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- On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées.
- Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
- Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.
- Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l’épreuve sont relativement indépendantes entre elles.
Mission BepiColombo
De par sa position relativement basse par rapport à l'horizon, et bien que
visible, Mercure reste la plus mystérieuse des planètes telluriques. Son orbite
particulière et sa petite dimension rendent son observation difficile. Malgré deux
grandes missions déjà réalisées par Mariner 10 (dans les années 1970) et Messenger
(dans les années 2000), qui ont permis d'apporter de nombreuses observations sur
sa surface, certaines caractéristiques de Mercure demeurent encore inconnues.
La mission BepiColombo (figure 1),
appelée ainsi en hommage au mathématicien
italien G. COLOMBO qui calcula la trajectoire de
la sonde Mariner 10, est la cinquième pierre
angulaire du programme Cosmic Vision de
l’ESA (European Space Agency) en coopération
avec le JAXA (Japan Aerospace Exploration
Agency). Elle permettra l’étude de la planète
Mercure et de son environnement grâce à
deux sondes, MMO (Mercury Magnetospheric
Orbiter) et MPO (Mercury Polar Orbiter), mises
en orbite autour de la planète.
Figure 1 : Illustration d'artiste de la sonde BepiColombo, propulsé par deux moteurs ioniques.
Lancée le 19 octobre 2018 par le lanceur Européen Ariane 5, la sonde
arriverait autour de Mercure en 2025. La sonde MPO, sur une trajectoire circulaire,
étudiera la surface et l’intérieur de la planète ainsi que l’exosphère. La sonde MMO,
sur une trajectoire elliptique, sera dédiée à l’étude de la magnétosphère et de
l’exosphère.
Ce problème propose d’étudier de manière simplifiée quelques aspects relatifs
à la mission BepiColombo.
La partie 1 est notée sur 4 points , la partie 2 sur 16 points.
Partie 1
Mouvement dans le champ gravitationnel d’une planète
On assimile une planète à une distribution de masse sphérique homogène de
centre OP , de rayon RP et de masse MP répartie uniformément en volume.
On se place dans le référentiel (ℜ P ) , d’origine OP et en translation par rapport
au référentiel de Copernic. On suppose (ℜ P ) galiléen et on ne tiendra compte que de
l’attraction de la planète.
1. En justifiant soigneusement, montrer que le champ gravitationnel G
( M ) créé
par cette distribution en tout point M^ de l’espace repéré par ses coordonnées
sphériques ( r , θ, ϕ) est donné par :
G
( M ) = − G
M int ( r )
r^2
e
r
où G est la constante de gravitation universelle et M int ( r ) la masse qui se
trouve à l'intérieur de la sphère de centre OP et de rayon r. e
r est un vecteur
unitaire de la base e
r , e
θ , e
( ϕ) associée à ces coordonnées sphériques.
2. Achever la détermination de l'expression du champ gravitationnel G
( M ) créé par la planète au point M de l’espace. On affecte le point M , situé à la distance r ( r > RP ) du centre OP , d’une masse m que l’on assimile à un point matériel.
3. Exprimer vectoriellement la force F
exercée par la planète sur le point matériel M.
4. La seule force F
qui s’exerce sur M est une force dite centrale. Justifier l’appellation. Quelle en est la conséquence sur la trajectoire du point M? Préciser la surface dans laquelle se fait le mouvement.
5. Montrer que la force F
dérive d’une énergie potentielle gravitationnelle Ep
dont on donnera l'expression en fonction de G , MP , m et r^. On prendra l'énergie potentielle gravitationnelle nulle quand le point matériel est infiniment éloigné de la planète.
6. Établir l’expression générale de l’énergie mécanique Em du point M en
fonction de G , MP , m et r et de la vitesse v de M dans (ℜ P ).
7. En déduire la vitesse de libération (ou vitesse d’ « évasion ») du point M à la
surface de la planète. On considère que le point matériel M est en orbite circulaire de centre OP , de
rayon r 0 et qu’il effectue un tour complet de la planète en une durée T 0.
8. Montrer que le mouvement circulaire de M est nécessairement uniforme. 9. Établir l’expression littérale de la vitesse v 0 de M en fonction de MP , r 0 et G.
Retrouver la troisième loi de Kepler.
