Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
modelling SIR probability and discrete
Typology: Essays (high school)
1 / 20
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mandiri pada Mata Kuliah Pemodelan Matematika
yang Diampu oleh Ibu Dr. Hanna Arini Parhusip
Disusun Oleh
Covid-19 merupakan sebuah wabah penyakit yang terjadi di seluruh dunia,
salah satunya di Indonesia. Wabah penyakit ini atau biasa disebut pandemi telah
terjadi kurang lebih selama 2 tahun yang dihitung sejak awal tahun 2020 sampai
sekarang ini. Hal ini mengakibatnya banyaknya para peneliti yang melakukan
penelitian terhadap covid-19 menggunakan berbagai macam pemodelan. Provinsi
Jawa Tengah merupakan salah satu daerah yang ada di Indonesai yang memiliki
catatan kasus covid-19 tertinggi saat ini. Oleh karena itu, kasus di Provinsi Jawa
Tengah dapat dijadikan sebagai suatu sampel data yang dapat disajikan sebagai
objek/sasaran penelitian. Penelitian ini menggunakan sebuah pemodelan yang
dinamakan model kontinu. Model kontinu seing disebut sebagai model eksponensial.
2.1 Data yang digunakan
Pada penelitian ini data yang digunakan adalah data kasus covid-19 di
Jawa Tengah yang diambil pada bulan Januari-November tahun 2021. Data
kasus covid-19 ini meliputi data pasien yang terkonfirmasi positif, sembuh,
meninggal, dan tervaksin (dosis lengkap). Data yang diambil adalah sebagai
berikut dengan menampilkan sebuuah grafik data untuk masing-masing kasus
yang diberikan:
Januari
Februari
Maret
April
Mei Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
Gambar 1. Grafik data penduduk di Jawa Tengah yang terkonfirmasi positif Covid-19 pada bulan
Januari-November 2021
Januari
Februari
Maret
April
Mei Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
0
2000000
4000000
6000000
8000000
10000000
12000000
14000000
Gambar 4. Grafik data penduduk di Jawa Tengah yang memperoleh vaksin (dosis lengkap) terhadap
virus Covid-19 pada bulan Januari-November 2021.
2.2 Pemodelan Awal
Agar dapat menunjukkan sebuah laju untuk waktu per bulan dari
masing-masing situasi maka diperlukan sebuah pendefinisan untuk masing-
masing variabel bebas dan tak bebas yang didefinisikan sebagai berikut:
t : variabel waktu (bulan)
x ( t ) : banyaknya pasien terkonfirmasi positif pada bulan ke- t
y ( t ) :banyaknya pasien yang sembuh pada bulan ke- t
z ( t ) :banyaknya pasien yang meninggal pada waktu ke- t
v ( t ) :banyaknya pasien yang divaksin pada waktu ke- t
2.2.1 Pemodelan dengan Model Kontinu
Kasus 1. Model untuk x ( t )
Data yang digunakan adalah data yang tercatat yang merupakan data
kumulatif (data yang diambil dari total perbulan suatu sampel termasuk
dari bulan-bulan sebelumnya) sehingga data perlu dinyatakan dalam laju
pertumbuhan per bulan. Agar dapat mencermati laju pertumbuhan dari tiap
variable diperlukan perhitungan selisih antara dua bulan berurutan yang
disajikan pada Tabel pada data lampiran, sebagai berikut:
N Bulan ∆x
∆y ∆z ∆v
o Positif Sembuh Meninggal Vaksin
(Februari-Januari) 37657 20962 1388 131027
2 (Maret-Februari) 17408 25657 1143 247440
3 (April-Maret) 15266 38303 683 538215
4 (Mei-April) 12487 18888 1188 360352
(Juni-Mei) 41159 17091 1039 357999
6 (Juli-Juni) 99572 64363 5448 716875
7 (Agustus-Juli) 127127 146802 12050 1526115
8 (September-Agustus) 18533 42076 2069 1565135
(Oktober-September) 4402 5569 293 3331164
10 (November-Oktober) 1773 2451 130 4140815
Tabel 1. Laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel yaitu laju
terkonfirmasi positif, sembuh, meninggal dan tervaksin terhadap Covid-19 pada
bulan Januari-November 2021
Sebelumnya, akan dicari model diskrit terlebih dahulu. Akan
diasumsikan bahwa laju pertumbuhan dari kasus terkonfirmasi positif
covid-19 (dari data/grafik tidak konstan) berkaitan dengan jumlah kasus
tervaksin, tetapi tidak terkait dengan kasus sembuh dan meninggal. Akan
tetapi terjadi sebaliknya pada kasus sembuh dan meninggal yang berkaitan
dengan kasus terkonfirmasi positi dan kasus tervaksin.
