Tema 3. Integraci´o de funcions d’una variable
Lali Barri`ere, Josep M. Olm
Departament de Matem`atica Aplicada 4 (EETAC-UPC)
2014-15
C`alcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integraci´o de funcions d’una variable 2014-15 1 / 72
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1A calculo eetac, Apuntes de Cálculo
Asignatura: Càlcul, Profesor: lali barriere, Carrera: Enginyeria de Sistemes de Telecomunicació, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
2013/2014
1 / 72
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Tema 3. Integraci´o de funcions d’una variable
Lali Barri`ere, Josep M. Olm
Departament de Matem`atica Aplicada 4 (EETAC-UPC)
Continguts
Continguts
3.1 Integral indefinida
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates Integraci´o per parts Integraci´o de funcions racionals Canvis de variable i f´ormules trigonometriques
3.3 Integral definida
3.4 Aplicacions
3.5 Integrals impr`opies
3.1 Integral indefinida
Concepte d’integral indefinida
I (^) Definici´o. El conjunt de totes les primitives d’una funci´o, f , rep el nom d’integral indefinida de f , i es representa per: ∫ f (x) dx = F (x) + c, c ∈ R
on F ´es una primitiva qualsevol de f. I (^) La constant arbitr`aria c rep el nom de constant d’integraci´o, mentre que dx ´es l’anomenat diferencial de x. I (^) Observaci´o. Segons la definici´o anterior: ∫ f (x) dx = F (x) + c, c ∈ R ⇐⇒ F ′(x) = f (x)
I (^) Exemple. ∫ 2 x dx = x^2 + c, c ∈ R, perqu`e
[
x^2
]′
= 2x
3.1 Integral indefinida
Interpretaci´o geom`etrica (I)
Trobar una primitiva, F , d’una funci´o, f , representa reconstruir F a partir de la informaci´o facilitada per la seva derivada, f , ´es a dir, a partir del pendent de la recta tangent a F en cada punt x.
y = F ( x )
f ( x ) = F’ ( x )
3.1 Integral indefinida
Sobre el diferencial de x
I (^) El diferencial de x, dx, representa una variaci´o molt, molt petita de x. De fet, escrivim ∆x = dx quan ∆x → 0 I (^) Donada una funci´o y = f (x) derivable, definim el diferencial de y, dy, com: dy = f ′(x) dx I (^) Exemple. Calcular dy per a y = x^2.
y = x^2 =⇒ dy =
[
x^2
]′
dx = 2x dx
I (^) D’altra banda, de dy = f ′(x) dx s’obt´e que
f ′(x) =
dy dx
−→ notaci´o alternativa per a la derivada
3.1 Integral indefinida
Interpretaci´o de l’expressi´o dy = f ′(x) dx
Quan x varia infinitesimalment, la variaci´o experimentada per y = f (x) coincideix amb la que experimenta la seva recta tangent: Escrivim ∆y = f ′(x)∆x + α.
Quan ∆x → 0 es t´e
∆x → dx, α → 0. Per tant, ∆y → f ′(x) dx = dy.
3.2 C`alcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals immediates
S´on les que s’obtenen directament a partir de les taules de derivaci´o: ∫ dx = x + c
∫ xn^ dx =
xn+ n + 1
- c, n 6 = − 1 ∫ 1 x
dx = ln |x| + c
∫ ax^ dx =
ax ln a
- c, a > 0 ∫ cos x dx = sin x + c
∫ sin x dx = − cos x + c ∫ (^1)
cos^2 x
dx =
∫ (1 + tan^2 x) dx = tan x + c ∫ 1 sin^2 x
dx =
∫ (1 + cot^2 x) dx = − cot x + c ∫ 1 1 + x^2
dx = arctan x + c ∫ 1 √ 1 − x^2
dx = arcsin x + c = − arccos x + c
3.2 C`alcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Propietats de la integral indefinida: linealitat
I (^) Propietat. Siguin f , g funcions i λ ∈ R. Aleshores:
