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TABLE DE TRANSFORMEES DE LAPLACE
F(p) f(t) t > 0
(^1) Impulsion unitaire δ(t) de durée t 0 et d’amplitude 1/t 0
I (^) Impulsion δ(t) de durée t 0 → 0 , d’amplitude A et d’intensité I = A.t 0
e-τp^ Impulsion unitaire retardée δ(t-τ)
p
Echelon unitaire u(t)
E
p
Echelon d’amplitude E.u(t)
p e^
−τ.p Echelon unitaire retardé^ u(t-τ)
p 1 −^ e^ −τ.p^
Impulsion rectangulaire u(t) - u(t-τ)
p +a
e- at.u(t)
1 + τp
e −^ t/^ τu t ( ) τ 1 p^2
Rampe unité : t.u(t)
pn^ n entier positif^
tn− −
1 (n 1 )! u(t) 1 p.(p +a)
1 − e− a
at u(t)
1 p.( 1 + τp)
( 1 − e −t/^ τ). ( )u t
p +a^2
t.e-at.u(t)
1 1 + τp^2
t τ^2 e^ −^ t/^ τ. ( )u t
1 p +a n
1 (n − )!. ∈ℵ t n−^ e−at^ .u(t) n *
1
1 + τp n^ (^ )
1 τ
τ n
n t n
t e −
. /^ .u(t) n *
F(p) f(t) t > 0 1 p 2 .( 1 + τp)
(t-τ+τ.e-t/τ).u(t)
1
p. 1 + τp 2
1 − ( 1 +t ) e −t/ . ( )u t τ
τ
1
p 2. 1 + τp^2
( t^ −^2 τ^ +^ (t^ +^2 τ^ )e^ −t/τ). ( )u t
ω p^2 +ω^2
sin(ωt).u(t)
p p^2 + ω^2
cos(ωt).u(t)
ω p + a^2 + ω^2
e-at.sin(ωt).u(t)
p a p a
e-at.cos(ωt).u(t)
p a p
(^2) + ω 2 a (^2 2) t u t 2
sin(ω ϕ ). ( ) ϕ = arctan ω a 1 p p.( 2 + ω^2 )
2
− cos ω ( ) ω
t u t
(p + a).(p +b)
b a
e at^ ebt −
− (^) − − (^) .u(t)
1 ( 1 + τ 1 p ).( 1 +τ 2 p)
1 2
1 2 τ τ
τ τ −
e −^ t^ /^ −e−t/^ .u(t)
1
p.( 1 + τ 1 p ).( 1 +τ 2 p) (^ )
1 2
− (^) τ − τ τ 1. e −^ t^ /^ τ^1 −τ 2 .e−t^ /τ^2 .u(t)
1
p^2 ( 1 + τ 1 p ).( 1 +τ 2 p) (^ )
t − + + e t^ et −
( τ τ ). −^ /^ −. −/ τ τ 1 2 τ^ τ^ τ τ 1 2
12 22
(^1 1 2) .u(t)
p^2 + 2 m ω 0 p+ω 02
m < 1 1 0 1 2 ω
e −m^ ω^ tsin(ω t ). ( )u t ω = ω 0 −m
1 p^2 + 2 m ω 0 p+ω 02
m > 1 e^ e r r
r 2 t r 1 t
2 1
u(t) r1,2 : racines de l'équation caractéristique
1 p.( p 2 + 2 m ω 0 p+ω 02 )
m < 1 (^1 ) 02
(^0 ) ω
ω ω
− e −mω t (^) sin(ω t+ϕ) u(t) ϕ = arccos(m)
p.( p 2 + 2 m ω 0 p+ω 02 )
m > 1 (^1 ) 02
02 2 1 2 1
2 1 ω
ω − −
r r
e r
e r
r t r t u(t) 1 p 2 (p 2 + 2 m ω 0 p+ω 02 )
m < 1 1 1 2 1 02 0
0 ω ω ω
− + ω ω +ϕ
m (^) e −m t (^) sin( t ) u(t)
