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MATH-F-306 – Optimisation

chapitre 3









Algorithme du Simplexe

20 avril 2007

MATH-F-306 3. Algorithme du Simplexe

RAPPEL :

• Hypoth`eses initiales
  • PL de la forme suivante : max { c

T x : A x = b, x > 0 } (ou min)

• s’il y a des in´egalit´es, ajouter des variables d’´ecart
• b > 0 (sinon multiplier une contrainte par −1)
• A contient une matrice identit´e (sinon voir s´eance suivante)
• Algorithme du Simplexe

step 0 : (Initialisation)

Soit B un ensemble d’indices de base initiale tel que la solution de base primale

associ´ee x B

est r´ealisable.

Calculer x B

= A

− 1

B

b et y

T = c

T

B

A

− 1

B

step 1 : (Test d’Optimalit´e)

Calculer les coˆuts r´eduits c

T

N

− y

T A N

Si c

T

N

− y

T AN 6 0 alors la solution courante est optimale.

Sinon choisir r /∈ B tel que c r

− y

T a r

(→ xr entre en base)

step 2 : (Pivot)

D´eterminer la variable qui sort de la base (→ x s

S’il n’en existe aucune, alors le probl`eme est non born´e.

Mettre `a jour l’ensemble d’indices de base B

′ et d´eterminer les nouvelles so-

lutions de base x

′ et y

′ .

• En pratique ...
  • A chaque it´eration, on ´ecrit le dictionnaire correspondant `a la base B :

x i

b i

j∈N

¯a ij

x j

∀ i ∈ B

z =

b 0 +

j∈N

¯cj xj

o`u :

bi =

A

− 1

B

b

i

¯aij =

−A

− 1

B

AN

ij

b 0

= c

T

B

A

− 1

B

b ¯c j

c

T

N

− c

T

B

A

− 1

B

A

N

j

• on choisit la variable xr qui entre en base telle que ¯cr > 0
• on d´etermine la variable s qui sort de la base : s = arg min

i:¯a ir

< 0

¯ bi

a ¯ir

• R`egle de Bland
  • s’il y a deux ou plusieurs variables qui peuvent entrer en base, alors on choisit celle qui

a le plus petit indice ;

• s’il y a deux ou plusieurs variables qui peuvent sortir de la base, alors on choisit celle

qui a le plus petit indice ;

MATH-F-306 – 3. Algorithme du Simplexe Exercice 3. 1

Exercice 3. 1

On considere le polyedre S de R

5 d´efini par les conditions suivantes :

x 1 + x 3 + x 5 = 2 ,

2 x 2

• x 3

• x 4

x 1 + x 2 + x 4 + 2 x 5 = 3 ,

x i

0 , i = 1,... , 5.

a. Le point x

∗ = (1, 1 , 1 , 1 , 0) est-il un point extrˆeme? Pourquoi?

b. Trouver les vecteurs u ∈ R

5 tels que x

∗ ± ε u ∈ S pour ε > 0 assez petit.

c. Trouver tous les points ¯x ∈ S de la forme x

∗ ± ε u qui ont au plus trois coordonn´ees non nulles. Ces points

¯x sont-ils des points extrˆemes? d´eg´en´er´es?

Solution :

a. On v´erifie d’abord que x

∗ appartient bien `a S.

On a que x est un point extrˆeme ⇔ x est un sommet

⇔ x v´erifie 5 in´egalit´es (lin. ind´ep.) `a l’´egalit´e

⇔ au plus 3 coordonn´ees de x sont non nulles

⇒ x

∗ = (1, 1 , 1 , 1 , 0) n’est pas un point extrˆeme (car il a 4 coord. non nulles)

