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PL : modélisation
Exercice 1. La cafétéria
Pour faire fonctionner une cafétéria, le gérant doit assurer des permanences sur la base des
statistiques sur le personnel requis résumé dans la table ci-dessous :
Jour Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche
Nombre 14 13 15 16 19 18 11
Calculer le nombre minimal d’employés à embaucher tout en sachant qu’un employé travaille
5 jours d’affilée et puis il a deux jours de repos.
Solution :
Xi donne le nombre d’employé commençant a travailler le jour i.
Min \sum(xi)
s.c. xi + x(i-1) + x(i-2) + x(i-3) + x(i-4) >= Ni;
xi >= 0;
solution : f.obj.=
Exercice 2. Chargement d’un haut-fourneau
Une fonderie reçoit une commande précise de 1000 tonnes d’acier. Cet acier doit répondre
aux caractéristiques suivantes : il doit contenir au moins 0.45 % manganèse (Mn) tandis que
son pourcentage en silicium (SI) doit se situer entre 3.25 et 5. Pour couler cet acier, la
fonderie dispose en quantités limitées de trois types de minerais : A, B et C. En voici les
teneurs en Si et Mn :
A B C
Si 4 % 1 % 0.6 %
Mn 0.45 % 0.5 % 0.4 %
Le procédé de production d’acier est tel qu’une adition directe de Mn est envisageable. Ce
Manganèse est disponible au prix de 8 millions d’euros (ME) la tonne. Quant aux minerais, ils
coûtent respectivement 21 ME les milles tonnes pour le type A, 25 ME pour B et 15 ME pour
C. Si la fonderie envisage de vendre l’acier produit de 0,45ME la tonne, comment doit-elle
fabriquer les 1000 tonnes demandées de manière à maximiser son profit, sachant que le coût
de fonte d’une tonne de minerais est de 0,005 ME?
Solution :
Variables de décisions : A, B, C, M (en milliers de tonnes);
Maximiser le profit est équivalent à minimiser le coût.
Coût = 21A + 25B + 15C + 81000 M + (A+B+C)1000*0.
Contraintes :
1) A 0.45 + B0.5 + C0,4 + M*100 >= 0,45 ;
2) A4 + B1 + C0.6 >= 3.
3) A4 + B1 + C0.6 <= 5
4) A+B+C + M =1 ;
5) A, B, C, M >= 0;
Exercice 3. Modélisation
Une entreprise suisse fabrique trois modèles de TV A, B et C qui lui rapportent des profits de
160, 300 et 400 francs. Les niveaux minima de production pour une semaine sont 100 pour
A, 150 pour B et 75 pour C. Chaque douzaine de TV de type i requiert un temps Fi pour la
Fabrication, un temps Ai pour l’Assemblage et un temps Ei pour l’Emballage.
A B C
Fi 3 3,5 5
Ai 4 5 8
Ei 1 2,3 3
Pendant la semaine à venir, l’entreprise aura 150 heures disponibles pour la fabrication, 200
pour l’assemblage et 60 pour l’emballage. Formuler un modèle (PL ou PLNE ?) donnant un
plan de production qui maximise le profit de la compagnie.
Solution :
Variables de décisions : A, B, C.
Max 160A + 300B + 400C
s.c.
1) 3A + 3.5B + 5C <= 150*
2) 4A + 5B + 8C <= 200*
A + 2.3b + 3C <= 60*
Solution : f;obj.=
Exercice 4. Sauvegarde de fichiers.
Avant de partir en vacances vous souhaitez faire des sauvegardes sur disquette de fichiers
importants. Vous avez à votre disposition trois disquettes vierges de capacités 1,4 Mo. Voici
la taille des seize fichiers que vous souhaitez sauvegarder : 26 Ko, 35 Ko, 52 Ko, 77 Ko, 88
Ko, 94 Ko, 137 Ko, 164 Ko, 253 Ko, 364 Ko, 372 Ko, 388 Ko, 406 Ko, 432 Ko, 461 Ko, 851
Ko. En supposant qu vous ne disposez pas de programmes permettant de compresser les
données et que le nombre de disquettes dont vous disposez est suffisant pour tout sauvegarder,
comment repartir ces fichiers sur les disquettes de façon à minimiser le nombre de disquettes
utilisées.
