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Escribir ecuaciones de parábolas. Resolver problemas de la vida real. Explorar el foco y la directriz. Anteriormente, aprendiste que la gráfica de ...
Tipo: Apuntes
1 / 46
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Meteorólogo (pág. 77)
CONSULTAR la Gran Idea
Antena parabólica que genera electricidad (pág. 71)
Fútbol (pág. 63)
Puente Gateshead Millennium (pág. 64)
Canguro (pág. 53)
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticas
Ejemplo 1 Halla la intersección con el eje x de la gráfica de la ecuación lineal y = 3 x − 12.
y = 3 x − 12 Escribe la ecuación. 0 = 3 x − 12 Sustituye 0 por y. 12 = 3 x Suma 12 a cada lado. 4 = x Divide cada lado entre 3.
La intersección con el eje x es 4.
1. y = 2 x + 7 2. y = − 6 x + 8 3. y = − 10 x − 36 4. y = 3( x − 5) 5. y = −4( x + 10) 6. 3 x + 6 y = 24
La distancia d entre dos puntos cualquiera ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) está dada por la fórmula d = (^) √
—— ( x 2 − x 1 )^2 + ( y 2 − y 1 )^2.
Ejemplo 2 Halla la distancia entre (1, 4) y ( − 3, 6).
Imagina que ( x 1 , y 1 ) = (1, 4) y ( x 2 , y 2 ) = (−3, 6).
—— ( x 2 − x 1 )^2 + ( y 2 − y 1 )^2 Escribe la fórmula de distancia.
= (^) √
—— (− 3 − 1)^2 + (6 − 4)^2 Sustituye.
= (^) √
— (−4)^2 + 22 Simplifica.
= √
— 16 + 4 Evalúa las potencias. = √
— 20 Suma. ≈ 4.47 Usa una calculadora.
13. RAZONAMIENTO ABSTRACTO Usa la fórmula de distancia para escribir una expresión para la distancia entre los dos puntos ( a , c ) y ( b , c ). ¿Hay alguna manera más fácil de hallar la distancia cuando las coordenadas x son iguales? Explica tu razonamiento.
Soluciones dinámicas disponibles en BigIdeasMath.com
Sección 2.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 47
Pregunta esencialPregunta esencial ¿Cómo afectan las constantes a , h y k a la gráfica
La función madre de la familia cuadrática es f ( x ) = x^2. Una transformación de la gráfica de la función madre está representada en la función g ( x ) = a ( x − h )^2 + k , donde a ≠ 0.
Trabaja con un compañero. Une cada función cuadrática con su gráfi ca. Explica tu razonamiento. Luego usa una calculadora gráfi ca para verifi car que tu respuesta sea correcta. a. g ( x ) = −( x − 2)^2 b. g ( x ) = ( x − 2) 2 + 2 c. g ( x ) = −( x + 2)^2 − 2 d. g ( x ) = 0.5( x − 2) 2 − 2 e. g ( x ) = 2( x − 2) 2 f. g ( x ) = −( x + 2)^2 + 2
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2. ¿Cómo afectan las constantes a , h , y k la gráfica de la función cuadrática g ( x ) = a ( x − h )^2 + k? 3. Escribe la ecuación de la función cuadrática cuya gráfi ca se muestra a la derecha. Explica tu razonamiento. Luego, usa una calculadora gráfica para verifi car que tu ecuación sea correcta.
Para dominar las matemáticas, necesitas observar con atención para discernir un patrón o estructura.
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Transformaciones de funciones
cuadráticas
48 Capítulo 2 Funciones cuadráticas
Lección Qué aprenderásQué aprenderás
Describir transformaciones de funciones cuadráticas. Escribir transformaciones de funciones cuadráticas.