b. x

∗ ± ε u ∈ S

1 + 1 + 0 ± ε · ( u 1

• u 3

• u 5

2 + 1 + 1 ± ε · ( 2 u 2

• u 3

• u 4

1 + 1 + 1 + 0 ± ε · ( u 1

• u 2

• u 4

• 2 u 5

1 ± ε · ( u 1

1 ± ε · ( u 2

1 ± ε · ( u 3

1 ± ε · ( u 4

0 ± ε · ( u 5

u 1

• u 3

• u 5

2 u 2 + u 3 + u 4 = 0

u 1

• u 2

• u 4

• 2 u 5

u 5 = 0

• 2 u 5 = 0

u 3

= − u 1

2 u 2 − u 1 + u 4 = 0

u 1

• u 2

• u 4

Exercice 3. 1 3. Algorithme du Simplexe – MATH-F-

u 1 + 2 u 5 = 0

u 3

= − u 1

u 4

= − u 1

− u 2

2 u 2 − u 1 − u 1 − u 2 = 0

u 1

• 2 u 2

• • • 2 u 5

u 3 = − u 1

u 2

= 2 u 1

u 4 = − 3 u 1

⇔ u =

α

2 α

− α

− 3 α

o`u α ∈ R

c. On obtient les points x¯ suivants :

• α = − 1 ⇒ ¯x =

0

B

B

B

B

@

1

1

1

1

0

1

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

@

− 1

− 2

1

3

0

1

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

B

@

0

− 1

2

4

0

1

C

C

C

C

A

→ pas bon (x /¯∈ S)

• α = −

1

2

⇒ ¯x =

0

B

B

B

B

@

1

1

1

1

0

1

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

@

− 0. 5

− 1

1. 5

2. 5

0

1

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

B

@

1. 5

0

1. 5

2. 5

0

1

C

C

C

C

A

→ OK

• α = 1 ⇒ x¯ =

0

B

B

B

B

@

1

1

1

1

0

1

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

@

1

2

− 1

− 3

0

1

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

B

@

2

3

0

− 2

0

1

C

C

C

C

A

→ pas bon (x /¯∈ S)

• α =

1

3

⇒ x¯ =

0

B

B

B

B

@

1

1

1

1

0

1

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

@

1 / 3

2 / 3

− 1 / 3

− 1

0

1

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

B

@

4 / 3

5 / 3

2 / 3

0

0

1

C

C

C

C

A

→ OK

On obtient donc 2 points extrˆemes qui sont tous les deux non d´eg´en´er´es (comme ils ont m = 3 ccoordonn´ees

MATH-F-306 – 3. Algorithme du Simplexe Exercice 3. 3

Exercice 3. 3

Soit le programme lin´eaire suivant :

min z = x 2

− 3 x 3

• 2 x 5

s.t. : x 1

• 3 x 2

− x 3

• 2 x 5

− 2 x 2

• 4 x 3

• x 4

− 4 x 2 + 3 x 3 + 8 x 5 + x 6 = 10

x j

0 ∀ j = 1,... , 6.

La solution optimale de ce probl`eme est x = (0, 4 , 5 , 0 , 0 , 11).

a. Donner l’ensemble des indices de base B associ´e `a la solution optimale.

b. Quelle est la solution de base duale y associ´ee `a B?

c. Prouver l’optimalit´e des solutions x et y.

d. Calculer les coˆuts r´eduits des variables primales hors base.

Solution :

a. B = { 2 , 3 , 6 }

b. On prend y

T = c

T

B

A

− 1

B

A

B

⇒ A

− 1

B

det (A B

c 11

−c 21

c 31

−c 12 c 22 −c 32

c 13

−c 23

c 33

⇒ y

T

=

c. • On v´erifie bien que x est primal-r´ealisable → OK

• Par construction on sait d´ej`a que c

T x = y

T b.

