +∞[. c) Montrer que 𝜑 𝑒𝑠𝑡 croissante sur l’intervalle ]1 ; √𝛼] 𝑒𝑡 𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑟 [√𝛼 ; +∞[

B) On définit la fonction 𝑓 sur l’intervalle ]0 ; +∞[^ par 𝑓(𝑥) =

ln(𝑒2𝑥−1) 𝑒𝑥

1. Vérifier que, pour tout 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[ , 𝑓(𝑥) = 𝜑(𝑒𝑥).
2. En déduire : a) La limite de 𝑓 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 0 ; b) La limite de 𝑓 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑠 + ∞ ; c) Le sens de variation de 𝑓 𝑠𝑢𝑟 ]0 ; +∞[^ et que 𝑓 admet un maximum enln(√𝛼).
3. Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[, 𝑓(𝑥) ≤ 2√𝛼 𝛼−1.

Bac 2017 : Enoncé du Sujet

Exercice 1 : (5 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂 ; 𝑢⃗; 𝑣 ), on considère les points

𝑀𝑛 d’affixe 𝑍𝑛 = ( 1 2 𝑖)

𝑛 (1 + 𝑖√3) où n est un entier naturel.

1. Exprime 𝑍𝑛 +1 en fonction de 𝑍𝑛 puis 𝑍𝑛 en fonction de 𝑍 0 et n.
2. Donne 𝑍 0 , 𝑍 1 , 𝑍 2 , 𝑍 3 𝑒𝑡 𝑍 4 sous forme algébrique et trigonométrique.
3. Place les points 𝑀 0 , 𝑀 1 , 𝑀 2 , 𝑀 3 𝑒𝑡 𝑀 4 (unité graphique 4cm).
4. Détermine la distance 𝑂𝑀𝑛 en fonction de n.

a) Montre que 𝑀𝑛𝑀𝑛+1 = √5 2 𝑛.

b) On pose 𝐿𝑛 = ∑ 𝑛𝑘=0 𝑀𝑘𝑀𝑘+1(c'est-à-dire 𝐿𝑛 = 𝑀 0 𝑀 1 + 𝑀 1 𝑀 2 + ⋯ + 𝑀𝑛𝑀𝑛+1).

Détermine 𝐿𝑛 en fonction de n puis la limite de 𝐿𝑛 quand n tend vers +∞.

6. Détermine une mesure de l’angle (𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̂𝑂⃗ ; 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑛⃗ ) en fonction de n.
7. Pour quelles valeurs de n les points 𝑂, 𝑀 0 𝑒𝑡 𝑀𝑛 sont ils alignés?

Exercice 2 (5 points)

I. Dans le plan affine, on considère le triangle ABC rectangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le centre de gravité de ABC.

Pour tout réel m, différent de 13 , on note 𝐺𝑚 le barycentre du système de points pondérés :

{(𝐴 ; 1) , (𝐵 ; 𝑚), (𝐶 ; 2𝑚)}.

Pour tout point M du plan, on note 𝑉𝑚 = 3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

1. Montre que 𝐺 1 est le milieu du segment [𝐶𝐼].
2. Montre que les points 𝐺 1 , 𝐽 𝑒𝑡 𝐶 sont alignés.
3. Montre que pour tout point M, 𝑉𝑚 = −(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ).
4. Montre que pour tout réel m distinct de − 1 3 ,^ 𝐴𝐺𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est colinéaire à 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−1⃗⃗⃗.
5. Montre que le triangle 𝐼𝐵𝐺− 1 2

est un triangle rectangle.

II. Dans le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé, on considère l’application affine 𝑓 définie par:

𝑥′^ =

𝑦′^ =

1. Démontre que 𝑓 est une isométrie.
2. Trouve l’ensemble des points invariants par 𝑓.
3. Caractérise géométriquement l’application 𝑓.

Problème

A. Soit la fonction 𝑓 définie sur [0 ; +∞[^ par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒−2𝑥^ + 𝑒−2𝑥^ + 1 – 𝑥.

