Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Particle PhysicsParticle Physics
Typology: Study notes
1 / 125
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN
3.1 Đ ạo hàm hàm y=f(x), hàm ng ược, hàm cho b ởi ph ương
trình tham số
3.2 Đ ạo hàm c ấp cao
3.4 Công th ức Taylor – Maclaurint.
3.6 Ứ ng d ụng đ ạo hàm gi ải các bài toán t ố ưi u.
3.5 Quy t ắc L’Hospital
3.3 Vi phân và ứng d ụng. Vi phân c ấp cao
3.7 Ứng d ụng đ ạo hàm gi ải đ ể kh ảo sát hàm cho b ởi pt
tham số
Đ ạo hàm
Bài toán m ở đ ầ u 1:
Xét đ ường cong y=f(x) v ới m ột đi ểm
P(a,f(a)) c ố đ nh trên đị ường cong.
Cho đi ểm Q(x,f(x)) ch ạy trên đ ường
cong t ới đi ểm P.
N ếu cát tuy ến PQ d ần đ ến v trí gi ị ới
h ạn Pt ( Q≡P) thì đ ường th ẳng Pt
đ ược g ọi là ti ếp tuy ến c ủa đ ường
cong t ại P
Ti ếp tuy ến có h ệ s ố góc:
x a
H ệ s ố góc c ủ a ti ế p tuy ế n t ạ i đi ể m nào l ớ n h ơ n thì đ ộ bi ế n
thiên c ủ a hàm s ố ạ t i đi ể m đó l ớ n h ơ n
C ả 2 bài toán trên đ ều d ẫn ta đ ến vi ệc tính gi ới h ạn c ủa t ỉ
su ất Δf/ Δx khi Δx→0, t ức là tính t ốc đ ộ bi ến thiên t ức th ời
c ủa y t ương ứng v ới x t ại th ời đi ểm x=x
1
. Trong gi ải tích,
ng ười ta g ọi t ốc đ ộ này là đ ạo hàm c ủa hàm y=f(x)
Nh ận xét:
Cho y=f(x) (y ph ụ thu ộc vào x). N ếu x bi ến thiên t ừ x
1
đ ến x
2
thì đ ộ bi ến thiên c ủa x (còn đ ược g ọi là s ố gia c ủa x) là
∆x=x
2
-x
1
và đ ộ bi ến thiên t ương ứng c ủa hàm y= f(x) là
∆f=f(x
2
)-f(x
1
T suỉ ất ∆f/∆x đ ược g ọi là t ốc đ ộ bi ến thiên trung bình c ủa y
t ương ứng v ới x
Nh ư v ậy: đ ạ o hàm c ủ a hàm f(x) t ạ i 1 đi ể m x
0
là t ố c đ ộ bi ế n
thiên t ứ c th ờ i c ủ a hàm t ạ i th ờ i đi ể m x=x
0
và là h ệ s ố góc c ủ a
ti ế p tuy ế n v ớ i đ ườ ng cong y=f(x) t ạ i đi ể m (x
0
,f(x
0
Đ ạo hàm
Đ nh nghĩa:ị Cho hàm f(x) xác đ nh trong lân cị ận c ủa x
0
, đ ạo
hàm t ại x
0
c ủa hàm f(x) là
0
0 0 0
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim
x x x
f x f x f x x f x
f x
x x x
N ếu gi ới h ạn trên là h ữu h ạn
Các quy t ắc tính đ ạo hàm c ủa t ổng, tích, th ương
f x g x f x g x
f x. g x f x. g x f x. g x
2
f x f x. g x f x. g x
g x
g x
Có 3 cách đ ể kí hi ệu đ ạo hàm
0 0 0
df
f x x Df x
dx
Đ ạo hàm
Trong Khoa h ọ c Xã h ộ i : Tỷ lệ người dân ở Mỹ là người
nhập cư (nghĩa là được sinh ra ở nơi khác) trong
nhiều thập kỷ khác nhau được trình bày dưới đây.
a. Tìm f '(1) và giải thích kết quả.
b. Ước tính tỷ lệ thay đổi của phần trăm người nhập cư
trong nh ững năm 2000 đ ến 2010.
Các tỷ lệ này được xấp
xỉ bởi hàm:
trong đó x là số thập
kỷ kể từ năm 1930
(VD x = 5, sẽ là t ỉ ệl
của năm 1980).
2
f x 0.5 x 3.7 x 12
Ý nghĩa c ủa đ ạo hàm
a. : trong th ập k ỷ 40, t lỉ ệ ng ười nh ập c ư gi ảm
v ới t ốc đ ộ kho ảng 0.27% m ỗi năm
f 1 2.
Trong Khoa h ọ c Xã h ộ i: Hai ng ười ch ạy đua 100m có đ ồ thị
hàm v trí đị ược cho d ưới đây.
a/ Mô t ả và so sánh cách ch ạy
c ủa 2 ng ười.
b/ Vào th ời đi ểm nào kho ảng
cách gi ữa 2 ng ười l ớn nh ất?
c/ Vào th ời đi ểm nào h ọ có
cùng v ậ n t ốc?
Chú ý: N ếu s(t) là hàm v trí c ị ủa 1 ch ất đi ểm di chuy ển d ọc
theo đ ường th ẳng thì s'(t
0
) là v ận t ố c c ủa ch ất đi ểm t ại th ời
đi ểm t=t
0
Ý nghĩa c ủa đ ạo hàm
Trong V ậ t lý : V trí cị ủa 1 h ạt đ ược cho b ởi ph ương trình
a/Tìm v ận t ốc c ủa h ạt t ại th ời gian t?