En effet c

T x = 4 − 15 = − 11

y

T b = −

7

5

48

5

55

5

= − 11 → OK

MATH-F-306 – 3. Algorithme du Simplexe Exercice 3. 4

Exercice 3. 4

R´esoudre le programme lin´eaire suivant en utilisant l’algorithme du simplexe :

max z = 5 x 2 + 4 x 3 + 3 x 6

s.t. : x 1

• 2 x 2

• 3 x 3

• x 6

4 x 2

• x 3

• x 5

• 2 x 6

3 x 2

• 4 x 3

• x 4

• 2 x 6

x j

0 ∀ j = 1,... , 6

R´eponse : solution optimale x

∗ = ( 0, 2 , 0 , 0 , 1 , 1 ) de valeur z

∗ = 13

Solution :

On voit qu’une premi`ere base est : B = { x 1

, x 4

, x 5

Premi`ere solution de base r´ealisable :

x 1

= 5 − 2 x 2

− 3 x 3

− x 6

x 4

= 8 − 3 x 2

− 4 x 3

− 2 x 6

x 5 = 11 − 4 x 2 − x 3 − 2 x 6

z = 0 + 5 x 2 + 4 x 3 + 3 x 6

It´eration 1 :

x 2

5

2

1

2

x 1

3

2

x 3

1

2

x 6

x 4 =

1

2

3

2

x 1 +

1

2

x 3 −

1

2

x 6

x 5

= 1 + 2 x 1

• 5 x 3

z =

25

2

5

2

x 1

7

2

x 3

1

2

x 6

It´eration 2 :

x 2

= 2 − 2 x 1

− 2 x 3

• x 4

x 6 = 1 + 3 x 1 + x 3 − 2 x 4

x 5

= 1 + 2 x 1

• 5 x 3

z = 13 − x 1

− 3 x 3

− x 4

Tous les coˆuts r´eduits sont n´egatifs ou nuls.

⇒ solution optimale x

∗ = ( 0, 2 , 0 , 0 , 1 , 1 ) de valeur z

∗ = 13

• Optimisation – MATH-F-
• 3. Algorithme du Simplexe MATH-F-
• Exercice 3 2 3. Algorithme du Simplexe – MATH-F-
• Exercice 3 4 3. Algorithme du Simplexe – MATH-F-

Exercice 3. 5 3. Algorithme du Simplexe – MATH-F-

It´eration 2 :

t 1 = 1 −

7

2

x 2 +

1

2

t 3

t 2

4

3

29

6

x 2

5

6

t 3

4

3

t 4

x 3 =

2

3

4

3

x 2 −

1

3

t 3 +

1

3

t 4

x 1

4

3

5

6

x 2

1

6

t 3

1

3

t 4

z =

26

3

29

6

x 2

11

6

t 3

2

3

t 4

It´eration 3 :

t 1 =

1

29

21

29

t 2 −

3

29

t 3 +

28

29

t 4

x 2

8

29

6

29

t 2

5

29

t 3

8

29

t 4

x 3

30

29

8

29

t 2

3

29

t 3

1

29

t 4

x 1 =

32

29

5

29

t 2 −

9

29

t 3 −

3

29

t 4

z = 10 − t 2

− t 3

4

Tous les coˆuts r´eduits sont n´egatifs ou nuls.

⇒ solution optimale x

∗ = (

32

29

8

29

30

29

) de valeur z

∗ = 10

MATH-F-306 – 3. Algorithme du Simplexe Exercice 3. 6

Exercice 3. 6

R´esoudre le programme lin´eaire suivant en utilisant l’algorithme du simplexe :

min z = 2 x 1

− 3 x 2

− 4 x 3

• x 4

s.t. : x 1

• 3 x 2

− x 3

− 3 x 4

2 x 1

• x 2

• x 3

• 3 x 4

− 4 x 2 + 2 x 3 + 6 x 4 6 4

x j

0 ∀ j = 1,... , 4

R´eponse : solution optimale x

∗ = ( 0, 2 , 6 , 0 ) de valeur z

∗ = − 30

Solution :

