Download Théorie des mécanismes and more Assignments Mechanics in PDF only on Docsity!
s2i.pinault-bigeard.com
CPGE PTSI/PT - Sciences Industrielles de l'Ingénieur PT
Théorie des mécanismes Cours
Rappels de PTSI v2.
Lycée Jean Zay 21 rue Jean Zay - 63300 Thiers - Académie de Clermont-Ferrand
Compétences visées :
B1-01 Identi er les paramètres cinématiques d'entrée et de sortie d'une chaîne cinématique de trans-formation de mouvement.
B2-40 (^) Déterminer la liaison cinématiquement équivalente à une association de liaisons. B2-41 Déterminer les mobilités d'un mécanisme. B2-42 (^) Déterminer le degré d'hyperstaticité d'un mécanisme. B2-43 Identi er les conséquences géométriques de l'hyperstaticité. E2-02 (^) Choisir et justi er la solution technique.
s2i.pinault-bigeard.com
- 1 Introduction Sommaire
- 2 Rappels
- 2.1 Les diérents types de schémas
- 2.2 Chaînes de solides
- 2.3 Liaison équivalente
- 3 Modélisation et structure d'une chaine fermée de solide
- 3.1 Objectif
- 3.2 Le nombre cyclomatique γ
- 4 Approche cinématique de la théorie des mécanismes
- 4.1 Nombre d'équations cinématiques Ec
- 4.2 Nombre d'inconnues cinématiques de liaisons Ic
- 4.3 Mobilité d'un mécanisme m
- 4.4 Degré d'hyperstatisme h
- 5 Approche statique de la théorie des mécanismes
- 5.1 Nombre d'équations statiques Es
- 5.2 Nombre d'inconnues statiques de liaisons Is
- 5.3 Degré d'hyperstatisme h
- 5.4 Mobilité d'un mécanisme m
- 6 Rendre le mécanisme isostatique ou non?
- 6.1 Construire hyperstatique
- 6.2 Rendre l'assemblage isostatique
- 7 Ce qu'il faut (au minimum) retenir
- 7.1 Récapitulatif
- 7.2 Quelle approche privilégier?
s2i.pinault-bigeard.com
2.2 Chaînes de solides
2.2.1 Chaîne ouverte
Une chaîne de solides S 1 , S 2 , S 3 ,.. ., Sn est dite ouverte si les solides placés à l'extrémité sont diérents. S 1 → S 2 → S 3 →...... → Sn
Exemple: Robot Ericc 3
Poignet 4
Main 5
Avant-bras 3
Bras 2
Épaule 1
Socle 0
L 0 / 1
L 1 / 2
L 2 / 3
L 3 / 4
L 4 / 5
2.2.2 Chaîne fermée
Une chaîne de solides S 1 , S 2 , S 3 ,.. ., Sn est dite fermée si le solide initial est le même que le solide nal. S 1 → S 2 → S 3 →...... → Sn → S 1
Exemple: Bras Maxpid
L 0 / 1
L 1 / 2 L 2 / 3
L 3 / 4
L 4 / 0
s2i.pinault-bigeard.com
2.2.3 Chaîne complexe
Une chaîne de solides S 1 , S 2 , S 3 ,.. ., Sn est dite complexe si elle comporte plusieurs chaînes ouvertes ou fermées.
Exemple: Plateforme Stewart
Plateau 1
Vérin i
Socle 0
v 1
vi
v 6
L 0 /v 1
L 0 /vi
L 0 /v 6
L 1 /v 1
L 1 /vi
L 1 /v 6
2.3 Liaison équivalente
2.3.1 Liaison en série
On dira que plusieurs solides sont en liaison série si la chaîne de solides est de la forme :
n
Considérons par exemple une chaîne de trois solides S 1 , S 2 et S 3 en liaison série avec des eorts extérieurs uniquement sur S 1
Approche cinématique
On note
V 2 / 1
et
V 3 / 2
les torseurs cinématiques respectifs de S 2 par rapport à S 1 et de S 3 par rapport à S 2.