Trong đó s tính b ằng mét, t tính b ằng giây
b/ V ận t ốc h ạt sau 2 giây, 6 giây là bao nhiêu?
3 2
s t t 6 t 9 t
c/ Khi nào h ạt đ ứng yên?
d/ Khi nào h ạt chuy ển đ ộng v ề phía tr ước?
e/ Tìm quãng đ ường h ạt đi đ ược trong 5 giây đ ầu tiên.
f/ Tìm gia t ốc c ủa h ạt t ại th ời gian t và sau 4 giây.
g/ V ẽ đ ồ th các hàm v trí, vị ị ận t ốc, gia t ốc c ủa h ạt v ới
0≤t≤5 trên cùng 1 h ệ tr ục b ằng 1 ph ần m ềm tùy ý.
h/ Khi nào h ạt tăng t ốc? Gi ảm t ốc?
Ý nghĩa c ủa đ ạo hàm
a/ V ận t ốc c ủa h ạt t ại th ời gian t:
b/ V ận t ốc h ạt sau 2 giây là v(2)=-3 (m/s)
v t 0 t 1 t 3 c/ H ạt đ ứng yên khi
d/ H ạt chuy ển đ ộng v ề phía tr ước
khi:
e/ Tìm quãng đ ường h ạt đi đ ược trong
5 giây đ ầu tiên b ằng cách v ẽ hình.
f/ Gia t ốc c ủa h ạt là:
h/ H ạt tăng t ốc khi v ận t ốc d ương và tăng lên ho ặc âm và
gi ảm đi t ức là v(t) và a(t) cùng d ấu
2
v t s t 3 t 12 t 9
v t 0 t 1 t 3
s 1 s 0 s 3 s 1 s 5 s 3 28( m )
a t v t 6 t 12
Ý nghĩa c ủa đ ạo hàm
Trong Kinh t ế: Gi ả s ử ổt ng chi phí đ ể s ản xu ất x đ ơn v hàng ị
hóa là C(x) thì hàm C(x) đ ược g ọi là hàm chi phí
N ếu s ố ượl ng hàng hóa s ản xu ất tăng t ừ x
1
đ ến x
2
thì chi phí
tăng thêm là ∆C=C(x
2
)-C(x
1
) và t ốc đ ộ bi ến thiên trung bình
c ủa chi phí là:
2 1 1 1
2 1
2 1
C x C x C x x C x
C
x x x
x x x x
Gi ới h ạn c ủa t ỉ su ất trên khi ∆x→0 là t ốc đ ộ bi ến thiên t ức
th ời c ủa chi phí s ản xu ất theo s ố s ản ph ẩm đ ược s ản xu ất
Trong kinh tế chi phí đó đ ược g ọi là chi phí c ậ n biên.
L ấy ∆x=1 và n l ớn (sao cho ∆x VD: Doanh nghiệp có thể mua nhiều b ản quy ền (license)
cho phần mềm nén dữ liệu PowerZip với tổng chi phí
xấp xỉ
đô la cho x b ản quy ền. Nguồn: Trident
Software
1/ Tính C(1), C(2), C(5); t ừ đó tính giá mua b ản quy ền th ứ 1,
2/ Tính C'(8), nêu đ ơn v tính và ý nghĩa c ị ủa k ết qu ả..
3/ Tính C'( 64 ), so sánh v ới k ết qu ả câu trên..
2
3
C x 24 x
1
3
C x 16 x
2/ C'(8)=8 (đô la/b ản quy ền), t ức là mua b ản quy ền th ứ 8
v ới giá 8 đô la
3/ C'( 64 )=4, t ức là mua b ản quy ền th ứ 64 ch vỉ ới giá 4 đô la
C( 64 )-C(63)=4,01 t ức là chi phí c ận biên đ ể có b ản quy ền
th ứ 64 x ấp x v ỉ ới chi phí mua b ản quy ền th ứ 64.
Ý nghĩa c ủa đ ạo hàm
Đ ồ th cị ủa đ ạo hàm
Hàm s ố y=f(x) có đ ạo hàm
cũng là hàm s ố theo x
Hình bên cho ta m ối liên
h ệ gi ữa đ ồ th ị c ủa hàm s ố
y=f(x) và hàm s ố y=f’(x)
Ví d ụ: Nhìn trong hình v ẽ
bên và cho bi ết đâu là đ ồ
th ị c ủa hàm y=f(x), đâu là
đ ồ th cị ủa hàm y=f’(x)
Đ ồ th cị ủa đ ạo hàm
Ví d ụ: Trong các hình d ưới đây và cho bi ết đâu là đ ồ th cị ủa
hàm y=f(x) (t ừ a/ đ ến f/), đâu là đ ồ th cị ủa hàm y=f’(x) (t ừ A/
đ ến F/)
Ví dụ: Tính đ ạ o hàm và dùng ph ần m ềm tùy ý đ ể v ẽ đ ồ thị
và các ti ếp tuy ến trái, ph ải c ủa hàm sau t ại các đi ểm hàm
không có đ ạo hàm.
2
Tính đ ạo hàm t ại 2 đi ểm x=-1, x=
2
2
Ta vi ết l ại hàm đã cho b ằng cách b ỏ d ấu tr tuy ị ệt đ ối
x x
f x
x x
ff
ff
Tìm ti ếp tuy ến t ại x=-1, x=
x 1: y 4 x 1 ; x 3 : y 4 x 3
Đ ạo hàm 1 phía
Đ ạo hàm 1 phía
Các ti ếp tuy ến:
y x
y x
2