Una función cuadrática es una función que se puede escribir en la forma f ( x ) = a ( x − h )^2 + k , donde a ≠ 0. A la gráfi ca en forma de U de una función cuadrática se le llama parábola. En la Sección 1.1, grafi caste las funciones cuadráticas utilizando tablas de valores. También puedes grafi car funciones cuadráticas aplicando transformaciones a la gráfica de la función madre f ( x ) = x^2.
función cuadrática, pág. 48 parábola, pág. 48 vértice de una parábola, pág. 50 forma en vértice, pág. 50 Anterior transformaciones
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
ConceptoConcepto EsencialEsencial
f ( x ) = x^2 f ( x − h ) = ( x − h )^2
y
y = ( x − h )^2 , h < 0
y = ( x − h )^2 , h > 0
y = x^2
x ● (^) se mueve a la izquierda cuando h < 0 ● (^) se mueve a la derecha cuando h > 0
f ( x ) = x^2 f ( x ) + k = x^2 + k
y
y = x^2 + k , k < 0
y = x^2 + k , k > 0
y = x^2
x
● (^) se mueve hacia abajo cuando k < 0 ● (^) se mueve hacia arriba cuando k > 0
Describe la transformación de f ( x ) = x^2 representada en g ( x ) = ( x + 4)^2 − 1. Luego haz una gráfi ca de cada función.
Observa que la función es de la forma
x
y
4
6
2
− 6 − 2 2
g
f
g ( x ) = ( x − h )^2 + k. Reescribe la función para identifi car h y k. g ( x ) = ( x − (−4))^2 + (−1)
h k Dado que h = −4 y k = −1, la gráfica de g es una traslación 4 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia debajo de la gráfica de f.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso (^) Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Describe la transformación de f ( x ) = x^2 representada en g****. Luego, haz una gráfi ca de cada función.
1. g ( x ) = ( x − 3)^2 2. g ( x ) = ( x − 2)^2 − 2 3. g ( x ) = ( x + 5)^2 + 1
50 Capítulo 2 Funciones cuadráticas
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Describe la transformación de f ( x ) = x^2 representada en g****. Luego, haz una gráfi ca de cada función.
4. g ( x ) = (^) ( 1 — 3 x (^) )
2
5. g ( x ) = 3( x − 1)^2 6. g ( x ) = −( x + 3)^2 + 2
El punto más bajo en una parábola que se abre hacia arriba o el punto más alto en una parábola que se abre hacia abajo es el vértice. La forma en vértice de una función cuadrática es f ( x ) = a ( x − h )^2 + k , donde a ≠ 0 y el vértice es ( h , k ).
f ( x ) = a ( x − h )^2 + k k indica una traslación vertical.
a indica una reflexión en el eje x y/o un ajuste o reducción vertical.
h indica una traslación horizontal.
Imagina que la gráfi ca de g es un ajuste vertical por un factor de 2 y una reflexión en el eje x , seguida de una traslación 3 unidades hacia abajo de la gráfica de f ( x ) = x^2. Escribe una regla para g e identifi ca el vértice.
Método 1 Identifica cómo afectan las transformaciones a las constantes en forma de vértice. reflexión en el eje x a = − 2 ajuste vertical por 2 Traslación 3 unidades hacia abajo} k = −3. Escribe la función transformada. g ( x ) = a ( x − h )^2 + k Forma en vértice de una función cuadrática = −2( x − 0)^2 + (−3) Sustituye −2 por a , 0 por h y −3 por k. = − 2 x^2 − 3 Simplifica.
La función transformada es g ( x ) = − 2 x^2 − 3. El vértice es (0, −3). Método 2 Comienza con la función madre y aplica las transformaciones una por una en el orden indicado. Primero escribe una función h que represente la refl exión y el ajuste vertical de f. h ( x ) = − (^2) ⋅ f ( x ) Multiplica la salida por −2. = − 2 x^2 Sustituye x^2 por f ( x ). Luego escribe una función g que represente la traslación de h. g ( x ) = h ( x ) − 3 Resta 3 de la salida. = − 2 x^2 − 3 Sustituye − 2 x^2 por h ( x ).
La función transformada es g ( x ) = − 2 x^2 − 3. El vértice es (0, −3).
Verifica
5
− 20
− 5
20
g
f
Sección 2.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 51
Imagina que la gráfica de g es una traslación 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba, seguida de una refl exión en el eje y de la gráfica de f ( x ) = x^2 − 5 x. Escribe una regla para g.
Paso 1 Primero escribe una función h que represente la traslación de f. h ( x ) = f ( x − 3) + 2 Resta 3 de la entrada. Suma 2 a la salida. = ( x − 3)^2 − 5( x − 3) + 2 Reemplaza x con x − 3 en f ( x ). = x^2 − 11 x + 26 Simplifica. Paso 2 Luego escribe una función g que represente la reflexión de h. g ( x ) = h (− x ) Multiplica la entrada por −1. = (− x )^2 − 11(− x ) + 26 Reemplaza x con −x en h ( x ). = x^2 + 11 x + 26 Simplifica.