On peut alors dé nir un torseur cinématique
V 3 / 1
de la liaison cinématique équivalente entre S 3 et S 1 dé ni par la loi de composition des vitesses :
V 3 / 1
A =^
V 3 / 2
A +^
V 2 / 1
A cinématique équivalente (S 1 ↔ S 2 ↔ S 3 ) ⇔ (S 1 ↔ S 3 )
s2i.pinault-bigeard.com
Approche statique
On applique le principe fondamental de la statique à S 2 :
T (^) Si 1 →S 2
- n liaisons équivalente : {TS 1 →S 2 } + {Text→S 2 } = { 0 }
D'où :
{T 1 → 2 }A =
i
T
Li 1 → 2
A statique équivalente (S 1 S 2 ) ⇔ (S 1 ↔ S 2 )
Pour qu'une composante du torseur {TS 1 →S 2 } soit diérente de zéro, il su t qu'une seule composante de l'un des
T (^) SL 1 i→S 2
soit diérente de zéro (il su t qu'une seule des liaisons puisse transmettre la composante d'action mécanique).
Remarque
3 Modélisation et structure d'une chaine fermée de solide
3.1 Objectif
L'analyse des mécanismes a toujours pour point de départ un modèle du mécanisme à étudier. Les schémas les plus couramment utilisés dans ce domaine sont les graphes de liaisons et les schémas cinématiques. Les résultats de l'analyse dépendent des modèles associés au réel.
Une chaine fermée de solides est composée de liaisons en série qui forment :
- soit une seule boucle (chaine simple) ;
- soit plusieurs boucles (chaine complexe).
Le nombre de chaines dépend directement du schéma cinématique et donc des modèles des liaisons adoptés.
3.2 Le nombre cyclomatique γ
Dans le cas d'une chaine complexe, le nombre de boucles indépendantes, appelé nombre cycloma- tique γ, se calcule simplement en faisant la diérence entre le nombre de liaisons NL et le nombre de pièces NP dans le mécanisme : γ = NL − NP + 1
s2i.pinault-bigeard.com
On peut aussi déterminer γ graphiquement en comptant le nombre de boucles sur le graphe des liaisons. Et c'est souvent beaucoup plus rapide!!
Remarque
4 Approche cinématique de la théorie des mécanismes
La loi de composition de mouvement (fermeture cinématique) appliquée à chacune des γ chaines indépendantes du mécanisme permet d'écrire pour chacune :
∀i,
Vi/i
4.1 Nombre d'équations cinématiques Ec
Il y a donc autant d'équations torsorielles indépendantes que de chaînes fermées indépendantes. On pose Ec le nombre d'équations scalaires issues de ces équations de fermeture cinématique, donné par :
Ec = 6γ
4.2 Nombre d'inconnues cinématiques de liaisons Ic
Ce nombre se détermine en sommant les degrés de liberté de chacune des NL liaisons. Le nombre d'inconnues dépend donc du modèle adopté pour les liaisons.
Ic
=
0 0 · · · 0
Ic colonnes
Ec équations
Soit à résoudre le système de Ec équations obte- nues à Ic inconnues dénombrées. Ce système est un système linéaire homogène, qui peut être écrit sous la forme matricielle ci-contre.
4.3 Mobilité d'un mécanisme m
4.3.1 Signi cation mathématique
La résolution du système d'équations précédent prend en compte son rang, noté Rg[Ec]. Le rang désigne le nombre d'équations indépendantes. C'est également le nombre d'équation signi cative (par exemple une équation 0 = 0 n'est pas signi cative).
On dé nit la mobilité du mécanisme m (entier positif ou nul) :
m = Ic − rg[Ec]
s2i.pinault-bigeard.com
5.1 Nombre d'équations statiques Es
Une étude statique systématique est menée en étudiant le mouvement ou l'équilibre de chacune des pièces du mécanisme.
Le mouvement ou l'équilibre étant nécessairement relatif à une de ces pièces, prise comme référentiel, on dénombre alors NP − 1 solides à étudier. (En général, le -1 correspond au bâti qui est considéré comme un référentiel galiléen et comme solide de référence pour la dynamique ou l'équilibre. On ne peut donc pas l'isoler).
Soit Es le nombre d'équations scalaires obtenues après une étude exhaustive :
Es = 6(NP − 1)
5.2 Nombre d'inconnues statiques de liaisons Is
Soit Is le nombre d'inconnues d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons du mécanisme. Ce nombre se détermine en sommant les nombres de paramètres d'actions mécaniques transmissibles par chacune des NL liaisons. Encore une fois, le nombre d'inconnues statiques de liaison dépend de la nature des modèles adoptés pour les liaisons.
Soit à résoudre le système de Es équations obtenues à Is inconnues dénombrées. Ce système est un système linéaire avec second membre, qui peut être écrit sous la forme matricielle suivante :
Is
=
Is colonnes
Es équations
(1) Composantes d'actions mécaniques extérieures autres que les Is
(2) Composantes dynamiques
(1) : Poids - Couple ou eort, moteur ou résistant - actions mé- caniques externes ou internes dues à des éléments déformables...