On appelle (𝒞) la courbe représentative de 𝑓.

a) Calculer la fonction dérivée de 𝑓. b) Dresser le tableau de variation de 𝑓 ’ sur [0 ; +∞[. c) Dresser le tableau de variation de 𝑓 sur [0 ; +∞[. d) Montrer que (𝒞) admet une asymptote (D) que l’on déterminera. e) Construire (𝒞) et (D) sur un même graphique.

a) Etablir que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet sur [0 ; +∞[^ une solution et une seule notée α. b) Justifier l’encadrement : 1 ≤ 𝛼 ≤ 2.

B. Soit la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle 𝐽 = [1 ; +∞[^ par 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒−2𝑥^ + 𝑒−2𝑥^ + 1.

1. Etudier les variations de 𝑔 sur J puis en déduire que pour tout 𝑥 ∈ 𝐽, 𝑔(𝑥) ∈ 𝐽.
2. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ 𝐽, on a : |𝑔′(𝑥)| ≤ 3 𝑒^2

En déduire que pour tout 𝑥 ∈ 𝐽, on a |𝑔(𝑥) − 𝛼| ≤ 3 𝑒^2 |𝑥 − 𝛼|.

3. Soit (𝑈𝑛)^ la suite d’éléments de J définie par 𝑈 0 = 1 𝑒𝑡 𝑈𝑛+1 = 𝑔(𝑈𝑛)^ pour tout entier n positif ou nul. a) Montrer que pour tout entier n positif ou nul, on a : |𝑈𝑛+1 − 𝛼| ≤ (^) 𝑒^32 |𝑥 − 𝛼|.

b) En déduire que pour tout entier n positif ou nul, on a : |𝑈𝑛 − 𝛼| ≤ ( (^) 𝑒^32 )

𝑛 . c) Déterminer la limite de la suite (𝑈𝑛). d) Déterminer un entier p pour lequel on est sûr d’avoir |𝑈𝑝 − 𝛼| ≤ 10−3. Calculer 𝑈𝑝 à 10−

4. Au bout de combien de temps la quantité de substance présente dans le sang a-t-elle été réduite de moitié? On donnera la valeur exacte et une valeur décimale approchée à 10 −2^ près.

B. Soit 𝑓 la fonction numérique de la variable réelle 𝑥 définie par : 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + ln |𝑥−1𝑥 |.

1. Déterminer l’ensemble de définition de 𝑓.
2. Etudier les variations de 𝑓.
3. Soit (𝒞) la courbe représentative de 𝑓 dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖 ; 𝑗). (unité 2cm)

Montrer que (𝒞) admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation puis la position par rapport à (𝒞).

4. Montrer que le point 𝐼 (^12 ; − 14 ) est centre de symétrie pour (𝒞).
5. Construire (𝒞).

Bac 2015 : Enoncé du Sujet

Exercice 1 : [5 points]

I. Une cible est constituée de cercles concentriques de rayons respectifs 1, 2, 3, 4 déterminant 4 zones numérotées (1), (2), (3), (4) (chaque zone est une couronne), on considère l’extérieur de la cible comme une 5ème zone.

1. Un joueur lance une flèche. La probabilité d’atteindre l’une des zones 1, 2, 3, 4 est proportionnelle à l’aire de cette zone. (Rappel : l’aire d’un disque de rayon r est 𝐴 = 𝜋𝑟^2 ). Montrer que les probabilités 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 , 𝑃 4 d’atteindre respectivement les zones (1), (2), (3), (4) sont égales à K, 3K, 5K, 7K où K est un nombre que l’on ne demande pas de calculer dans cette question.
2. Si la flèche touche la zone (1), le joueur gagne 4 000 FCFA – Si la flèche touche la zone (2), le joueur gagne 3 000 FCFA – Si la flèche touche la zone (3), le joueur gagne 2000F CFA – Si la flèche touche la zone (4), le joueur gagne 1 000 FCFA – Si la flèche touche la zone (5), le joueur perd 30 000 FCFA. On suppose que l’espérance mathématique de X est nulle. On appelle X le gain obtenu à l’issue d’une partie (lancée d’une flèche) a) Déterminer les probabilités 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 , 𝑃 4 et la probabilité 𝑃 5 de manquer la cible. b) Donnez sous forme de tableau la loi de probabilité de X.