On ajoute les variables d’´ecart t 1

, t 2

, t 3

afin d’obtenir le programme lin´eaire :

min z = 2 x 1 − 3 x 2 − 4 x 3 + x 4

s.t. : x 1

• 3 x 2

− x 3

− 3 x 4

− t 1

2 x 1 + x 2 + x 3 + 3 x 4 + t 2 = 8

− 4 x 2

• 2 x 3

• 6 x 4

• t 3

xj > 0 ∀ j = 1,... , 4

t i

0 ∀ i = 1,... , 3

Le terme de droite de la premi`ere contrainte est n´egatif, multiplions cette contrainte par (−1) :

min z = 2 x 1

− 3 x 2

− 4 x 3

• x 4

s.t. : − x 1

− 3 x 2

• x 3

• 3 x 4

• t 1

2 x 1 + x 2 + x 3 + 3 x 4 + t 2 = 8

− 4 x 2

• 2 x 3

• 6 x 4

• t 3

x j

0 ∀ j = 1,... , 4

ti > 0 ∀ i = 1,... , 3

On voit qu’une premi`ere base est : B = { t 1 , t 2 , t 3 }

Premi`ere solution de base r´ealisable :

t 1 = 2 + x 1 + 3 x 2 − x 3 − 3 x 4

t 2

= 8 − 2 x 1

− x 2

− x 3

− 3 x 4

t 3 = 4 + 4 x 2 − 2 x 3 − 6 x 4

z = 0 + 2 x 1 − 3 x 2 − 4 x 3 + x 4

MATH-F-306 – 3. Algorithme du Simplexe Exercice 3. 7

Exercice 3. 7

R´esoudre le programme lin´eaire suivant en utilisant l’algorithme du simplexe :

max z = x 1 + 3 x 2 − x 3

s.t. : 2 x 1

• 2 x 2

− x 3

3 x 1 − 2 x 2 + x 3 6 10

x 1

− 3 x 2

• x 3

xj > 0 ∀ j = 1,... , 3

Solution :

On ajoute les variables d’´ecart t 1

, t 2

et t 3

afin d’obtenir le programme lin´eaire :

max z = x 1

• 3 x 2

− x 3

s.t. : 2 x 1

• 2 x 2

− x 3

• t 1

3 x 1

− 2 x 2

• x 3

• t 2

x 1 − 3 x 2 + x 3 + t 3 = 10

x j

0 ∀ j = 1,... , 3

ti > 0 ∀ i = 1,... , 3

On voit qu’une premi`ere base est : B = { t 1

, t 2

, t 3

Premi`ere solution de base r´ealisable :

t 1

= 10 − 2 x 1

− 2 x 2

• x 3

t 2

= 10 − 3 x 1

• 2 x 2

− x 3

t 3

= 10 − x 1

• 3 x 2

− x 3

z = 0 + x 1

• 3 x 2

− x 3

It´eration 1 :

t 1

10

3

10

3

x 2

5

3

x 3

2

3

t 2

x 1 =

10

3

2

3

x 2 −

1

3

x 3 −

1

3

t 2

t 3

20

3

7

3

x 2

2

3

x 3

1

3

t 2

z =

10

3

11

3

x 2

4

3

x 3

1

3

t 2

It´eration 2 :

x 2 = 1 +

1

2

x 3 −

3

10

t 1 +

1

5

t 2

x 1

1

5

t 1

1

5

t 2

t 3

1

2

x 3

7

10

t 1

4

5

t 2

z = 7 +

1

2

x 3 −

11

10

t 1 +

2

5

t 2

Exercice 3. 7 3. Algorithme du Simplexe – MATH-F-

La variable qui devrait entrer en base est x 3

, mais on peut augmenter x 3

→ ∞ tout en restant r´ealisable.

⇒ le probl`eme est non born´e

En effet, on v´erifie que :

x (λ) =

• λ ·

1

2

est r´ealisable pour tout λ ∈ R.

Et la valeur de la fonction objective : c

T x (λ) = 7 +

1

2

· λ → ∞ si λ → ∞

Donc r = ( 0,

1

2

, 1 ) est un rayon tel que c

T r > 0!