Misalkan,
k
v ( t )
laju pertumbuhan kasus terkonfirmasi positif
berkaitan dengan banyaknya/jumlah penduduk tervaksin pada waktu( t ).
Oleh karena itu, laju pertumbuhan kasus data penduduk terkonfirmasi
covid-19 pada rentang waktu yang diambil setiap tanggal 21 pada bulan
Januari-November 2021 di Provinsi Jawa Tengah dapat ditulis sebagai
berikut:
x ( t + ∆ t )− x ( t )
∆ t
∆ x
∆ t
= k
v ( t )
x ( t )
Pada suatu sisi, banyaknya penduduk yang tervaksin sebanding dengan
banyaknya pasien yang terkonfirmasi positif (tetapi yang tervaksin disini
bukan penduduk yang terkonfirmasi positif, tetapi yang belum
terkonfirmasi positif). Hal ini mengakibatkan terjadinya suatu hubungan
yaitu kasus yang tervaksin pada waktu
( t )= α ∆ x , sehingga
v ( t + ∆ t )= v ( t )+ α ∆ x (2. a )
atau
v ( t + ∆ t )− v ( t )= α ∆ x , dengan α belum diketahui (2. b )
pula sebuah model SEIR yang merupakan turunan atau penjabaran dari model
SIR. Model SEIR ini memiliki empat parameter, yaitu S (Susceptible) atau
rentan,
(Exposed) atau terpapar,
(Infectious) atau terinfeksi, dan
(Removed) atau sembuh. Pada model ini terdapat
0
sebagai parameter
ambang batas yang digunakan untuk prediksi kemampuan terinfeksi
menyebar. Sebelum dibuatkan sebuah model akan diasumsikan terlebih dahulu
hal yang berkaitan dengan spesifikasi perhitungan parameter menggunakan
model SIR yaitu sebagai berikut:
tahun 2021.
Jawa Tengah.
yang berkontak dekat dengan penduduk terinfeksi lainnya.
dua lengkap atau dosis lengkap.
terinfeksi.
akan terinfeksi kembali.
Dari asumsi tersebut dapat dibuat perhitungan parameter dengan
model penyebaran penyakit sebagai berikut:
Berdasarkan diagram diatas diperoleh model epidemik dimana
berdasarkan asumsi dapatkan model sebagai berikut:
dS
dt
dI
dt
dR
dt
diperoleh persamaan model SIR nya yaitu
dS
dt
=− βS ( t ) I ( t ) ( 8 )
dI
dt
= βS ( t ) I ( t )− γI ( t ) ( 9 )
β γ
dR
dt
= γI ( t ) ( 10 )
Dengan keterangan dimana
β dan
γ adalah konstanta positif dan parameter
untuk persamaan model SIR sebagai berikut:
S ( t )=¿ banyaknya penduduk yang rentan terserang penyakit atau yang
memiliki antibody lemah pada waktu
t .
I ( t )=¿ banyaknya penduduk yang terinfeksi pada waktu t.
R ( t )=¿ banyaknya penduduk yang dinyatakan sembuh dan tervaksin sehingga
penduduk menjadi memiliki antibody yang kebal terhadap penyakit
pada waktu t
β =¿ laju penularan penyakit.
γ =¿ laju kesembuhan.