(2) : cf. cours de dynamique, égales à 0 en statique.
On constate l'égalité suivante :
Ic − Ec = Es − Is
5.3 Degré d'hyperstatisme h
La résolution du système d'équations précédent prend en compte son rang, noté Rg[ES ] (nombre d'équations signi catives).
- Un mécanisme est dit isostatique si, en l'absence d'actions mécaniques extérieures, toutes les inconnues d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons sont nulles.
- Un mécanisme est dit hyperstatique si, en l'absence d'actions mécaniques extérieures, il existe des inconnues non nulles d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons, dans les faits indé- terminées.
Supposons connu le rang du système et les équations disposées ainsi :
Mathématiquement, on dé nit le degré d'hyperstatisme h par h = Is − rg[Es]. Le nombre dé nissant le degré d'hyperstatisme est un entier naturel, h > 0.
s2i.pinault-bigeard.com
Is
=
Rg[Es]
Is
Es
Mécaniquement, le degré d'hyperstatisme h représente le nombre d'inconnues ne pouvant pas être déterminées à l'aide de la statique ou de la dynamique.
5.4 Mobilité d'un mécanisme m
Soit le nombre m dé ni (mathématiquement, pour la statique) par :
m = Es − rg[Es]
Ce nombre est la mobilité du mécanisme. C'est un entier positif ou nul. Il exprime le nombre d'équations ne servant pas à la résolution (le plus souvent de la forme 0 = 0 pour l'équation homogène associée).
Mécaniquement, en statique et cinématique, la mobilité est dé nie de la même façon.
Finalement, la forme du système d'équation peut être présentée de la manière suivante :
Is
=
Rg[Es]
Is m
h
Es
On a donc les deux relations :
m = Es − rg[Es] et h = Is − rg[Es]
On en tire alors : h = m − Es + Is
Ce résultat est bien identique à celui trouvé par l'approche cinématique (Es − Is = Ic − Ec).
s2i.pinault-bigeard.com
cement géométrique de ce type, il est possible d'annuler les problèmes liés à 2 moments indéterminés du fait de l'hyperstatisme (cf. bras Maxpid).
6.1.3 Contraintes géométriques et dimensionnelles
Contraintes Caractéristique(s) Diminution de h Composante(s) supprimée(s) Entraxe 1 distance 1 1 résultante Parallélisme 2 angles 2 2 moments Coaxialité 2 distances et 2 angles 4 2 résultantes et 2 moments
6.2 Rendre l'assemblage isostatique
Pour rendre le modèle du mécanisme isostatique, il su t d'annuler l'une des inconnues de la ou des familles d'inconnues hyperstatiques (cf. approche statique). Ceci s'eectue en ajoutant un ou plusieurs degrés de liberté à l'une ou l'autre des liaisons de la chaine fermée.
7 Ce qu'il faut (au minimum) retenir
7.1 Récapitulatif
Appr. cinématique Appr. statique
Nombre de pièces d'un mécanisme NP NP Nombre de liaisons NL NL Nombre cyclomatique γ = NL − NP + 1 Nombre d'équations Ec = 6 γ Es = 6 (NP − 1) Nombre d'inconnues de liaisons Ic Is Degré de mobilité d'un mécanisme m = mu + mi m = mu + mi
Degré d'hyperstatisme h = m − Ic + Ec h = m − Es + Is
Pour retenir la formule globale, trouvez-vous un moyen mnémotechnique. Par exemple, Mickey (h = m − Ic + Ec) et Messi (h = m − Es + Is)!!!
Remarque
s2i.pinault-bigeard.com D'après: A.CHABERT, S.GERGADIER, A.MEURDEFROID
Le paramètre m − h est parfois appelé indice de mobilité.
Remarque
7.2 Quelle approche privilégier?
Pour une recherche du degré de mobilité et du degré d'hyperstatisme, l'approche cinéma- tique est souvent plus commode et rapide, et ce pour deux raisons. Les grandeurs manipulées sont observables et mesurables, et le nombre d'équations à manipuler est en général bien inférieur à celui obtenu par l'approche dynamique (statique).
Pour la recherche de l'isostatisme ou des conditions géométrique et dimensionnelle associées à l'hy- perstatisme, une approche statique est à privilégier, ou alors simplement une logique pour l'assemblage (montage) des solides avec des défauts exagérés.