II. Trois villages désignés par les lettres A, B et C sont disposés en triangle comme suit : le village A est à 4 km de B, à 3 km de C et le village B est à 5 km de C.

Ces trois villages décident de creuser un forage situé à égale distance des villages, déterminez son emplacement en précisant la distance qui le sépare de chacun des villages.

Exercice 2 : [5 points]

I. 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 sont deux entiers naturels et 𝑁 = 2𝛼^ × 3𝛽^ tels que le nombre de diviseurs de 𝑁^2 est le triple du nombre de diviseurs de N.

1. Prouver que (𝛼 − 1)( 𝛽 − 1) = 3.
2. En déduire les valeurs de N.

II. Le plan affine est muni d’un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑢⃗; 𝑣 ) et ℂ désigne l’ensemble des nombres complexes. Soient A, B et C trois points d’affixes respectives

𝑎 = −1 + 3𝑖 , 𝑏 = −4 + 2𝑖 𝑒𝑡 𝑐 = 1 + 4𝑖.

Soit 𝑓 la transformation du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe 𝔷 associe le point M’ d’affixe 𝔷′^ définie par : 𝔷′^ = (2 − 2𝑖)𝔷 + 1.

1. Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de 𝑓.
2. Déterminez l’affixe du point B’ image de B par la transformation 𝑓. vérifiez que les vecteurs 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′^ sont orthogonaux.
3. Soit 𝑀(𝑥 ; 𝑦) 𝑜ù 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 sont des entiers relatifs et M’ son image par 𝑓. Montrez que les vecteurs 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗′^ 𝑒𝑡 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux si et seulement si 𝑥 + 3𝑦 = 2.

Bac 2014 : Enoncé du Sujet

Exercice1 : 6pts

I. On se place dans le corps ℂ des nombres complexes, pour 𝑛 ∈ ℕ, on pose :

∀ 𝑧 ∈ ℂ, ℎ𝑛(𝑧) = 𝑧𝑛(1 − 𝑧)

1. Pour 𝑛 ∈ ℕ∗, résoudre l’équation ℎ𝑛(𝑧) = ℎ 0 (𝑧).
2. On se propose de résoudre le système suivant : (1) {

a) Montrer que l’équation |𝑧| = |1 − 𝑧|^ a une infinité de solutions dans ℂ. b) Soit 𝑧 0 l’une de ces solutions, calculer, en fonction du module 𝜌 𝑒𝑡 l′argument θ de 𝑧 0 , l’argument de 1 − 𝑧 0 ; le module et l’argument de 𝑧 0 𝑛(1 − 𝑧 0 ). c) En déduire que le système (1) n’admet de solution que si 𝑛 ≡ 1[6].

Quel est l’ensemble des solutions du système?

II.

1. On considère dans ℤ^2 l’équation (𝐸): 11𝑥 + 8𝑦 = 79. a) Montrer que si (𝑥 ; 𝑦) est solution de (𝐸) , alors 𝑦 ≡ 3[11]. b) Résoudre alors l’équation (𝐸).
2. Le prix total de 41 pièces détachées réparties en trois lots est de 48000F. le prix d’une pièce du premier lot est 4800F ; le prix d’une pièce du deuxième lot est 3600F et le prix d’une pièce du troisième lot est 400F.

Quel est le nombre de pièces de chaque lot?

Exercice2 : 4pts

I. Dans une classe de terminale, la taille moyenne des élèves est 167 cm. La taille moyenne des filles est de 160 cm et la taille moyenne des garçons est de 173,5 cm.

Quelle est l’effectif de la classe sachant qu’il est compris entre 50 et 60?

II. Le vieux Yara a laissé son héritage dans un coffre dont la combinaison comporte les cinq chiffres 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑒𝑡 ℎ dans cet ordre, du système décimal. Il a mentionné sur son testament que sa fortune reviendrait à celui de ces héritiers qui trouverait la combinaison à partir des données suivantes :  Le premier chiffre est pair ;  La somme des deux premiers chiffres est 15 ;  Le troisième est la différence des deux premiers (le 1er^ moins le 2ème^ ) ;  Le premier chiffre est le produit du troisième par le quatrième ;  Le nombre est divisible par 9.