10. Exprimer l’énergie cinétique Ec 0 de M en fonction de G , MP , m et r 0.
Pour aller de la Terre à Mercure, la solution la plus économique (en termes de carburant) est donnée par l’orbite de HOHMANN. Cette ellipse de transfert, dont le Soleil est un foyer, est tangente en son aphélie A à l’orbite de la Terre et en son périhélie P à l’orbite de Mercure. On la considère coplanaire aux trajectoires circulaires de la Terre et de Mercure autour du Soleil. Cette solution implique deux impulsions instantanées ou presque (grâce à des moteurs qui fournissent une grande poussée très rapidement) qui se traduisent en des variations de vitesse Δ vA
et Δ vP pour d’abord quitter l’orbite terrestre et ensuite injecter le vaisseau dans
l’orbite mercurienne. Pour l’étude de l’ellipse de transfert, on considère le vaisseau sur une orbite d’attente circulaire basse au voisinage de la Terre. On se place dans le référentiel héliocentrique (ℜ H ) supposé galiléen et on ne tient compte que de l’attraction gravitationnelle du Soleil.
2.1. Définir le référentiel héliocentrique. À quelle(s) condition(s) peut-on le
considérer galiléen?
2.2. Réaliser un schéma de la trajectoire du vaisseau autour du Soleil et y faire
figurer les trajectoires de la Terre et de Mercure autour du Soleil.
2.3. Exprimer la vitesse v ( r ) du vaisseau spatial placé sur une orbite de demi-
grand axe a autour du Soleil en fonction de sa distance r au centre du Soleil.
2.4. Expliquer en quelques mots pourquoi il est plus économique de choisir une
orbite de HOHMANN plutôt qu’une orbite de transfert sécante à l’orbite de Mercure.
2.5. À quelles distances du Soleil, notées dH , P et dH , A , se trouvent respectivement le
périhélie et l’aphélie de l’orbite de transfert de HOHMANN entre la Terre et Mercure? Calculer le demi-grand axe aH , ainsi que l’excentricité eH de l’ellipse
de HOHMANN.
2.6. Deux impulsions sont nécessaires pour effectuer le transfert d’orbites. Une
première impulsion au point A engendre une variation de vitesse Δ vA = vH , A − vT. Ceci permet au vaisseau de passer de sa trajectoire circulaire
initiale à l’ellipse de HOHMANN. Une seconde impulsion, associée à une variation de vitesse Δ vP = vM − vH , P au point P permet au vaisseau de passer de
l’orbite de HOHMANN vers l’orbite de Mercure. vT , vM , vH , A et vH , P sont les
vitesse respectivement sur l’orbite de la Terre, l’orbite de Mercure, à l’aphélie et au périhélie de l’orbite de HOHMANN. Montrer que les expressions de Δ vA et de Δ vP sont données par :
Δ vA =
GMS
rT
rPM
a
⎟ et^ Δ vP^ =^
GMS
rM
rAM
a
2.7. Exprimer et calculer la durée théorique (en jours) du transfert Δ tA → P de la
Terre à Mercure (entre A et P ). On pourra utiliser la troisième loi de Kepler.
2.8. La croisière BepiColombo est longue (6 ans) car elle s'effectuera à l'aide de
l'assistance gravitationnelle autour de la Terre, de Vénus et de Mercure. Expliquer en quelques mots ce qu’est l’assistance gravitationnelle et dire quel est son intérêt.
3. Motorisation de la sonde BepiColombo
Afin d'optimiser au mieux la taille et le poids de la sonde BepiColombo, il a
été décidé d'utiliser un moteur ionique (figure 2) fonctionnant grâce à l’ionisation du
xénon gazeux par bombardement électronique dans la chambre du propulseur
ionique. Les ions (^) Xe +^ du xénon de charge qi et de masse mi pénètrent dans la
chambre d’accélération en (^) x = 0 , avec une vitesse que l’on considèrera nulle. Ils sont
ensuite accélérés entre une grille intérieure
( Gi ) chargée positivement de potentiel
Vp = 0 et une grille extérieure ( Ge ) chargée
négativement de potentiel Vn = − U 0 < 0
(figure 3). Les deux grilles distantes de d
sont planes de surface S. Les ions sont
caractérisés par la densité volumique ni ( x ) ,
le potentiel électrique V ( x ) et la vitesse
ui ( x ) en x. La force d'accélération des ions
à très haute vitesse est convertie en une
force de poussée du vaisseau spatial
donnée par : F
= − Dm ui
. ui
est la vitesse
d’éjection des ions en (^) x = d par rapport à la Figure 2 : Schéma du moteur ionique
sonde et Dm est le débit massique de
matière éjectée à travers la section S.