Akan dicari titik kestimbangan endemiknya dari persamaan model
banyaknya penduduk yang terinfeksi penyakitpada waktu t , I ( t ), dimana
I ( t ) ≠ 0 , maka didapat
I ( t )= βS ( t ) I ( t )− γI ( t ) ( 11 )
0 = βS ( t ) I ( t )− γI ( t ) (12)
0 = I ( t )
βS ( t ) − γ
γ
β
= S ( t ) ( 14 )
Dari model yang telah terbentuk dapat digunakan menggunakan
sampel data yang telah ada.
3.1 Hasil dari Pemodelan dengan Model Kontinu
Pada bagian 2.2 .1 telah diperoleh model kontinu yang menunjukkan
laju pertumbuhan penduduk Jawa Tengah pada kasus terkonfirmasi postif
covid-19 dan kasus tervaksin. Pada persamaan ( 6 ) dapat ditulis kembali
sebagai berikut:
dv
dt
= α (
k
v ( t )
x ( t ) ) ( 15 )
d x ( t )
dt
= k
v
0
x ( t )
d x ( t )
x ( t )
= k
v
0
dt
∫
d x ( t )
x ( t )
∫
k
v
0
dt
⇔ ln x ( t )= k
v
0
t + C ( 20 )
Dengan C ⇔ x ( t = 0 )= x
0
, maka
⇔ ln x
0
= k
v
0
t
0
⇔ ln x
0
− k
v
0
t
0
Maka persamaan ( 11 ) menjadi
⇔ ln x ( t )= k
v
0
t + C
⇔ ln x ( t )= k
v
0
t +ln x
0
− k
v
0
t
0
⇔ x ( t )= e
k (
v
0
)
t − k (
v
0
)
t
0
0
⇔ x ( t )= e
k (
v
0
) (
t − t
0
)
e
ln x 0
⇔ x ( t )= e
k ( v 0
) ( t − t 0
)
∙ x
0
⇔ x ( t )= x
0
e
k (
v
0
)(
t − t
0
)
Grafik yang dapat dibentuk dari x ( t ) untuk
k
v
0
disebut sebagai
pertumbuhan kasus terkonfirmasi positif covid-19 secara eksponensial,
sedangkan untuk
k
v
0
disebut sebagai penurunan/kemunduran kasus
terkonfirmasi positif covid-19 secara eksponensial. Hal ini dapat ditunjukkan
pada tabel dan grafik perubahan sebagai berikut:
N
o
Bulan
∆x
Positif
1 (Februari-Januari) 37657
(Maret-Februari) 17408
3 (April-Maret) 15266
4 (Mei-April) 12487
5 (Juni-Mei) 41159
(Juli-Juni) 99572
7 (Agustus-Juli) 127127
8 (September-Agustus) 18533
9 (Oktober-September) 4402
(November-Oktober) 1773
Tabel 2. Laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel yaitu laju
perubahan kasus terkonfirmasi positif covid-19 pada bulan Januari-November
2021
(Februari-Januari)
(Maret-Februari)
(April-Maret)
(Mei-April)
(Juni-Mei)
(Juli-Juni)
(Agustus-Juli)
(September-Agustus) (Oktober-September)
(November-Oktober)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
Gambar 5. Laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel yaitu laju
perubahan terkonfirmasi positif c ovid-19 pada bulan Januari-November 2021
Terlihat bahwa terdapat perubahan yang kentara pada grafik kasus
terkonfirmasi positif covid-19 , hal ini dapat dijabarkan sebagai berikut:
perubahan kasus terkonfirmasi positif c ovid-19. Perubahan kenaikan
dimulai dari awal yang konstan kemudian melonjak drastis. Hal ini
dapat terjadi karena tidak adanya pencegahan dini maupun sosialisasi
terhadap penduduk tentang bahaya wabah ini.
drastis, hal ini terjadi karena adanya himbauan kepada penduduk akan
pentingnya pencegahan dini dan berbahayanya wabah ini. Pada
penurunan di kasus terkonfirmasi positif c ovid-19 bergantung/terkait
pada kasus tervaksin yaitu anjuran pencegahan dini kepada penduduk.
