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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de MatemĀ“atica y C.C. MatemĀ“atica I para AdministraciĀ“on PĀ“ublica Primer Semestre 2015
Profesores: Valeska AlarcĀ“on - Juan Aravena
Sumatorias
Ejercicios Resueltos
- Exprese las siguientes sumas usando la notaciĀ“on de sumatorias y calcule su resultado a) 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12
SoluciĀ“on: Podemos expresar esta suma, notando que los tĀ“erminos estĀ“an ordena- dos de manera creciente y corresponden a la suma desde 3 hasta 12 de manera sucesiva. Escribimos entonces
3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 =
ā^12
i=
i
O equivalentemente, y usando la propiedad de sumatorias^ Ā“
ā^10
i=
(i + 2)
Desarrollando la Ā“ultima expresiĀ“on, tenemos que ā^10
i=
(i + 2) =
ā^10
i=
i +
ā^10
i=
ObservaciĀ“on (Importante). Note que aplicamos las fĀ“ormulas de āsumas espe- cialesā sĀ“olo cuando el contador de la sumatoria comienza en 1.
b) 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 ā 5 ā 6 ā 7 ā 8 ā 9 ā 10 ā 11 ā 12 ā 13 ā 14
SoluciĀ“on: Observemos primero que la expresiĀ“on es equivalente a la suma siguien- te
12 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 ā (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14)
es decir, podemos separarla en dos sumatorias; una que corresponde a la suma de los cuadrados de los primeros 7 nĀ“umeros consecutivos y otra correspondiente a la suma desde 5 a 14. AsĀ“ı, tenemos que
12 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 +
ā (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14) =
ā^7
i=
i^2 ā
ā^14
i=
i
Tenemos entonces que, las sumatorias son ā^7
i=
i^2 ā
ā^14
i=
i =
ā^7
i=
i^2 ā
ā^10
i=
(i + 4)
ā^7
i=
i^2 ā
ā^10
i=
i ā
ā^10
i=
c) 6 + 13 + 20 + 27 + 34 + 41
SoluciĀ“on: Observemos que, la diferencia entre tĀ“erminos consecutivos es siempre igual a 7. Notamos tambiĀ“en que el primer tĀ“ermino, llamĀ“emoslo a 1 , es
a 1 = 6 = 7 ā 1 = 7 Ā· 1 ā 1.
El segundo tĀ“ermino, llamĀ“emoslo a 2 , es
a 2 = 13 = 14 ā 1 = 7 Ā· 2 ā 1.
El tercero es a 3 = 20 = 21 ā 1 = 7 Ā· 3 ā 1 , y asĀ“ı sucesivamente. Podemos entonces generalizar la expresiĀ“on buscando el i-Ā“esimo tĀ“ermino de la
b)
ā^3
i=
(ki +
8 ā ki)
SoluciĀ“on: En este caso, tenemos que ā^3
i=
(ki +
8 ā ki) =
ā^3
i=
ki +
ā^3
i=
8 ā ki
= (k 2 + k 3 ) +
8 ā k 2 +
8 ā k 3
luego reemplazando tenemos que ā^3
i=
(ki +
8 ā ki) = (k 2 + k 3 ) +
8 ā k 2 +
8 ā k 3
c)
ā^3
i=
(ki ā k^2 i )
SoluciĀ“on: Simplemente reemplazamos los tĀ“erminos y tenemos que ā^3
i=
(ki ā k^2 i ) = (k 2 ā k 22 ) + (k 3 ā k^23 )
= (ā 1 ā (ā1)^2 ) + (5 ā 52 ) = ā 22.
d )
ā^2
i=
(2 + ki)
SoluciĀ“on: Notemos que ā^2
i=
(2 + ki) =
ā^2
i=
ā^2
i=
ki
luego reemplazando, tenemos que ā^2
i=
(2 + ki) =
ā^2
i=
ā^2
i=
ki
= 2 Ā· 2 + k 1 + k 2 = 2 Ā· 2 + 2 + ā 1 = 5.
- Determine el valor de x si se sabe que
ā^6
k=
xk = 630
SoluciĀ“on: Siendo x la incĀ“ognita, que no depende del contador k podemos escribir la sumatoria (^6) ā
k=
xk = x Ā·
ā^6
k=
k
donde sabemos que
x Ā·
ā^6
k=
k = x Ā·
[
]
= 21 x
AsĀ“ı, tenemos que (^) ( ā^6
k=
xk = 630
āā (21x = 630)
de donde obtenemos el valor buscado simplemente dividiendo entre 21
x = 30.
Reescribamos entonces la expresiĀ“on original ai = i^2 ā 3: ā^ k+
i=k
ai =
ā^ k+
i=
ai ā
ā^ kā^1
i=
ai
[k+ ā
i=
i^2 ā 3
]
[kā 1 ā
i=
i^2 ā 3
]
[k+ ā
i=
i^2 ā 3 Ā·
ā^ k+
i=
]
[kā 1 ā
i=
i^2 ā 3 Ā·
ā^ kā^1
i=
]
[
(k + 4)(k + 4 + 1)(2(k + 4) + 1) 6 ā 3(k + 4)
]
[
(k ā 1)(k ā 1 + 1)(2(k ā 1) + 1) 6 ā 3(k ā 1)
]
= 5 k^2 + 20k + 15. ObservaciĀ“on (Otra manera de abordar el problema). Notemos que ā^ k+
i=k
(i^2 ā 3) = (k^2 ā 3) + ((k + 1)^2 ā 3) + ((k + 2)^2 ā 3) + ((k + 3)^2 ā 3) + ((k + 4)^2 ā 3)
= 5 k^2 + 20k + 15.
- Si ai = i^2 , calcule el valor de
i=
(ai + 3)
SoluciĀ“on: Notemos primero que la sumatoria, sin el cuadrado, es equivalente a ā^4
i=
(ai + 3) =
ā^4
i=
ai + 3 Ā·
ā^4
i=
ā^4
i=
i^2 + 3 Ā· 4
Luego, ( (^4) ā
i=
(ai + 3)
= (42)^2
- Si, para todo m ā N,
ā^ m
i=
ai = 2m^2 + 3, calcule el valor de
ā^2 n
i=n+
ai
SoluciĀ“on: Escribamos la sumatoria, como ya hicimos con algunos ejercicios anteriores: ā^2 n
i=n+
ai = an+1 + an+2 + ... + a 2 nā 1 + a 2 n
= a 1 + a 2 + ... + an + an+1 + an+2 + ... + a 2 nā 1 + a 2 n ā (a 1 + a 2 + ... + an)
=
ā^2 n
i=
ai ā
ā^ n
i=
ai
Usamos ahora el resultado dado que para todo m,
ā^ m
i=
ai = 2m^2 + 3, con m= 2n y con m= n, en donde ā^2 n
i=n+
ai =
ā^2 n
i=
ai ā
ā^ n
i=
ai
= 2(2n)^2 + 3 ā
2 n^2 + 3
= 6 n^2.
- Usando la propiedad telescĀ“opica, muestre que
ā^ n
k=
k(k + 1)
n n + 1
SoluciĀ“on: Observemos que el tĀ“ermino general de la sumatoria
k(k + 1)
, lo podemos descomponer usando fracciones parciales, esto es, buscamos constantes A y B tales, que 1 k(k + 1)
A
k
B
k + 1
A(k + 1) + Bk k(k + 1)
k(A + B) + A k(k + 1)
de donde necesitamos que A + B = 0 y A = 1, luego B = ā1. Por lo tanto podemos escribir el tĀ“ermino general como 1 k(k + 1)
k
k + 1