Quelle est la combinaison cherchée?

Problème :

A. Soit 𝜑 la fonction définie sur IR par 𝜑(𝑥) = (𝑥^2 + 𝑥 + 1)𝑒−𝑥^ − 1.

a) Déterminer les limites de 𝜑 en − ∞ puis en + ∞. Interpréter graphiquement le résultat de lim 𝑥→+∞

b) calculer 𝜑′(𝑥)^ et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de 𝜑.

2. Démontrer que l’équation 𝜑(𝑥) = 0 admet deux solutions dans IR, dont l’une notée 𝛼 est dans [1 ; +∞[. Vérifier que 1,79 ≤ 𝛼 ≤ 1,80.
3. En déduire le signe de 𝜑 sur IR.

B. On donne les fonctions 𝑓 et 𝑔 définies par 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)𝑒−𝑥^ et 𝑔(𝑥) = (^) 𝑥2𝑥+1 (^2) +𝑥+1 leur courbe sont respectivement notées (𝒞𝑓) 𝑒𝑡 (𝒞𝑔).

1. Déterminer les domaines de définitions de 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 puis calculer leurs limites aux bornes de ces domaines de définition.
2. Montrer que (𝒞𝑓) 𝑒𝑡 (𝒞𝑔) admettent au point 𝐴(0 ; 1) une tangente commune (𝑇). Donner une équation cartésienne de (𝑇).

a) Vérifier que pour tout 𝑥 ∈ 𝐼𝑅, 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (2𝑥+1)𝜑(𝑥) 𝑥^2 +𝑥+1 où^ 𝜑^ est la fonction définie dans la partie A. b) Etudier le signe de 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)^ pour 𝑥 ∈ 𝐼𝑅. c) En déduire la position relative des courbes (𝒞𝑓) 𝑒𝑡 (𝒞𝑔).

a) Déterminer une primitive G de la fonction 𝑔 sur IR. b) Déterminer les réels a et b tels que la fonction F définie par 𝐹(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒−𝑥^ soit une primitive de 𝑓 sur IR. c) En déduire une primitive H de 𝑓 − 𝑔 sur IR. d) Calculer l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan délimitée par les courbes (𝒞𝑓) 𝑒𝑡 (𝒞𝑔) et les droites d’équations : 𝑥 = − 12 𝑒𝑡 𝑥 = 0.

NB : les tracés de (𝒞𝑓) 𝑒𝑡 (𝒞𝑔) ne sont pas demandés.

Problème :

Pour tout entier 𝑛 strictement positif, on considère la fonction 𝑓𝑛 définie sur ]0 ; +∞[ par :

(ln 𝑥)𝑛 𝑥^2

On note (𝒞𝑛) la courbe représentative de 𝑓𝑛 dans un repère orthogonal (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗) (unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées).

A. Etude de 𝒇𝟏

1. Déterminer lim 𝑥→ 𝑓 1 (𝑥) 𝑒𝑡 lim 𝑥→+∞ 𝑓 1 (𝑥). Que peut-on en déduire pour (𝒞 1 )?
2. Etudier le sens de variation de 𝑓 1 et donner le tableau de variation de 𝑓 1.
3. Donner une équation de la tangente au point d’abscisse 1 à (𝒞 1 ).
4. Déterminer lim 𝑥→ 𝑓 2 (𝑥) 𝑒𝑡 lim 𝑥→+∞ 𝑓 2 (𝑥). Que peut-on en déduire pour (𝒞 2 )?
5. Calculer 𝑓′ 2 (𝑥) et donner le tableau de variations de 𝑓 2. B.
6. Etudier le signe de 𝑓 1 (𝑥) − 𝑓 2 (𝑥) ; en déduire la position relative de (𝒞 1 ) 𝑒𝑡 (𝒞 2 ).
7. Tracer (𝒞 1 ) 𝑒𝑡 (𝒞 2 ) dans le même repère orthogonal. C. 𝑚 étant un entier naturel non nul, on pose 𝐼𝑚 = ∫ 𝑓𝑚(𝑥)𝑑𝑥 𝑒