La altura h (en pies) del agua rociada desde una manguera contra incendios se puede representar mediante h ( x ) = −0.03 x^2 + x + 25, donde x es la distancia horizontal (en pies) desde el camión de bomberos. Los bomberos elevan la escalera de manera tal que el agua llegue al suelo 10 pies más allá del camión de bomberos. Escribe una función que represente la nueva ruta del agua.
rocía desde una manguera contra incendios. Te piden que escribas una función que represente la ruta del agua después de que el personal de bomberos eleva la escalera.
escalera que ocasiona que el agua vaya 10 pies más allá. Luego escribe la función.
función original. Dado que h (50) = 0, el agua originalmente llega al suelo a 50 pies del camión de bomberos. El rango de la función en este contexto no incluye valores negativos. Sin embargo, al observar que h (60) = −23, puedes determinar que una traslación 23 unidades (pies) hacia arriba ocasiona que el agua vaya 10 pies más allá del camión de bomberos. g ( x ) = h ( x ) + 23 Suma 23 a la salida. = −0.03 x^2 + x + 48 Sustituye por h ( x ) y simplifi ca. La nueva ruta del agua se puede representar mediante g ( x ) = −0.03 x^2 + x + 48.
g (60) = −0.03(60)^2 + 60 + 48 = − 108 + 60 + 48 = 0 ✓
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso (^) Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
7. Imagina que la gráfica de g es una reducción vertical por un factor de (^1) — 2 seguida de una traslación 2 unidades hacia arriba de la gráfica de f ( x ) = x^2. Escribe una regla para g e identifi ca el vértice. 8. Imagina que la gráfica de g es una traslación 4 unidades a la izquierda seguida por una reducción horizontal por un factor de (^1) — 3 de la gráfi ca de f ( x ) = x^2 + x. Escribe una regla para g. 9. ¿QUÉ PASA SI? En el Ejemplo 5, el agua llega al suelo 10 pies más cerca del camión de bomberos después de bajar la escalera. Escribe una función que represente la nueva ruta del agua.
Para multiplicar dos binomios, usa el método FOIL. Primeros Internos ( x + 1)( x + 2) = x^2 + 2 x + x + 2 Externos Últimos
X=50 Y=
80
− 30
0
60 y = − 0 .03 x^2 + x + 25
Sección 2.1 Transformaciones de funciones cuadráticas 53
En los Ejercicios 31–34, escribe una regla para g descrita mediante las transformaciones de la gráfica de f****. Luego identifica el vértice. (Consulta los Ejemplos 3 y 4).
31. f ( x ) = x^2 ; ajuste vertical por un factor de 4 y una refl exión en el eje x , seguida de una traslación 2 unidades hacia arriba. 32. f ( x ) = x^2 ; reducción vertical por un factor de —^13 y una refl exión en el eje y , seguida de una traslación 3 unidades hacia la derecha 33. f ( x ) = 8 x^2 − 6; ajuste horizontal por un factor de 2 y una traslación 2 unidades hacia arriba, seguida de una refl exión en el eje y. 34. f ( x ) = ( x + 6)^2 + 3; reducción horizontal por un factor de 1 — 2 y una traslación 1 unidad hacia abajo, seguida de una refl exión en el eje x.
USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 35–40, une la función con su gráfi ca. Explica tu razonamiento.
35. g ( x ) = 2( x − 1)^2 − 2 36. g ( x ) = —^12 ( x + 1)^2 − 2 37. g ( x ) = −2( x − 1)^2 + 2 38. g ( x ) = 2( x + 1)^2 + 2 39. g ( x ) = −2( x + 1)^2 − 2 40. g ( x ) = 2( x − 1)^2 + 2
A.
x
y
2
− 4
− 2
− 4 − 2 2 4
x
y 4
2
− 4
− 4 2 4
x
y
− 2
− 4
− 4 − 2 4
x
y 4
2
− 4 − 2 4
x
y 4
− 4
− 2
− 4 − 2 2 4
x
y 4
2
− 4
− 4 − 2 2 4
JUSTIFICAR LOS PASOS En los Ejercicios 41 y 42, justifi ca cada paso al escribir una función g basada en las transformaciones de f ( x ) = 2 x^2 + 6 x****.
