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EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
Estabilidad seg´un Lyapunov (1) Un buen modelo de un ni˜no impulsandose en un columpio es:
x˙ 1 = x 2 , x ˙ 2 = −x 2 − (2 + sen t)x 1
La energia total se toma como candidate para la funci´on Lyapunov, asi:
v(x, t) = x^21 + x^22 2 + sen t
que es una funci´on definida positiva dado que:
x^21 + x^22 > x^21 +
x^22 2 + sen t
x^21 +
x^22 3
Adicionalmente, derivando con respecto al tiempo se tiene:
v˙(x, t) = −
x^22 (4 + 2 sen t + cos t) (2 + sen t)^2
Luego el punto de equilibrio en el origen es estable. Sin embargo no podemos concluir que es asint´oticamente estable.
Estabilidad seg´un Lyapunov (2) Sistema con ciclo limite Considerar el sistema:
x˙ 1 = −x 2 + x 1 (x^21 + x^22 − 1), x ˙ 2 = x 1 + x 2 (x^21 + x^22 − 1).
Una elecci´on de funci´on de Lyapunov es v(x) = x^21 + x^22 que resulta en ˙v(x) = 2(x^21 + x^22 )(x^21 + x^22 − 1), que es una funci´on definida negativa para {x : x^21 + x^22 < 1 }. Entonces, 0 es un equilibrio asint´oticamente estable (sin embargo, no es globalmente, asint´oticamente estable, dado que existe un ciclo limite de radio, como puede ser verificando dibujando el diagrama de plano de fase del sistema).
Estabilidad seg´un Lyapunov (3)
La siguiente ecuaci´on describe el movimiento hacia adelante o hacia atr´as (surge) de un buque de carga:
(m − X (^) v˙ ) ˙v = X(v) + τ,
donde X (^) v˙ es la masa hidrodin´amica, m es la masa seca, X(v) es una funci´on no lineal de la velocidad, y τ representa la entrada de control. Si vd(t) representa la trayectoria deseada, la din´amica del error de seguimiento de trayectoria e(t), con e = v − vd(t), es:
e˙ = ˙v − v˙d =
m − X (^) v˙
(X(v) + τ ) − v˙d. (^) Fig.1 Grados de libertad - movimiento de un buque.
a. Asumiendo que se conoce X(v) y (m − X (^) v˙ , cerrar el lazo de control con la entrada:
τ = −X(v) + (m − X (^) v˙ )( ˙vd − ke), k > 0 ,
y probar que se puede obtener estabilidad asint´otica global para e = 0 en el sentido de Lyapunov. Usar la funci´on de Lyapunov candidata V (e) =
e^2. ⋄
Cerrando el lazo de control con τ = −X(v) + (m − X (^) v˙ )( ˙vd − ke), se tiene:
e˙ = −ke.
Analizando estabilidad en el sentido de Lyapunov, se elige:
V (e) =
e^2 , V > 0.
Luego, calculando V˙ : V˙ (e) = e e˙ = −ke^2 < 0 , se demuestra que el pto de equilibrio e = 0 es asint´oticamente estable globalmente.
b. Sea k = 0,1, resolver para e(t) en la din´amica controlada del error de seguimiento de trayectoria. ¿Qu´e puede decir de v? ⋄ La din´amica controlada del error de seguimiento de trayectoria es:
e˙ = −ke.
Resolviendo para e, se tiene: e(t) = e(to)e−^0 ,1(t−to^ ). Esto significa que v(t) tiende exponencialmente a vd(t).
c. En la pr´actica, se debe incluir la din´amica del actuador:
T τ˙ + τ = τc, T >> 0 ,
donde τc es la entrada comandada a los actuadores y la constante de tiempo T es conocida. Presentar el diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado incluyendo la din´amica del actuador. Detallar las entradas y salidas de cada bloque. ⋄ Aumentando la din´amica del actuador a la din´amica del error de seguimiento de trayectoria, se tiene:
τ˙ =
T
(−τ + τc),
e ˙ =
m − X (^) v˙
(τ + X(v)) − v˙d.