Kasus terkonfirmasi positif c ovid-19 juga berkaitan dengan pasien
yang terkonfirmasi positif c ovid-19 dinyatakan telah sembuh, dan
juga pasien yang terkonfirmasi positif c ovid-19 dinyatakan
meninggal. Ketiga kasus tersebut sangat berkaitan era dengan kasus
terkonfirmasi positif c ovid-19 karena dapat menyebahbkan penurunan
yang signifikan, maka dapat dinyatakan dalam bentuk tabel dan
grafik untuk masing-masing perubahan yang terjadi sebagai berikut:
Tabel 4. Laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel yaitu laju
perubahan pada kasus pasien terkonfirmasi positif covid-19 yang sembuh pada
bulan Januari-November 2021
(Februari-Januari)
(Maret-Februari)
(April-Maret)
(Mei-April)
(Juni-Mei)
(Juli-Juni)
(Agustus-Juli)
(September-Agustus) (Oktober-September)
(November-Oktober)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
Gambar 7. Laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel yaitu laju
perubahan pada kasus pasien terkonfirmasi positif c ovid-19 yang sembuh pada
bulan Januari-November 2021
N
o
Bulan
∆z
Meninggal
(Februari-Januari) 1388
2 (Maret-Februari) 1143
3 (April-Maret) 683
4 (Mei-April) 1188
(Juni-Mei) 1039
6 (Juli-Juni) 5448
7 (Agustus-Juli) 12050
8 (September-Agustus) 2069
(Oktober-September) 293
10 (November-Oktober) 130
Tabel 5. Laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel yaitu laju
perubahan pada kasus pasien terkonfirmasi positif covid-19 yang meninggal pada
bulan Januari-November 2021
(Februari-Januari)
(Maret-Februari)
(April-Maret)
(Mei-April)
(Juni-Mei)
(Juli-Juni)
(Agustus-Juli)
(September-Agustus) (Oktober-September)
(November-Oktober)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Gambar 8. Laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel yaitu laju
perubahan pada kasus pasien terkonfirmasi positif c ovid-19 yang meinggal pada
bulan Januari-November 2021
Dari kedua poin yang telah dijelaskan, terlihat bahwa sebuah
perubahan baik itu kenaikan maupun penurunan pasti bergantung pada sebuah
laju, laju tersebut dari persamaan ( 21 ) yaitu
k
v
0
k
v
0
nya adalah:
Misalkan, diketahui bahwa:
Pada sampel data yang diberikan terhitung bahwa waktu yang
dikumpulkan adalah selama ± 11 bulan, maka dapat dibulatkan
menjadi
t − t
0
Untuk
x
o
, maka dapat diketahui pula x ( t ) sesuai tabel
Maka, sesuai dengan persamaan ( 21 ) diperoleh laju pertumbuhannya
k
v
0
x ( t )= x
0
e
k (
v 0 ) (
t − t 0 )
⟺ e
k ( v 0
) ( t − t 0
)
x ( t )
x
0
⟺ k
v
0
ln
x ( t )
x
0
t − t
0
Gambar 9. Grafik laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel
yaitu laju perubahan kenaikan pada kasus terkonfirmasi positif c ovid-19 pada
bulan Januari-November 2021
Terlihat jelas bahwa laju pertumbuhan pada kasus terkonfirmasi positif
covid-19 memiliki laju perubahan pada kenaikan dan penurunan yang konstan
tetapi terdapat beberapa bulan yang terjadi kenaikan dan penurunan yang
terlihat begitu drastis. Dari tabel dan grafik yang telah didapat hal tersebut
dapat digunakan secara analog pada kasus lainnya karena pada dasarnya
semua bergantung/berkaitan dengan kasus terkonfirmasi positif covid-19.
