Download ppt engineering electromagnetic and more Study notes Electromagnetic Engineering in PDF only on Docsity!
Energi Terpakai Untuk Memindahkan Muatan Titik Di Dalam Medan
Listrik
- Medan listrik adalah gaya listrik persatuan muatan yang dimana menunjukkan seberapa besar gaya yang dialami oleh muatan uji jika diletakkan pada titik tertentu.
- Jika muatan Q di dalam medan listrik, maka ia kan mengalami gaya. 𝐹𝐸 = 𝑄𝐸
- Jika memindahkan muatan Q sejauh elemen jarak kecil maka gaya dari medan listrik bekerja searah dengan medan sehingga medan melakukan kerja positif dan energi potensial berkurang sedangkan saat memindahkan muatan melawan medan listrik diperlukan energi lebih untuk melawannya sehingga kerja negatif untuk medan.
- Untuk memindahkan muatan sejauh dL, hanya komponen gaya yang searah perpindahan yang berperan.
- Usaha diferensial dW yang dikeluarkan untuk memindahkan muatan Q sejauh dL adalah hasil kali gaya yang diberikan dengan jarak perpindahan. 𝑑𝑊 = −𝑄𝐸 ∙
- Jumlah energi yang terpakai untuk memindahkan sebuah muatanQ sejauh suaru jarak yang berhingga dapat ditentukan dengan mengintegrasikan “kerja diferensial yang dilakukan untuk memindahkan muatan tersebut melawan gaya medan listrik. 𝑊 = −𝑄 න 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝑬 ∙ 𝑑𝑳
Integral Garis
Integral garis digunakan untuk menghitung kerja (usaha) yang dibutuhkan untuk memindahkan sebuah muatan Q dari satu titik ke titik lain di dalam medan listrik E. 𝑊 = −𝑄 න 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝐸𝐿 𝑑𝐿 Berdasarkan gambar, maka kerja total dapat ditulis: 𝑊 = −𝑄(𝐸𝐿1∆𝐿 1 + 𝐸𝐿 2 ∆𝐿 2 + ⋯ +𝐸𝐿 6 ∆𝐿 6 semakin kecil segmen (hingga mendekati nol, Maka hasil penjumlahan ini berubah menjadi Integrak garis.
Contoh: Bila diketahui sebuah medan tidak seragam 𝐸 = 𝑦 𝑎𝑥 + 𝑥 𝑎𝑦 + 2 𝑎𝑧 Diminta untuk menghitung kerja yang dilakukan untuk memindahkan sebuah muatan 2 C dari titik B(1, 0, 1) ke titik A(0.8; 0.6; 1) melalui jalur/lintasan berupa busur terpendek dari lingkaran 𝑥 2
- 𝑦 2 𝑧 = 1 Jawab: Gunaka persamaan: 𝑊 = −𝑄 න 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝐸 𝑑𝐿
Integral Garis
Definisi Beda Potensial dan Potensial
- Ketika sebuah muatan listrik Q dipindahkan didalam medan listrik E, maka akan ada usaha (kerja) yang dilakukan oleh gaya listrik atau oleh gaya luar (ejsternal) untuk memindahkannya.
- Untuk muatan satuan positif (Q=1 Coulomb) 𝐵𝑒𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙 = 𝑉 = − න 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑎𝑘ℎ𝑖𝑟 𝐸 ∙ 𝑑𝐿
- Beda potensial antara dua titik adalah kerja per satuan muatan yang dilakukan oleh gaya luar untuk memindahkan muatan positif dari titik awal ke titik akhir.
- Contoh hubungan dengan medan listrik Jika diketahui medan listriknya 𝐸 = 𝑄 2 𝜋𝜖 0 𝑟^2 𝑎𝑟 maka 𝑑𝐿 = 𝑑𝑟 𝑎𝑟. Subtitusikan ke rumus beda potensial sehingga didapatkan hasil: 𝑉𝐴𝐵 = − න 𝐵 𝐴 𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = − න 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑄 2 𝜋𝜖 0 𝑟 2
Medan Potensial dari Sebuah Muatan Titik
- Beda potensial antara titik A dan B adalah negatif dari integral garis antara kedua titik tersebut terhadap medan listrik E.
- Jika memindahkan muatan positif dari titik B ke A, maka medan listrik melakukan kerja terhadap muatan itu, dan kerja eksternal yang dibutuhkan berhubungan langsung dengan beda potensial.