41. Traslación 6 unidades hacia abajo seguida de una refl exión en el eje x. h ( x ) = f ( x ) − 6 = 2 x^2 + 6 x − 6 g ( x ) = − h ( x ) = −(2 x^2 + 6 x − 6) = − 2 x^2 − 6 x + 6 42. Reflexión en el eje y seguida de una traslación 4 unidades hacia la derecha. h ( x ) = f (− x ) = 2(− x )^2 + 6(− x ) = 2 x^2 − 6 x g ( x ) = h ( x − 4) = 2( x − 4)^2 − 6( x − 4) = 2 x^2 − 22 x + 56 43. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La función h ( x ) = −0.03( x − 14) 2 + 6 representa el salto de un canguro rojo, donde x es la distancia horizontal recorrida (en pies) y h ( x ) es la altura (en pies). Cuando el canguro salta desde una ubicación más alta, aterriza 5 pies más lejos. Escribe una función que represente el segundo salto. (Consulta el Ejemplo 5). 44. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS La función f ( t ) = − 16 t^2 + 10 representa la altura (en pies) de un objeto t segundos después de que se lo dejara caer desde una altura de 10 pies en la Tierra. El mismo objeto, dejado caer desde la misma altura en la Luna, está representado en g ( t ) = −^8 — 3 t^2 + 10. Describe la transformación de la gráfica de f para obtener g. ¿Desde qué altura se debe dejar caer el objeto en la Luna para que llegue al suelo al mismo tiempo que en la Tierra?
54 Capítulo 2 Funciones cuadráticas
Mantener el dominio de las matemáticasMantener el dominio de las matemáticas
En rojo se muestra un eje de simetría para la fi gura. Halla las coordenadas del punto A. (Manual de revisión de destrezas)
50.
x
y (–4, 3)
A
y = 1
x
y (0, 4) A
x = 2
x
y
(2, – 2)
A y = x
Repasar lo que aprendiste en grados y lecciones anteriores
45. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Los peces voladores usan sus aletas pectorales como alas de avión para planear por el aire. a. Escribe una ecuación de la forma y = a ( x − h )^2 + k con el vértice (33, 5) que representa la ruta de vuelo, asumiendo que el pez abandona el agua en (0, 0). b. ¿Cuál es el dominio y el rango de la función? ¿Qué representan en esta situación? c. ¿El valor de a cambia cuando la ruta de vuelo tiene el vértice (30, 4)? Justifi ca tu respuesta. 46. ¿CÓMO LO VES? Describe la gráfi ca de g como transformación de la gráfi ca de f ( x ) = x^2.
x
f
g y
4
6
2
− 2
− 6 − 4 2
47. COMPARAR MÉTODOS Imagina que la gráfi ca de g es una traslación 3 unidades hacia arriba y 1 unidad hacia la derecha seguida de un ajuste vertical por un factor de 2 de la gráfica de f ( x ) = x^2. a. Identifica los valores de a , h y k y usa la forma de vértice para escribir la función transformada. b. Usa la notación de función para escribir la función transformada. Compara esta función con tu función en la parte (a). c. Supón que el ajuste vertical se llevó a cabo primero, seguido de las traslaciones. Repite las partes (a) y (b). d. ¿Qué método prefi eres al escribir una función transformada? Explica. 48. ESTIMULAR EL PENSAMIENTO Un salto en un palo de pogo con un resorte convencional se puede representar mediante f ( x ) = −0.5( x − 6)^2 + 18, donde x es la distancia horizontal (en pulgadas) y f ( x ) es la distancia vertical (en pulgadas). Escribe por lo menos una transformación de la función y proporciona una razón posible para tu transformación. 49. CONECCIONES MATEMÁTICAS El área de un círculo depende del radio, como se muestra en la gráfica. Un pendiente circular con un radio de r milímetros tiene un hueco circular de 3 r — 4 milímetros. Describe una transformación de la gráfi ca siguiente que representa el área de la porción azul del pendiente.