3.2 Hasil dari Pemodelan dengan Model SIR
Pada bagian
telah diperoleh model SIR yaitu sebagai berikut:
dS
dt
=− βS ( t ) I ( t ) ( 8 )
dI
dt
= βS ( t ) I ( t )− γI ( t ) ( 9 )
dR
dt
= γI ( t ) ( 10 )
Diperoleh juga bahwa dimana
I ( t ) ≠ 0 , didapat
γ
β
= S ( t ) ( 14 )
Maka dari peroleh modeltersebut dapat dibuat tabel dan grafik dari
data yang telah dikumpulkan yaitu
β γ
0 0
0,146433 0,
0,134612 0,
0,122987 0,
0,111733 0,
0,125255 0,
0,157892 0,
0,178449 0,
0,162998 0,
0,147611 0,
0,134524 0,
Tabel 7. Laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel yaitu β
adalah laju penularan penyakit dan γ adalah laju kesembuhan pada bulan
Januari-November 2021
Januari
Februari
Maret
April
Mei Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
0
Series1 Series
Gambar 9. Grafik laju pertumbuhan tiap bulan untuk masing-masing variabel
yaitu β adalah laju penularan penyakit dan γ adalah laju kesembuhan pada bulan
Januari-November 2021
Keterangan :
Series 1 adalah
β dan series 2 adalah
γ .
Telah diketahui pula masing-masing laju yaitu β dan γ , maka dapat
dicari banyaknya penduduk yang rentan terhadap penyakit yang ditunjukkan
sebagai berikut:
S ( t )=
γ
β
0
0,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
Tabel 8. Laju banyaknya penduduk yang rentah terhadap penyakit pada bulan
Januari-November 2021
akan semakin meningkat sehingga penduduk yang rentah terhadap penyakit yang
terinfeksi akan semakin menurun/rendah.
Dari penjelasan dapat diambil poin penting yaitu penduduk yang terkonfirmasi
positif covid-19 memiliki keterkaitan antara kasus sembuh, meninggal, dan tervaskin
untuk menentukan laju pertumbuhan apakah penduduk yang terkonfirmasi positif
covid-19 mengalami penaikan dan penurunan. Jadi, kasus pada data ini memiliki
keterkaitan antara kasus lainnya.
Putra, Z. A., & Abidin, S. A. Z. (2020). Application of seir model in covid-19 and the
effect of lockdown on reducing the number of active cases. Indonesian Journal of
Science and Technology , 5 (2), 185–192.
https://doi.org/10.17509/IJOST.V5I2.
Delamater, P. L., Street, E. J., Leslie, T. F., Yang, Y. T., & Jacobsen, K. H. (2019).
Complexity of the basic reproduction number (R0). Emerging Infectious
Diseases , 25 (1), 1–4. https://doi.org/10.3201/eid2501.
Sari, S. P., & Arfi, E. (2021). Analisis Dinamik Model SIR Pada Kasus Penyebaran
Penyakit Corona Virus Disease-19 (COVID-19). Indonesian Journal of Applied
Mathematics , 1 (2), 61. https://doi.org/10.35472/indojam.v1i2.
Trihandaru, S., Parhusip, H. A., Susanto, B., & Sardjono, Y. (2021). Simple Forward
Finite Difference for Computing Reproduction Number of COVID-19 in
Indonesia During the New Normal. JTAM (Jurnal Teori Dan Aplikasi
Matematika) , 5 (1), 88. https://doi.org/10.31764/jtam.v5i1.
Data yang digunakan adalah data kasus covid-19 di Jawa Tengah yang diambil
pada bulan Januari-November tahun 2021. Data kasus covid-19 ini meliputi data
pasien yang terkonfirmasi positif, sembuh, meninggal, dan tervaksin (dosis lengkap).
Data yang diambil adalah sebagai berikut:
No Bulan
Kasus
Positif Sembuh Meninggal Tervaksin
1 Januari 110.670 72.299 4.766 30
2 Februari
148.327 93.261 6.154 131.
3 Maret
165.735 118.918 7.297 378.
4 April 181.001 157.221 7.980 916.
5 Mei
193.488 176.109 9.168 1.277.
6 Juni 234.647 193.200 10.207 1.635.
7 Juli
334.219 257.563 15.655 2.351.
8 Agustus
461.346 404.365 27.705 3.878.
9 September 479.879 446.441 29.774 5.443.
10 Oktober
484.281 452.010 30.067 8.774.
11 November 486.054 454.461 30.197 12.915.