Pb de multisac à dos.
xij = 1 si fichier est stocké dans j et 0 sinon.
yjsi disquette j est utilisée.
f.obj : min \sum yj
s.c. : \sum_i xij*fi <= yj * D
\sum_j xij = 1 ;
xij \in {0,1}.
Ou sinon :
s.c. : \sum_i xij*fi <= D
\sum_j xij = 1 ;
xij <= yj pour tout i et j;
xij \in {0,1}.
Exercice 5. Surveillance des rues par des caméras.
Besoins 5 15 15 10
Question1. Donner la formulation PL du problème.
Solution :
Minimiser 10 x 1,
+ 20x 1,
+11x 1,
+ 12x 2 ,
+ 7 x 2,
+ 9x 2,
+20x 2,
+ 14x 3 ,
+ 16x 3,
+18x 3,
Sous les contraintes :
x1,1 + x 2 ,1 + x3,1 5;
x 1,
+ x 2 ,
+ x 3,
15;
x 1,
+ x 2 ,
+ x 3,
15;
x 1,
+ x 2 ,
+ x 3,
10;
x 1,
+ x 1,
+ x 1,
+ x 1,
15;
x 2,
+ x 2,
+ x 2,
+ x 2,
25;
x 3,
+ x 3,
+ x 3,
+ x 3,
5;
x i,j
0;
Exercice 9. Le loueur de voitures
Le loueur de voitures a deux garages avec respectivement 12 et 8 voitures, et trois agences de
location qui demande respectivement 8, 7 et 5 voitures. Les coûts d’acheminement sont
donnés dans le tableau ci-dessous. Le but est d’acheminer les voitures à coût minimal.
Garages Agences 1 2 3 Voitures
Besoins 8 7 5
Question 1. Formulez ce problème comme un programme linéaire.
Méthode de résolution :
Minimiser 3 x 1,
+ 5x 1,
+3x 1,
+ 2x 2 ,
+ 7 x 2,
+ x 2,
Sous les contraintes :
x 1,
+ x 2 ,
= 8;
x 1,
+ x 2 ,
= 7;
x 1,
+ x 2 ,
= 5;
x 1,
+ x 1,
+ x 1,
= 12;
x 2,
+ x 2,
+ x 2,
= 8;
x i,j
0;
Problème. Chargement équilibré.
N wagons de SNCF de charge utile limitée à un poids P sont réservés pour transporter m
caisses. Les caisses, 1,2, .., m et leur poids p 1
, p
2
, .., p
m
sont connus. Il est admis que le poids
total des caisses ne dépasse pas la capacité totale N*P.
- Comment affecter les caisses aux wagons de façon à respecter les charges utiles
maximales et à minimiser la charge du wagon le plus chargé. Modéliser le problème
comme un programme linéaire.
- Etudier le cas de deux wagons. Faire le rapprochement avec le problème de sac à dos
(voir ci-dessous). Donner ensuite une formulation en programmation linéaire plus
simple que celle donnée en 1).
Note. Définition du problème de sac à dos.
Donnée : Un ensemble fini X et un nombre BZ
. Pour tout x i
X, on a un poids p(x i
) et une
valeur v(x i
Question : Trouver X’ X tel que
xiX’
p(x i
) B et
xiX’
v(x i
) soit maximal.
Solution :
Min p min
s.c. :
(a) Pi <= P ; pour tout wagon ; (Pi donne le poids chargé du wagon i).
(b) Pi <= pmin ;
Les contraintes (a) peuvent être remplacées par p min
<= P.
- Il suffit de :
Max P
S.c. :
2*P1 <= Somme des poids des caisses ;
Exercice. Un problème de transport.
Une compagnie italienne de transport doit envoyer de ses 6 dépôts (Verona, Perugia, Rome Pescara,
Taranto, Lamezia) des containeurs vides en destination des ports (Genoa, Venice, Ancona, Naples,
Bari). Le nombre de containeurs disponibles dans les dépôts est donné dans le tableau suivant :
Nr. de containeurs
Verona 10
Perugia 12
Rome 20
Pescara 24
Taranto 18
Lamezia 40
Les besoins en containeurs dans les ports sont résumés ci-dessous :
Besoins en containeurs
Genoa 20
Venice 14
Ancona 26
Naples 32
Bari 22