1. On pose 𝐹(𝑥) = 1+ln 𝑥𝑥. Calculer 𝐹′(𝑥). En déduire 𝐼 1.
2. En utilisant une intégration par parties, montrer que 𝐼𝑚+1 = − (^1) 𝑒 + (𝑚 + 1)𝐼𝑚.
3. Calculer 𝐼 2 puis l’aire en 𝑐𝑚^2 du domaine compris entre (𝒞 1 ) 𝑒𝑡 (𝒞 2 ) et les droites d’équations 𝑥 = 1 𝑒𝑡 𝑥 = 𝑒.

Bac 2012 : Enoncé du Sujet

Exercice1 : 6pts

A. Soit 𝑓 la fonction numérique à variable réelle 𝑥 définie par :

𝑥^3 + 2𝑥 + 2

1 − 𝑥^2

1. Déterminer l’ensemble de définition 𝐷𝑓 𝑑𝑒 𝑓.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout 𝑥 𝑑𝑒 𝐷𝑓, on ait :

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 +

3. En déduire l’ensemble des primitives de 𝑓 𝑠𝑢𝑟 𝐷𝑓. B. Deux commerçantes, Awa et Fanta se rendent au marché pour acheter des mangues. Le mangue coute 5F l’unité. Awa dit à Fanta, je dispose d’un montant égal à 𝑚 1 Francs et Fanta répond, moi aussi j’ai une somme égale à 𝑚 2 Francs.

L’entier 𝑚 1 s′écrit 𝑚 1 = 1𝑥00𝑦2 dans le système de numération de base huit. Et 𝑚 2 s’écrit 𝑚 2 = 𝑥1𝑦003 en base sept.

1. Déterminer les chiffres 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 pour que chacune des deux commerçantes puisse, avec la totalité de son argent, acheter un nombre maximum de mangues.
2. Déterminer le montant que dispose chacune des commerçantes. En déduire le nombre de mangues que chacune d’elles peut acheter.

a) Décomposer 𝑚 1 𝑒𝑡 𝑚 2 en produit de facteurs premiers. b) En déduire le nombre de diviseurs de 𝑚 1 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑚 2 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑙𝑒 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑚 1 ; 𝑚 2 ).

4. Résoudre dans ℤ l’équation : 𝑚 1 𝑢 + 𝑚 2 𝑣 = 5 𝑜ù 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 sont deux entiers relatifs.

Exercice2 : 6pts

I. On considère le complexe 𝑍 défini par :

𝑍 =

𝔷^2

où 𝔷 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑎𝑣𝑒𝑐 (𝑥 ; 𝑦) ∈ 𝐼𝑅^2

1. On note 𝑍 = 𝑋 + 𝑖𝑌, (𝑋 ; 𝑌) ∈ 𝐼𝑅^2. Ecrire X et Y en fonction de 𝑥 𝑒𝑡 𝑦.

2. Au complexe 𝔷, on associe le point 𝑀(𝑥 ; 𝑦)^ du plan rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑢⃗ ; 𝑣 ). Déterminer l’ensemble (Γ) des points M du plan tels que Z soit imaginaire pur non nul.

3. Résoudre dans ℂ l’équation 𝔷^2 + 2𝑖𝔷 − 2 = 0. Montrer que les images des solutions de cette équation appartiennent à l’ensemble (Γ). II.

4. On désigne respectivement par a et b (entiers naturels non nuls) la longueur et la largeur mesurées en mètres d’un rectangle. Sachant que 𝑎 = 72 et que le plus petit multiple commun de a et b est 216, quelles sont les valeurs possibles de b?

5. Trouver les diviseurs dans IN de l’entier 240. Calculer l’entier naturel 𝑛 tel que : 𝑛^2 − 240 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑟é 𝑝𝑎𝑟𝑓𝑎𝑖𝑡.

