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3 - 28 Unidad 3. Derivada de Funciones Algebraicas
PROBLEMAS DE APLICACIÓN: CÁLCULO DE VELOCIDADES
Conceptos clave:
11. Velocidad instantánea
Sea s t ( )la posición de cierto objeto moviéndose en el tiempo t.
Si s t ( )>0 significa que el objeto esta a la derecha o hacia arriba del origen.
Si s t ( )<0 significa que el objeto esta a la izquierda o hacia abajo del origen.
Si s t ( )=0 significa que el objeto esta en el origen.
La velocidad instantánea, es decir, la velocidad de dicho objeto en un instante
determinado t 0 está dada por:
Si v t ( 0 )> 0 significa que el cuerpo se mueve en dirección positiva (hacia la
derecha o hacia arriba)
Si v t ( 0 )< 0 significa que el cuerpo se mueve en dirección negativa (hacia la
izquierda o hacia abajo)
Si v t ( 0 )= 0 significa que el cuerpo está en reposo
Sugerencias para el profesor
A manera de introducción, se puede iniciar con una explicación o análisis de un problema que involucre posición y velocidad, ya que este tipo de ejercicios se relacionan más con el contexto o entorno de los estudiantes.
Unidad 3. Derivada de Funciones Algebraicas 3 - 29
Si un automóvil parte de CCH Azcapotzalco hacia CCH Naucalpan y tarda 20 minutos en completar dicho trayecto el cual consta de 7km, ¿a qué velocidad viajó el automóvil?
La velocidad se puede calcular como , de tal forma que al sustituir los valores correspondientes, , sin embargo, sabemos que se trata de una velocidad promedio, ya que 14k/h es una velocidad muy baja para un automóvil, pero en un trayecto como el que se indica, hay semáforos, trafico, baches, entre otros. Seguramente la velocidad en algunos tramos fue mayor a 14k/h en otros fue menor e incluso hubo altos totales.
Si trazamos la grafica de una función que describa la posición (desplazamiento) del vehículo con base en el tiempo transcurrido obtendremos una grafica no lineal, ya que el desplazamiento del auto no es uniforme.
En la tabla se indican algunos de los desplazamientos del vehículo mencionado.
Tiempo en minutos
Desplazamiento en kilómetros 0 0 3 1 5 2 10 3 13 4 17 5 19 6 20 7
La grafica correspondiente es la que se muestra
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 5 10 15 20 25
K i l o m e t r o s
Tiempo en minutos
Unidad 3. Derivada de Funciones Algebraicas 3 - 31
¿Cuál es la velocidad instantánea del halcón al cabo de 0.5 hrs, 1 hr y 2hrs?
Para encontrar la velocidad promedio del halcón entre la primera y segunda hora, se debe encontrar las distancias en 1 y 2 horas y dividirla entre la diferencia de estas tiempos, es
decir,
__ 2 1
2 1
___ ___
s t s t s s
v
t t
, por lo tanto la velocidad promedio resultante
es:_________________
Elabora las graficas de movimiento (posición s(t)) y velocidad (v(t)) del halcón.
Puntos problemáticos
Algunos estudiantes memorizan los pasos que deben hacer sin
preocuparse por comprender el problema y lo que se está solicitando
en el mismo. Se debe avanzar sin prisa, pues para algunos alumnos
los ejercicios resultan complicados y pueden ser tediosos si no le encuentran un
sentido práctico.
- Se lanza un objeto desde el suelo hacia arriba a una velocidad inicial de 121m/seg. Se sabe que la distancia que recorre dicho objeto desde su punto de partida a
los t segundos es: s t ( ) 121 t 11 t^2
¿Cuál es la distancia recorrida en 5 segundos?___________________
0
50
100
150
200
250
300
0 0.5 1 1.5 2 2. Horas
Kilómetros
POSICIÓN VELOCIDAD
3 - 32 Unidad 3. Derivada de Funciones Algebraicas
¿Cuál es la expresión para obtener la velocidad del objeto en cualquier instante?
- ¿Cuál es la velocidad instantánea a los dos segundos?________________
¿Cuál es la velocidad del objeto en 0.5 seg, 1.9 seg y 2.8 seg?
¿En qué tiempo el objeto lanzado desde el suelo alcanzara una altura máxima?
Completa la tabla para distintos valores de s(t) y v(t), e indica la dirección del movimiento.
T 0 1 2 3 4 5 5.5 6 7 8 s(t) en metros v(t) en m/s Dir. del Movimiento
Apóyate en la tabla anterior y dibuja con flechas la dirección del movimiento
3 - 34 Unidad 3. Derivada de Funciones Algebraicas
Ejercicios
Para cada uno de los siguientes ejercicios contesta lo que se te pide.
1.- Un vendedor te ofrece un carro de juguete a control remoto, se sabe que en
línea recta la función de posición del mismo es:^3
s t t t t , el tiempo está en
segundos y la distancia en metros.
a) ¿Qué distancia teóricamente recorrería en 3, 4 y 6 segundos?
b) ¿Que significa que la distancia sea negativa en los segundos 3, 4 y 6?
c) ¿Cuál es la velocidad en el instante t?
d) ¿Cuál es la velocidad instantánea en 3, 4 y 6 segundos?
e) ¿Qué significa que la velocidad sea negativa en los segundos 3 y 4, y positiva en el segundo 6?
Unidad 3. Derivada de Funciones Algebraicas 3 - 35
f) ¿En que tiempos carro a control remoto está en reposo? __________ y
g) Completa la tabla para distintos valores de s(t) y v(t), e indica la dirección del movimiento.
T - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 s(t) v(t) Dir. del Movimiento
h) Apóyate en la tabla anterior y dibuja con flechas la dirección del movimiento
i) ¿Cuál es la velocidad promedio entre los segundos 1 y 4? _________km/h
j) Elabora las graficas de posición s(t) y velocidad v(t)
k) ¿Cuál es la distancia total recorrida en el intervalo [-2,6]?________mts
Unidad 3. Derivada de Funciones Algebraicas 3 - 37
e) Completa la tabla para distintos valores de s(t) y v(t) del cohete 1, e indica la dirección del movimiento.
T en horas 0 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 s(t) v(t) Dir.,. del movimiento
f) Apóyate en la tabla anterior y dibuja con flechas la dirección del movimiento del Cohete 1
g) Completa la tabla para distintos valores de s(t) y v(t) del cohete 2, e indica la dirección del movimiento.
T en horas 0 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 s(t) v(t) Dir.,. del movimiento
h) Apóyate en la tabla anterior y dibuja con flechas la dirección del movimiento del Cohete 2
i) ¿Cuál es la velocidad media de cada uno de los cohetes entre la segunda y tercera horas?
3 - 38 Unidad 3. Derivada de Funciones Algebraicas
j) Elabora las graficas de distancia s(t) y velocidad v(t) para el cohete 1
k) Elabora las graficas de distancia s(t) y velocidad v(t) para el cohete 2
m) ¿Cuál de los dos cohetes debe ser reemplazado?
3.- Para los ejercicios 1 y 2 anteriores, encuentra la función de aceleración.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 1 2 3 4 5 6 7
Horas
Kilómetros
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 1 2 3 4 5 6 7
Horas
Kilómetros