- Untuk medan listrik dari muatan titik jika terdapat muatan Q di pusat koordinat, maka: 𝐸 =
2
𝐵 𝐴 𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = − න 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑄 2 𝜋𝜖 0 𝑟 2
- Potensial bergantung hanya pada jarak titik dari muatan sumber (r), bukan lintasan yang ditempuh.
- Titik yang lebih dekat ke muatan positif memiliki potensial lebih besar.
Medan Potensial dari Sebuah Muatan Titik
- Agar lebih sederhana, biasanya ditetapakn bahwa V=0 di titik tak hingga dengan asumsi: 𝑉 =
0
- Hal ini disebut dengan potensial mutlak suatu titik berjarak r dari muatan Q
- Asumsi diatas terkadang juga ditulis seperti berikut: 𝑉 =
dimana 𝐶 1 bergantung pada dimana kita menetapkan titik nol potensial. Jika titik nolnya di tak hingga maka 𝐶 1 = 0
Medan Potensial Sebuah Sistem Muatan: Sifat Konservatif Medan
- Potensial listrik menunjukkan besar kerja yang dilakukan untuk memindahkan sebuah muatan uji positif dari satu titik ke titik lain tanpa memperhatikan lintasan yang ditempuh. Artinya potensial hanya bergantung pada posisi awal dan akhir, bukan pada jalur perpindahan.
- Bayangkan kamu punya muatan kecil +𝑞 di dalam medan listrik. Ketika kamu pindahkan muatan ini dari titik A ke titik B, kamu butuh energi tertentu agar muatan itu bisa bergerak melawan gaya listrik. Oleh karena itu, energi per satuan muatan inilah yang disebut potensial listrik (V).
- Kalau besarnya kerja tergantung dari jalur mana kamu lewati, maka tidak ada cara tunggal untuk menentukan potensial di suatu titik. Tetapi dalam medan listrik yang dihasilkan oleh mutan diam, kerja tidak tergantung pada lintasan, hanya pada posisi awal dan akhir. Karena itu, medan listrik disebut konservatif.
- Jika ada banyak muatan diruang, total medan potensial di suatu titik sama dengan jumlah dari suatu potensial akibat masing-masing muatan yang disebut prinsip superposisi.
- Untuk satu muatan titik 𝑄 1 di posisi 𝑟 1 , potensial di titik 𝑟 diberikan oleh: 𝑉 𝑟 = 𝑄 1 4 𝜋𝜖 0 𝑟 − 𝑟 1 Persamaan ini menunjukkan bahwa besar potensial hanya tergantung pada jarak antara titik pengamatan dan muatan sumber, bukan arah.
Medan Potensial Sebuah Sistem Muatan: Sifat Konservatif Medan
- Jika terdapat beberapa muatan titik 𝑄 1 , 𝑄 2 , 𝑄 3 , …, maka potensial total di titik 𝑟 adalah penjumlahan dari masing-masing potensial: 𝑉 𝑟 = 1 4 𝜋𝜖 0 𝑛= 1 𝑁 𝑄𝑛 𝑟 − 𝑟𝑛
- Apabila muatan tersebar merata di ruang, maka setiap elemen kecil muatan 𝑑𝑞 = 𝜌𝑣𝑑𝑉 ′ menyumbangkan sedikit potensial. Totalnya diperoleh dengan integral: 𝑉 𝑟 = න 𝑣𝑜𝑙 𝜌𝑣(𝑟 ′ )𝑑𝑣 ′ 4 𝜋𝜖 0 𝑟 − 𝑟′
- Tergantung bentuk sumber muatannya: Untuk muatan garis (linear): 𝑉 𝑟 = න 𝐿 𝜌𝑣(𝑟 ′ )𝑑𝐿 ′ 4 𝜋𝜖 0 𝑟 − 𝑟′ Untuk muatan permukaan: 𝑉 𝑟 = න 𝑆 𝜌𝑣(𝑟 ′ )𝑑𝑆 ′ 4 𝜋𝜖 0 𝑟 − 𝑟′
Medan Potensial Sebuah Sistem Muatan: Sifat Konservatif Medan
- Medan listrik E berhubungan dengan potensial V melalui gradien: 𝐸 = −𝛻𝑉
- Atau untuk beda potensial antara titik A dan B: 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = න 𝐵 𝐴 𝐸 ∙ 𝑑𝐿 Jika nilai integrak ini tidak bergantung pada lintasan, maka medan listrik tersebut konservatif.