Bac SE 2011 : Enoncé du Sujet

Exercice1 : 4pts

Dans le plan muni d’un repère ortho-normal (𝑂 ; 𝑢⃗ ; 𝑣 ), on donne le point 𝐴(12 ; 18). On désigne

par B un point de l’axe (𝑂 ; 𝑢⃗) et C un point de (𝑂 ; 𝑣 ) tels que (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = − 𝜋 2. On appelle 𝑥

l’abscisse de B et 𝑦 l’ordonnée de C.

1. Démontrer que le couple (𝑥 ; 𝑦) est solution de l’équation : (𝐸): 2𝑥 + 3𝑦 = 78.
2. On se propose de trouver tous les couples de points (B ; C) ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs. a) Montrer que l’on est ramené à l’équation (𝐸), avec 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 appartenant à l’ensemble ℤ des entiers relatifs. b) A partir de la définition de B et de C, trouver une solution particulière (𝑥 0 ; 𝑦 0 )^ de (𝐸) c) Démontrer qu’un couple (𝑥 ; 𝑦)^ est solution de (𝐸)^ si et seulement si (𝑥 ; 𝑦) = (12 + 3𝑘 ; 18 − 2𝑘) 𝑜ù 𝑘 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓. d) Combien y a-t-il de couples de points (B ; C) ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs, tels que :−6 ≤ 𝑥 ≤ 21 𝑒𝑡 − 5 ≤ 𝑦 ≤ 14?

Exercice2 : 5 pts

1. Le plan 𝒫 est rapporté au repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗). On considère l’application affine 𝑓 𝑑𝑒 𝒫 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝒫 qui à tout point 𝑀(𝑥 ; 𝑦) associe le point 𝑀′(𝑥′^ ; 𝑦′)^ telles que :

𝑥′^ = −

𝑦′^ =

a) 𝑓 est-elle bijective? Justifiez votre réponse. b) Déterminer l’ensemble des points invariants par 𝑓. c) Quelle est l’image par 𝑓 de la droite (𝒟): 𝑦 = 2𝑥 + 1?

2. On désigne par 𝑀(𝑥 ; 𝑦)^ le point d’affixe z et par 𝑀′(𝑥′^ ; 𝑦′) le point d’affixe 𝑧′^ où 𝑧 𝑒𝑡 𝑧′^ sont des nombres complexes. a) Sachant que 𝑓(𝑀) = 𝑀′, exprimer 𝑧′^ en fonction de 𝑧. b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de 𝑓.

Problème :

A. Soit la fonction numérique 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) = ln ( 1−𝑥 1+𝑥) 𝑒𝑡 (𝒞)^ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗). Unité 2 cm.

1. Déterminer l’ensemble de définition de 𝑓.
2. Démontrer que (𝒞)^ admet deux asymptotes dont on précisera les équations.
3. Calculer𝑓′(𝑥)^ puis dresser le tableau de variation de 𝑓.

a) Démontrer que (𝒞) admet un point d’inflexion I dont on déterminera les coordonnées. Donner l’équation de la tangente (𝑇) à (𝒞) au point I. b) Etudier la position de (𝒞) par rapport à (𝑇).

5. Tracer (𝒞) 𝑒𝑡 (𝑇) dans le même repère.

a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 0 −^12. b) Calculer en cm² l’aire de la partie du plan limitée par (𝒞), (𝑇) et la droite d’équation 𝑥 = − 12.

B. Soit ℎ la fonction numérique de la variable réelle 𝑥 définie sur ]0 ; 𝜋 2 ]^ par :

ℎ(𝑥) =

𝑓(cos 𝑥) où 𝑓 est la fonction définie en A.

1. Vérifier que ℎ est la primitive qui s’annule en 𝜋 2 de la fonction 𝑔 définie par

sin 𝑥

2. Calculer l’intégrale 𝐾 = ∫ 1 sin 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 𝜋^2 3

3. Soit (𝐼𝑛)𝑛∈𝐼𝑁 la suite définie par : 𝐼𝑛 = ∫ cos

n (^) 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

𝜋 𝜋^2 3

a) Calculer 𝐼 0 𝑒𝑡 𝐼 1. b) En déduire l’expression de 𝐼𝑛 − 𝐼𝑛+2 en fonction de n puis calculer 𝐼 2 , 𝐼 3 , 𝐼 4 𝑒𝑡 𝐼 5.