Download Practice Problem : Evaluating Limits - Notes for Exam | MATH 234 and more Study notes Calculus in PDF only on Docsity!
Math 234
Practice Problems: Evaluating Limits
- Evaluate the given limits or note that they do not exist
a.
lim xโ 1
x
2 โ 1
x โ 1
lim xโ 1
x^2 โ 1
x โ 1
= lim xโ 1
(x + 1)(x โ 1)
x โ 1
= lim xโ 1
(x + 1) = 1 + 1 = 2
b.
lim xโ 0
x^2 + x
x
lim xโ 0
x^2 + x
x
= lim xโ 0
x(x + 1)
x
= lim xโ 0
(x + 1) = 0 + 1 = 1
c.
lim xโ 2
x^4 โ 16
x โ 2
lim xโ 2
x
4 โ 16
x โ 2
= lim xโ 2
(x
2
2 โ 4)
x โ 2
= lim xโ 2
(x^2 + 4)(x + 2)(x โ 2)
x โ 2
= lim xโ 2
(x
2
2
= (4 + 4) โ 4 = 8 โ 4 = 32
d.
lim xโ 1
x
2
2 x โ 2
lim xโ 1
x^2 + 5x โ 6
2 x โ 2
= lim xโ 1
(x + 6)(x โ 1)
2(x โ 1)
= lim xโ 1
x + 6
2
1
e.
lim xโ 3
2 x + 4
x โ 3
Note that
lim xโ 3 +
2 x + 4
x โ 3
= lim xโ 3 +
x โ 3
= lim xโ 3 +
x โ 3
However, also note that similarly
lim xโ 3 โ
2 x + 4
x โ 3
= lim xโ 3 โ
x โ 3
= lim xโ 3 โ
x โ 3
Therefore,
lim xโ 3
2 x + 4
x โ 3 does not exist
f.
lim xโ 3 โ
3 x + 2
x โ 3
lim xโ 3 โ
3 x + 2
x โ 3
= lim xโ 3 โ
x โ 3
= lim xโ 3 โ
x โ 3 = โโ
g.
lim xโ 2 +
40 x
2
x โ 2
lim xโ 2 +
40 x^2 + 1
x โ 2
= lim xโ 2 +
40(2)^2 + 1
x โ 2
= lim xโ 2 +
x โ 2 = โ
h.
lim xโ 0 โ
x^2 โ x
x
lim xโ 0 โ
x
2 โ x
x
= lim xโ 0 โ
x(x โ 1)
x
= lim xโ 0 โ
(x โ 1) = 0 โ 1 = โ 1
m.
lim xโ 2
x โ 2 โ x + 2 โ x
lim xโ 2
x โ 2 โ x + 2 โ x
= lim xโ 2
x โ 2 โ x + 2 โ x
x + 2 + x โ x + 2 + x
= lim xโ 2
(x โ 2)(
x + 2 + x)
(
x + 2)^2 โ x^2
= lim xโ 2
(x โ 2)(
x + 2 + x)
โx^2 + x + 2
= lim xโ 2
(x โ 2)(
x + 2 + x)
โ(x โ 2)(x + 1)
= lim xโ 2
x + 2 + x)
โ(x + 1)
n.
lim xโ 3
3 x โ
8 x^2 + 9
x โ 3
lim xโ 3
3 x โ
8 x^2 + 9
x โ 3
= lim xโ 3
3 x โ
8 x^2 + 9
x โ 3
3 x +
8 x^2 + 9
3 x +
8 x^2 + 9
= lim xโ 3
(3x)^2 โ (
8 x^2 + 9)^2
(x โ 3)(3x +
8 x^2 + 9)
= lim xโ 3
9 x
2 โ (8x
2
(x โ 3)(3x +
8 x^2 + 9)
= lim xโ 3
x^2 โ 9
(x โ 3)(3x +
8 x^2 + 9)
= lim xโ 3
(x โ 3)(x + 3)
(x โ 3)(3x +
8 x^2 + 9)
= lim xโ 3
x + 3
3 x +
8 x^2 + 9)
8(3)^2 + 9
o.
lim xโ 1
x โ 1
5
x โ 5
lim xโ 1
x โ 1
5
x โ 5
= lim xโ 1
x โ 1
5
x โ 5
x + 5
5
x + 5
= lim xโ 1
(x โ 1)(
x + 5)
(
x)^2 โ 52
= lim xโ 1
(x โ 1)(5)(
x + 1)
25 x โ 25
= lim xโ 1
5(x โ 1)(
x + 1)
25(x โ 1)
= lim xโ 1
x + 1
5
p.
lim xโ 0
x + 25 โ 5
x
lim xโ 0
x + 25 โ 5
x
= lim xโ 0
x + 25 โ 5
x
x + 25 + 5 โ x + 25 + 5
= lim xโ 0
x + 25)^2 โ 52
x(
x + 25 + 5)
= lim xโ 0
(x + 25) โ 25
x(
x + 25 + 5)
= lim xโ 0
x
x(
x + 25 + 5)
= lim xโ 0
x + 25 + 5
q.
lim xโโ 1 +
x + 1 โ x + 1
lim xโโ 1 +
x + 1 โ x + 1
= lim xโโ 1 +
x + 1)
2 โ x + 1
= lim xโโ 1 +
x + 1 =
