Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação
Universidade de São Paulo
Introdução à Teoria das Probabilidades
Professor: Francisco A. Rodrigues
Prova final
Questão 1 (1 ponto) Um jogador tem duas moedas no seu bolso, sendo uma justa e uma com duas caras.
a) Ele seleciona uma moeda de forma aleatória, lança a moeda e sai cara. Qual é a probabilidade da moeda ser
justa?
b) Ele lança a mesma moeda novamente e sai cara. Qual é a probabilidade da moeda ser justa?
c) Ele lança a mesma moeda pela terceira vez e sai coroa. Qual é a probabilidade da moeda ser justa?
Questão 2 (1 ponto) Se a variável aleatória Kfor uniformemente distribuída em [0,5], qual será a probabilidade
de que as raízes da equação 8x2+8xK +2K+4=0 sejam reais?
Questão 3 (1 ponto) Dois dados são lançados independentemente. Seja Xa variável aleatória que representa a
soma das faces dos dados. Qual é a probabilidade de que a soma igual a 9 apareça antes da soma igual a 8?
Questão 4 (1 ponto) Um médico especializado em gestação afirma que a duração do tempo gestacional humano
(em dias) é normalmente distribuído com média 270 e variância 100. Em uma audiência em um tribunal, o acusado
de ser o pai de uma criança afirma que ele estava fora do país por um período que começou 290 dias antes do
nascimento e terminou 240 dias antes do nascimento. Qual é a probabilidade de que o acusado seja o pai?
Questão 5 (1 ponto) Uma moeda de dez centavos é lançada repetidamente até que uma cara aparece. Seja No
número de tentativas até que a primeira cara ocorra. Então, uma moeda de 5 centavos é lançada Nvezes. Seja Xo
número de vezes que a moeda de cinco centavos sai como coroa. Determine P(X=0)eP(X=1).
Questão 6 (1 ponto) Suponha que p=30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhemos uma
amostra de n=10 estudantes e calculamos a proporção de mulheres na amostra, representada por ˆp. Qual é a
probabilidade de que ˆpdifira de pem menos de 0,01?
Questão 7 (1 ponto) Seja X∼Bin(m,p)eY∼Bin(n,p). Determine a função geratriz de momentos de
Z=X+Y.
Questão 8 (1 ponto) Em um jogo, dois dados são lançados e a soma de suas faces superiores são observadas.
Se a soma resulta nos valores 2, 3 ou 12, o jogador perde imediatamente. Se a soma é 7 ou 11, o jogador vence.
Por outro lado, se a soma é 4, 5, 6, 8, 9 ou 10, então outro lançamento é necessário. No caso da soma ser igual 4,
por exemplo, o dado é lançado até que a soma igual a 4 reapareça ou até que a soma igual a 7 seja observada. Se
a soma igual a 4 aparece primeiro, o jogador vence. Se aparece a 7, ele perde. Considerando essa regra, qual é a
probabilidade do jogador vencer?
Questão 9 (1 ponto) Seja X1uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n1ep. Seja X2
uma variável aleatória que também tem distribuição binomial e parâmetros n2ep. Sejam X1eX2independentes.
a) Determine P(X1+X2=z).
b) Calcula a probabilidade condicional de X1dado que X1+X2=m.
Questão 10 (1 ponto) Sejam X1eX2variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial com
médias 1/λ1e 1/λ2, respectivamente. Mostre que:
P(X1<X2) = λ1
λ1+λ2
.
ATENÇÃO: Respostas sem os devidos desenvolvimentos não serão consideradas. Enuncie claramente os
eventos, as variáveis aleatórias e os passos das soluções.
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