On se place dans le cadre de la
mécanique non relativiste et on travaille
dans un référentiel galiléen.
3.1. Vérifier l’homogénéité de
l’expression de la force de poussée. Figure 3 : Principe du moteur ionique
3.2. Établir l’expression de la vitesse ui ( x ) des ions à l’abscisse x.
3.3. Exprimer le débit massique Dm en fonction de ui ( x ) , ni ( x ) , mi et S.
3.4. Justifier que
d
2 V ( x ) dx^2
ni ( x ) qi ε 0
On souhaite déterminer des ordres de grandeurs des caractéristiques du
moteur ionique. Pour cela, on suppose que le potentiel vérifie l’hypothèse :
d
2 V ( x )
dx
2 ≈^
Δ V
(Δ x )
2 ≈^ −
U 0
d
3.5. En déduire l’expression du débit massique Dm en fonction de ε 0 , U 0 , qi , mi , d
et (^) S.
3.6. Exprimer (^) F = F
en fonction de ε 0 , U 0 , (^) d et (^) S.
3.7. En négligeant la force de pesanteur et la force de frottement due à
l’atmosphère, montrer que la puissance électrique minimale que doit fournir le générateur est donnée par :
Parmi les nombreux instruments qui
équiperont la sonde spatiale, on trouve un
imageur spectrale dans l’infrarouge thermique
fonctionnant en mode « push broom » (Figure 5 ).
Les images réalisées par la sonde sont recueillies
sur un capteur constitué d’une seule ligne de
N (^) p = 120 pixels carrés, de taille δ = 35 μ m (Figure 6 ).
Figure 6
4.2.3.1. De conception proche du télescope de
type Cassegrain, le télescope Schmidt- Cassegrain présente toutefois quelques particularités notables. En citer deux.
4.2.3.2. Où doit-on placer le capteur? Figure^5 :^ Principe de l’imagerie
par sonde « Push-broom »
4.2.3.3. Dessiner le schéma des rayons lumineux donnant l’image de la ligne
imagée à la surface de Mercure par le télescope.
4.2.3.4. Exprimer littéralement puis calculer numériquement les dimensions l et
L = AB de la ligne imagée rectangulaire à la surface de Mercure par la ligne de pixel.
4.2.3.5. Déterminer la résolution spatiale du télescope, définie par la dimension
du plus petit objet sur Mercure détectable.
4.2.4. La surface de mercure est considérée comme un corps à la température
T = 440 K pour une longueur d’onde centrale de détection λ 0 = 10 μ m.
4.2.4.1. Le rayonnement émis par la planète Mercure vérifie-t-il la loi de Wien?
4.2.4.2. Sachant que le mouvement de la sonde BepiColombo sur son orbite
entraîne un déplacement de la ligne de vue à une vitesse v = 2 , 6 km. s
− 1 , calculer
le temps τ durant lequel est vue une zone donnée de la surface par un pixel.
4.2.4.3. On estime que la puissance Φ px reçu par un pixel au centre du
détecteur observant la surface de Mercure dans la bande spectrale du détecteur est Φ px = 510 pW. Calculer le nombre N (^) photon de photons reçus par un
pixel provenant d’une zone donnée de la surface de Mercure.
Données :
− Masse de la planète Mercure : MM = 3 , 30. 1023 kg.
− Rayon de la planète Mercure : RM = 2 , 44. 103 km.
− Masse de la planète Terre : MT = 6 , 0. 1024 kg.
− Rayon de la planète Terre : RT = 6 , 4. 103 km.
− Masse du Soleil : MS = 1 , 9. 1030 kg.
− Constante de gravitation universelle : G = 6 , 7. 10 −^11 SI.
− Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3.10^8 m s. −^1. − Constante de Planck : (^) h = 6 , 63. 10 −^34 J. s.