- Untuk medan konservatif berlaku: ර 𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = 0 Artinya, kerja total yang dilakukan untuk memindahkan muatan di lintasan tertutup selalu nol. Hal ini berarti energi potensial yang tersimpan tidak hilang atau bertambah selama pergerakan kembali ke titik awal.
- Persamaan diatas berlaku untuk medan listrik statis (tidak berubah terhadap waktu). Jika medan berubah terhadap waktu (misalnya pada medan elektromagnetik), maka medan tersebut tidak lagi konservatif, karena gaya gerak listrik (induksi elektromagnetik) yang mengubah potensial seiring waktu.
Gradien Potensial
Terbagi menjadi 2 metode untuk menentukan potensial listrik (V):
- Dari intensitas medan listrik (E) dengan mengintegralkan garis.
- Dari distribusi muatan sumber dengan mengintegralkan secara umum. Akan tetapi, kedua metode ini tidak selalu praktis karena:
- Biasanya tidak diketahuinya distribusi muatan sumber atau bentuk medan listrik secara pasti.
- Dalam kasus nyata, informasi yang diketahui hanyalah geometri sistem atau beda potensial antar titik.
Gradien Potensial
Pada gambar 4. 7 memperlihatkan permukaan ekipotensial (garis-garis dengan V konstan). Medan listrik tegak lurus terhadap permukaan ekipotensial. Diperkenalkan bahwa V adalah fungsi dari posisi: 𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) Perubahan kecil potensial ditulis sebagai diferensial total: 𝑑𝑉 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑉 𝜕𝑧 𝑑𝑧 Setiap titik di ruang memiliki nilai potensial berbeda, dan perubahan kecil (𝑑𝑉) tergantung pada arah perpindahan (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧). Arah di mana V berubah paling cepat adalah arah medan listrik.
Gradien Potensial
Didefinisikan bahwa laju perubahan potensial terhadap jarak disebut gradien potensial. Jika perpindahan dilakukan sepanjang arah medan listrik: 𝐸 = −
Secara umum arah gradien potensial adalah arah kenaikan potensial paling cepat, sedangkan arah medan listrik adalah arah penurunan potensial paling cepat. Oleh karena itu, secara vektor dinyatakan: 𝐸 = −𝛻𝑉 Dimana 𝛻𝑉 menunjukkan seberapa cepat potensial berubah terhadap posisi. Tanda negatif berarti E berlawanan arah dengan gradien V. Semakin besar gradien maka semakin besar pula medan listriknya.
Gradien Potensial
Operator gradien dapat dinyatakan secara berbeda tergantung pada sistem koordinat yang digunakan, karena tiap sistem bentuk geometri yang khas. Tiga bentuk utama yang dipakai adalah:
- Koordinat kartesius (𝑥, 𝑦, 𝑧) untuk bidang datar 𝛻𝑉 = 𝑎𝑥
- Koordinat silinder 𝜌, 𝜙, 𝑧 untuk pipa atau kawat panjang 𝛻𝑉 = 𝑎𝜌
- Koordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙 untuk muatan titik atau bola konduktor 𝛻𝑉 = 𝑎𝑟
𝑟 sin 𝜃
Ketiga bentuk ini muncul karena dalam setiap sistem koordinat, jarak (diferensial ruang) memiliki bentuk yang berbeda-beda, sehingga operator 𝛻 harus disesuaikan dengan geometri koordinatnya
Dipol
- Dipol merupakan pasangan dua muatan sama besar namun berlawanan tanda, yaitu +𝑄 dan − 𝑄, yang dipisahkan oleh jarak kecil 𝑑. Konsep ini diperlukan untuk memahami sifat-sifat dielektrik dan perilaku medan listrik dalam bahan.
- Secara umum dipol tidak memiliki muatan lokal (karena muatan positif dan negatif saling meniadakan), namun tetap menghasilkan medan listrik karena adanya pemisahan muatan.
- Potensial akibat masing-masing muatan adalah: 𝑉 =
- Dimana 𝑅 1 merupakan jarak titik P ke muatan +Q dan 𝑅 2 merupakan jarak titik P ke muatan - Q
