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TD Ï 13 : EnergĂ©tique
Exercice 1 : Distance de freinage
Une voiture de masse m = 1_._ 5_._ 103 kg roule Ă la vitesse de 50 km.h â^1 sur une route horizontale. Devant un imprĂ©vu, le conducteur Ă©crase la pĂ©dale de frein et sâarrĂȘte sur une distance de d = 15 m. On modĂ©lise la force de freinage par une force constante et opposĂ©e Ă la vitesse.
- Calculer le travail de la force de freinage.
- En déduire la norme de cette force.
- Quelle distance faut-il pour sâarrĂȘter si la vitesse initiale est de 70 km.h â^1?
- Commenter cette phrase relevĂ©e dans un livret dâapprentissage de la conduite : "La distance de freinage est proportionnelle au carrĂ© de la vitesse du mobile".
Exercice 2 : Equilibre et mouvement sur un cercle
Un anneau de masse m , assimilable Ă un point matĂ©riel M , peut coulisser sans frottement sur un cerceau vertical de rayon R. Lâanneau est lancĂ© Ă lâinstant initial avec une vitesse de norme v 0 depuis le point A , point le plus bas du cerceau. On repĂšre sa position au cours de son mouvement par lâangle Ξ (voir figure ci-dessous).
- Etablir lâexpression de lâĂ©nergie potentielle de M en fonction de Ξ. On prĂ©cisera bien lâorigine des potentiels choisie.
- Tracer la courbe Ep ( Ξ ) et dĂ©terminer les positions dâĂ©quilibre de M.
- On cherche à déterminer le mouvement possible de M selon la vitesse initiale.
(a) Montrer que lâĂ©nergie mĂ©canique de M se conserve et donner sa valeur. (b) En dĂ©duire, Ă partir dâun raisonnement graphique, quâil y a deux types de mouvement possibles en fonction de la valeur de v 0. PrĂ©ciser la valeur critique de v 0 sĂ©parant ces deux cas.
Exercice 3 : Lancer dâun chariot
Un chariot, de masse m , est propulsĂ© sur une rampe faisant un angle α avec lâhorizontale. Il est lancĂ© au point O avec une vitesse v 0. Le dĂ©placement se fait avec des frottements solides de coefficient f.
- Calculer le travail du poids et des frottements en fonction de lâabscisse x du chariot. En dĂ©duire lâaltitude maximale zmax atteinte en utilisant le thĂ©orĂšme de lâĂ©nergie cinĂ©tique.
- Retrouver la valeur de lâaltitude maximale en Ă©crivant la variation dâĂ©nergie mĂ©canique.
DonnĂ©es : m = 2_._ 0 kg ; α = 25âŠ^ ; g = 9_._ 8 m.s â^2 ; v 0 = 1_._ 0 m.s â^2 et f = 0_._ 1.
Exercice 4 : Toboggan
Un adulte de masse m = 70 kg descend un toboggan dâune hauteur h = 5 m et faisant un angle α = 45⊠avec le sol. La norme de la force de frottement T~ est donnĂ©e par || T~ || = f || R~ || oĂč f = 0_._ 4 est le coefficient de frottement et R~ la rĂ©action normale. On prendra g = 9_._ 8 m.s â^2.
- Calculer la variation dâĂ©nergie mĂ©canique due au frottement entre le haut et le bas du toboggan.
- DĂ©terminer la vitesse de la personne en bas du toboggan. Comparer Ă celle quâil aurait sâil nây avait pas de frottement.
Exercice 5 : Pendule Ă©lastique
Soit une masse m pouvant se dĂ©placer sans frottement le long de lâaxe Ox , accrochĂ©e Ă un ressort de raideur k et de longueur Ă vide l 0 , dont lâextrĂ©mitĂ© est fixĂ©e en A immobile. ( OA = h < l 0 ).
- Quelles sont les positions dâĂ©quilibre? Etudier leur stabilitĂ©.
- Calculer la pĂ©riode des petites oscillations autour de la (les) position(s) dâĂ©quilibre stable.
Exercice 8 : Acrobatie
Un adepte du roller, assimilĂ© Ă un point matĂ©riel M de masse m , se lache sans vitesse initiale depuis le point A dâune rampe, situĂ© Ă une hauteur h au dessus de O , point le plus bas de la rampe. A partir de O la rampe a une forme cylindrique de rayon a : le patineur peut rouler Ă lâintĂ©rieur de ce cylindre en restant dans le plan vertical ( Oxy ), et Ă©ventuellement faire le tour complet. Le contact est sans frottement sur toutes les surfaces.
On note ~g = â g ~ey lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur et on dĂ©signe par e~r =
â CM ââ CM le vecteur unitaire radial par rapport au cercle.
- DĂ©terminer la norme v 0 de la vitesse du patineur lorsquâil arrive au point O.
- DĂ©terminer la norme v de la vitesse du patineur en un point M quelconque du cercle, repĂ©rĂ© par lâangle Ξ.
- Montrer que la réaction exercée par le support cylindrique sur le patineur est :
R^ ~ = â mg
( 2 h a
) e ~r
- (a) Que se passe-t-il si, en un certain point du cylindre, v sâannule avec R non nulle? (rĂ©pondre sans calculs) (b) Que se passe-t-il si câest la rĂ©action R qui sâannule avec v non nulle? (RĂ©pondre sans calculs)
- DĂ©terminer la valeur minimale que doit avoir la hauteur h pour que le patineur puisse faire un tour complet du cylindre.
Exercice 9 : Mouvement dâun atome de gaz rare
On considĂšre un atome de gaz rare de masse m interagissant avec un autre atome de gaz rare supposĂ© fixe dans un rĂ©fĂ©rentiel galilĂ©en. Le problĂšme est vu de façon unidimensionnelle selon x , lâatome fixe Ă©tant situĂ© en lâorigine O. LâĂ©nergie potentielle correspondant Ă la force dâinteraction F~ qui sâexerce entre les deux atomes est mo- dĂ©lisĂ©e par le potentiel de Lennard-Jones :
EP ( x ) = 4 E 0
[( Ï x
) 12 â
( (^) Ï
x
) 6 ]
oĂč x dĂ©signe la distance intermolĂ©culaire et Ï est une distance caractĂ©ristique. LâĂ©nergie potentielle est prise nulle lorsque x â â, câest-Ă -dire lorsque les deux atomes sont infiniment Ă©loignĂ©s.
- ReprĂ©senter lâallure de EP ( x ) Ă lâaide de Python. On prendra des valeurs arbitraires pour E 0 et Ï.
- Discuter les diffĂ©rents mouvements possibles Ă lâaide du graphe de la fonction EP ( x ).
- Etablir lâexpression de la distance dâĂ©quilibre x 0 entre les deux noyaux, en fonction de Ï. Que reprĂ©- sente la quantitĂ© E 0?
- DĂ©terminer lâexpression de la force dâinteraction molĂ©culaire F ( x ).
- Montrer que, au voisinage de la position dâĂ©quilibre, F ( x ) peut se mettre sous la forme F ( x 0 + ) = â k avec k une constante et << x 0. On mettra k sous la forme k = (^) x Ë k 20 oĂč Ë k sera exprimĂ© en fonction de E 0.
- Exprimer alors la pĂ©riode T des petites oscillations de m autour de la position dâĂ©quilibre, en fonction de m , Ï et E 0.