Siendo que τc = −X(v) + (m − X (^) v˙ )( ˙vd − ke), el diagrama de bloques del sistema controlado con din´amica del actuador es mostrado en la Fig. 2.
Fig.2 Sistema controlado incluyendo din´amica del actuador.
Estabilidad seg´un Lyapunov - Propuesto
a. Representar el movimiento rotacional (din´amica/cinem´atica) del sat´elite en la forma espacio de estados. Considerar que el lazo de control ha sido cerrado con:
τ = −αω + do × bo, α ∈ R, α > 0.
b. Calcular el (los) puntos de equilibrio del sistema en lazo cerrado.
b. El ingeniero obtiene m´as informaci´on, y se da cuenta que un modelo m´as realista de la se˜nal a ser estimada es el siguiente (denotado por M 2 en lo que sigue):
x˙ = −αx + w y = x + v , (α > 0),
donde w y v son procesos de ruido blanco como definido anteriormente. Determinar el filtro de Kalman (llamado F 2 ) en base al modelo M 2 , escribir su correspondiente funci´on de transferencia..
c. Antes de implementar el filtro F 2 , el ingeniero quizo observar los resultados que obtendr´ıa con el filtro F 1 aplicado al modelo M 2. Determinar la din´amica del error de estimaci´on, cuyo estado es ˜x = x − ˆx, para este caso.
d. ¿Cu´al es la varianza del error de estimaci´on en el caso anterior, E{[x − ˆx]^2 }?
Control LQG - Propuesto Considere el sistema inestable de segundo orden:
x˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 2 + u + w
con medidas cont´ınuas: y = x 1 + v,
donde w y v son procesos de ruido blanco con varianzas σw y σv , respectivamente, y el ´ındice de desempe˜no es:
J =
0
(qx^21 + ρu^2 )dt,
a. Caso control LQR: en el plano complejo bosqueje los polos del sistema controlado en funci´on de la relaci´on q/ρ. Interprete el gr´afico obtenido.
b. Si q/ρ=1, calcular la ganancia del regulador cuadr´atico lineal.
c. Para σw/σv = 1 la ganancia del estimador (filtro de Kalman) es:
L =
[ √
]
¿Cu´ales son los polos del estimador?
d. Encontrar la funci´on de transferencia correspondiente al compensador LQG. ¿Cu´ales son los polos del compensador?.
Observador de orden reducido y m´as - Propuesto
a. El modelo para movimiento rotacional yaw de un buque de carga (ver Fig.1 Grados de libertad de un buque) est´a dado por: ψ˙ = r, α r˙ = −r^3 + r − c + βu, donde ψ es el ´angulo yaw, r es la tasa de cambio de ψ, u es la entrada de control; α, β son constantes conocidas positivas y diferentes de cero y c > 0. El buque se est´a moviendo en linea recta (ψ, r) = (ψo, 0) cuando el controlador deja de funcionar, u = 0, ¿seguir´a el buque desplazando en l´ınea recta?
b. Si la din´amica linealizada del movimiento yaw est´a dada por:
ψ˙ = r α r˙ − r = βu + rb, r ˙b = 0
donde rb es un bias de sensado constante. Si ψ y r son medidos, calcular el observador de orden reducido que permita estimar el bias rb desconocido. Usar α = β = 1 y ubicar el polo del estimador en s = −5. Escribir el representaci´on espacio de estados del estimador de orden reducido para implementaci´on.
c. Para la din´amica linealizada del caso anterior, calcular el controlador para control de cabeceo para cuando se asume sensado perfecto (no hay bias rb). Ubicar los polos del sistema controlado con ωn = 4 rad/s y ζ = 0,65. Presentar el diagrama de bloques indicando el controlador y el observador de orden reducido (incluir el detalle de entradas, salidas y din´amicas).
