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Universidade Politécnica
A Politécnica
Escola Superior de Gestão, Ciências e Tecnologia
ESGCT
Departamento de Ciências Tecnológicas e Engenharias (CTE)
Engenharia Informática e de Telecomunicações ( EIT )
Tema: Transformada Discreta de Fourier
Discentes : Dercio de Jesus Saraiva – 476070
Hermmen Tyller C.Mutemba – 492580
Shelsio Mário Marrengula-
Quitéria Saranga J.Nhabinde-
Maura Jennifer F.Espanhol-
António Arsénio Soto-
Docente: Alexandre Lucas Parruque
Maputo, Dezembro de 2020
Índice
- Tema: Transformada Discreta de Fourier..............................................................................................
- Introdução.............................................................................................................................................
- Jean Baptiste Joseph Fourier.................................................................................................................
- Classificação de sinais............................................................................................................................
- “Família” Fourier....................................................................................................................................
- Funções base da DFT.............................................................................................................................
- Propriedades da Transformada de Fourier discreta..............................................................................
- Determinação da Transformada Discreta de Fourier.............................................................................
- Exemplo da resolução de uma Transformada Discreta de Fourier......................................................
- Conclusão............................................................................................................................................
- Bibliografia...........................................................................................................................................
Jean Baptiste Joseph Fourier
Nascimento: 21 de Março de 1768 em Auxerre, Bourgogne, França.
Morte : 16 de Maio de 1830 em Paris, França.
A análise de Fourier é uma família de técnicas matemáticas, todas elas baseadas na
decomposição de sinais em senóides.
A Transformada Discreta de Fourier (Discrete Fourier Transform - DFT) é o membro da
família utilizado para sinais digitalizados.
Classificação de sinais
Os sinais podem ser classificados segundo vários critérios. Por exemplo:
sinais contínuos ou discretos;
sinais periódicos ou aperiódicos.
Estes dois critérios levam aos quatro elementos da família de transformadas de Fourier:
Sinais contínuos e aperiódicos: Transformada de Fourier;
Sinais contínuos e periódicos: Série de Fourier;
Sinais discretos e aperiódicos: Transformada de Fourier de Tempo;
Discreto (DTFT);
Sinais discretos e periódicos: Transformada Discreta de Fourier (DFT).
“Família” Fourier
Transformada de Fourier (aperiódico, contínuo)
Série de Fourier (periódico, contínuo)
Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) (aperiódico, discreto)
Transformada Discreta de Fourier(DFT) (periódico, discreto)
Propriedades da Transformada de Fourier discreta
Linearidade ax 1
n bx 2
n aX 1
e
j bX 2
e
j
Translação no Tempo (^) x n n 0
e
j n 0 X e
j
Translação na Frequência (^) e
j
n
x n
X e
j 0
Inversão Temporal (^) x n X e
j
Convolução (^) x 1
n x 2
n X 1
e
j
X 2
e
j
Determinação da Transformada Discreta de Fourier
Antes de estudar a Transformada Discreta de Fourier é necessário que se fale sobre a Serie de
Fourier.
A Série de Fourier transforma uma função periódica no tempo e a decompõe em soma de
senos e cossenos. Ou seja, é possível chegar até esta função periódica no tempo através do
somatório de senos e cossenos. Então, pela necessidade de se determinar os coeficientes de
frequência de cada uma destas ondas se recorre ao uso da Transformada Discreta de Fourier.
X ( F )=∫
− ∞
∞
e
− j 2 πFt dt
Formula para o cálculo de sinais contínuos
Xk =∑
n = 0
N − 1
Xn∙ e
− j
2 πkn N
Formula para o cálculo de sinais discretos
k
N
⟶ f (^) n ⟶ t
Xn ⟶ amplitudes das amostras
Como em pratica não podemos colher dados amostrais continuamente, teremos um conjunto
de pontos (amostras) ao longo do sinal. Em áudio, por exemplo, o sinal é trabalhado em
amostras.
Exemplo de amostras colectadas
Exemplo da resolução de uma Transformada Discreta de Fourier
Tendo uma onda seno de 1 Hz, amplitude de 1 m, frequência de amostragem de 8 Hz. Sendo
a frequência de amostragem de 8 Hz teremos o número de mostrar N igual a 8.
Tendo já colhido as amostras (os pontos azuis pela onda), tomamos as amplitudes de cada
uma delas.
X
0
= 0 ; X
1
=0,707 ; X
2
= 1 ; X
3
=0,707 ; X
4
= 0 ; X
5
=−0,707 ; X
6
X
7
Usando a Formula de Fourier Discreta calcula-se usando cada uma das amplitudes
substituindo-as em “k”.
Xk =∑
n = 0
N − 1
Xn∙ e
− j
2 πkn N
para X 0
X 0 =∑
n = 0
7
Xn ∙ e
− j
2 π 0 n N
n = 0
N − 1
Xn = x 0 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 0
Então X 0 = 0
para X 1
X 1 =∑
n = 0
7
Xn∙ e
− j
2 πkn N
X
1 = 0 ∙e
− j
2 π 1 ∙ 0 8 +0,707 ∙ e
− j
2 π 1 ∙ 1 8
− j
2 π 1 ∙ 2 8 +0,707 ∙ e
− j
2 π 1 ∙ 3 8
− j
2 π 1 ∙ 4 8 −0,707 ∙ e
− j
2 π 1 ∙ 5 8 − 1 ∙e
− j
2 π 1 ∙ 6 8 −0.707 ∙ e
Usando a formula de Euler
X
1
sin
π
π
sin
π
π
sin
3 π
3 π
sin
5 π
5 π
X
1 =− j 4
Calculando todos os coeficientes teremos
X
0
= 0 ; X
1 = 0 − j 4 ; X 2
= 0 ; X
3
= 0 ; X
4
= 0 ; X
5
= 0 ; X
6
= 0 ; X
7 = 0 + j 4.
Calculando as magnitudes de cada resultado teremos Mag =√ 0
2
2
Representando as num gráfico teremos:
Determinando o ângulo teremos θ =
3 π
. Esta será a sua fase.
Sendo que esta fase corresponde a função de seno teremos uma função igual a função de
seno.
Conclusão