- Integral de la suma: ∫ [f (x) + g(x)] dx =
∫ f (x) dx +
∫ g(x) dx
- Integral d’un escalar per una funci´o: ∫ λf (x) dx = λ
∫ f (x) dx
I (^) Exercici 2. Calcular:
∫ ( 2 x^2 − 3 x + 4
) dx
∫ ( −3 sin x + (^4) x
) dx
3.2 C`alcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates (II)
∫ (^1) cos^2 x dx^ =
∫ (1 + tan^2 x) dx =
∫ (^) f ′(x) cos^2 (f (x)) dx^ =
∫ f ′(x)(1 + tan^2 (f (x))) dx =
= tan x + c = tan(f (x)) + c ∫ (^1) sin^2 x dx^ =
∫ (1 + cot^2 x) =
∫ (^) f ′(x) sin^2 (f (x)) dx^ =
∫ f ′(x)(1 + cot^2 (f (x))) dx =
= − cot x + c = − cot(f (x)) + c ∫ (^1) √a (^2) − x 2 dx = arcsin xa + c =
∫ (^) f ′(x) √ a^2 − (f (x))^2
dx = arcsin f^ ( ax )+ c =
= − arccos xa + c = − arccos f^ ( ax )+ c ∫ (^) dx a^2 + x^2 =
1 a arctan^
x a +^ c
∫ (^) f ′(x) a^2 + (f (x))^2 dx^ =
1 a arctan^
f (x) a +^ c
3.2 C`alcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates (III)
Exercici 3. Provar que: ∫ f ′(x) (f (x))n^ dx =
(f (x))n+ n + 1
- c, c ∈ R, n 6 = − 1
Soluci´o. Sabem que: [ (f (x))n+
]′ = (n + 1) (f (x))n^ f ′(x), n 6 = − 1 per tant: (f (x))n^ f ′(x) =
[ (f (x))n+
]′
n + 1 =
[ (f (x))n+ n + 1
]′ , n 6 = − 1.
Fent F (x) = (f^ (x))
n+ n + 1 tenim que: ∫ (f (x))n^ f ′(x) dx =
∫ F ′(x) dx = F (x) + c = (f^ (x))
n+ n + 1 +^ c,^ c^ ∈^ R,^ n^6 =^ −^1.
3.2 C`alcul de primitives Integraci´o per parts
Integraci´o per parts
Utilitza una relaci´o integral basada en la derivada del producte. I (^) Propietat. Siguin u = u(x) i v = v(x). Aleshores: ∫ u · dv = u · v −
v · du
I (^) Exercici 5. Demostrar la propietat anterior. Notem que: [uv]′^ = u′v + uv′^ =⇒ [uv]′^ dx = (u′v + uv′) dx = vu′^ dx + uv′^ dx. Aix´ı tenim que d (uv) = v du + u dv i, per tant, u dv = d (uv) − v du. Integrant:
∫ u dv =
∫ [d (uv) − v du] =
∫ d(uv) −
∫ v du = uv −
∫ v du.
I (^) Cal triar u i dv adequadament, de manera que
dv i
v · du siguin m´es simples que
u · dv.
3.2 C`alcul de primitives Integraci´o per parts
Integraci´o per parts: exemples (I)
- Calcular
xex^ dx.
Triem
u = x −→ du = dx dv = ex^ dx −→ v =
ex^ dx = ex
. Aix´ı:
∫ xex^ dx = xex^ −
ex^ dx = xex^ − ex^ + c = x (ex^ − 1) + c, c ∈ R
- Calcular
ln x dx.
Triem
u = ln x −→ du = (^1) x dx dv = dx −→ v =
dx = x
. Aix´ı: ∫ ln x dx = x ln x −
x ·
x
dx = x ln x −
dx = = x ln x − x + c = x (ln x − 1) + c, c ∈ R
3.2 C`alcul de primitives Integraci´o de funcions racionals
Integraci´o de funcions racionals (I)
I (^) Les integrals racionals s´on integrals de la forma ∫ p(x) q(x)
dx
on p(x) i q(x) s´on polinomis. I (^) Es resolen descomponent el quocient p q((xx)) en una suma de termes d’integral immediata o quasi-immediata.
M`etode de descomposici´o en suma d’integrals m´es senzilles
- Si grau(p(x)) ≥ grau(q(x)), dividim p(x) entre q(x).
- Si grau(p(x)) < grau(q(x)): 2.1 Si p(x) = kq′(x), k ∈ R =⇒ La integral ´es immediata. 2.2 Si p(x) 6 = kq′(x) =⇒ Descomposici´o en fraccions simples.
3.2 C`alcul de primitives Integraci´o de funcions racionals
Integraci´o de funcions racionals (1.)
- Si grau(p(x)) ≥ grau(q(x)), dividim p(x) entre q(x). Divisi´o: p(x) = c(x)q(x) + r(x), amb grau(r(x)) < grau(q(x)). ∫ p(x) q(x)
dx =
c(x)q(x) + r(x) q(x)
dx =
c(x) dx +
r(x) q(x)
dx