Círculo
Área
(unidades cuadrados)Radio (unidades)
r
A
20
10
0
30
0 1 2 3 4
A = π r^2
56 Capítulo 2 Funciones cuadráticas
2.2 Lección^ Qué aprenderásQué aprenderás
Explorar las propiedades de las parábolas. Hallar los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas. Hacer gráficas de las funciones cuadráticas usando intersecciones con el eje x. Resolver problemas de la vida real.
Un eje de simetría es una recta que divide una parábola en imágenes especulares y pasa por el vértice. Dado que el vértice de f ( x ) = a ( x − h )^2 + k es ( h , k ), el eje de simetría es la recta vertical x = h.
Anteriormente, usaste transformaciones para hacer gráficas de funciones cuadráticas en forma de vértice. También puedes usar el eje de simetría y el vértice para hacer gráficas de funciones cuadráticas escritas en forma de vértice.
eje de simetría, pág. 56 forma estándar, pág. 56 valor mínimo, pág. 58 valor máximo, pág. 58 forma de intersección, pág. 59 Anterior intersección con el eje x
Vocabulario EsencialVocabulario Eseencial
Haz una gráfi ca de f ( x ) = −2( x + 3)^2 + 4_._ Rotula el vértice y el eje de simetría.
Paso 1 Identifica las constantes a = −2, h = −3, y k = 4. Paso 2 Marca el vértice ( h , k ) = (−3, 4) y dibuja el eje de simetría x = −3. Paso 3 Evalúa la función para dos valores de x. x = −2: f (−2) = −2(− 2 + 3)^2 + 4 = 2 x = −1: f (−1) = −2(− 1 + 3) 2 + 4 = − 4 Marca los puntos (−2, 2), (−1, −4), y sus refl exiones en el eje de simetría. Paso 4 Dibuja una parábola a través de los puntos marcados.
Las funciones cuadráticas también se pueden escribir en forma estándar , f ( x ) = ax^2 + bx + c , donde a ≠ 0. Puedes derivar la forma estándar al desarrollar la forma en vértice. f ( x ) = a ( x − h ) 2 + k Forma en vértice f ( x ) = a ( x^2 − 2 hx + h^2 ) + k Desarrolla ( x − h )^2. f ( x ) = ax^2 − 2 ahx + ah^2 + k Propiedad distributiva f ( x ) = ax^2 + (− 2 ah ) x + ( ah^2 + k ) Agrupa los términos semejantes.
f ( x ) = ax^2 + bx + c Imagina que b = − 2 ah y que c = ah^2 + k.
Esto te permite hacer las siguientes observaciones. a = a : Entonces, a tiene el mismo significado en forma de vértice y en forma estándar.
b = − 2 ah : Resuelve para hallar h para obtener h = −
b — 2 a
. Entonces, el eje de simetría es x = − b — 2 a
c = ah^2 + k : En forma de vértice f ( x ) = a(x − h)^2 + k , observa que f (0) = ah^2 + k. Entonces, c es la intersección del eje y.
x
y
( h , k ) x = h
x
y 4
2
− 2
(−3, 4)
− 6
x = − 3
Sección 2.2 Características de las funciones cuadráticas 57
ConceptoConcepto EsencialEsencial
y = ax^2 + bx + c , a > 0 y = ax^2 + bx + c , a < 0
x
y
x = –
(0, c )
b 2 a
x
y
(0, c )
x = – 2 ba
● La parábola se abre hacia arriba cuando a > 0 y se abre hacia abajo cuando a < 0.
● El eje de simetría es x = − b — 2 a y el vértice es ( − b — 2 a , f (^) ( − b — 2 a )). ● La intersección con el eje y es c. Entonces, el punto (0, c ) está en la parábola.
Haz una gráfica de f ( x ) = 3 x^2 − 6 x + 1. Rotula el vértice y el eje de simetría.
Paso 1 Identifica los coeficientes a = 3, b = −6, y c = 1. Dado que a > 0, la parábola se abre hacia arriba. Paso 2 Halla el vértice. Primero calcula la coordenada x.
x = −
b — 2 a
— 2(3)
Luego halla la coordenada y del vértice. f (1) = 3(1) 2 − 6(1) + 1 = − 2 Entonces, el vértice es (1, −2). Marca este punto. Paso 3 Dibuja el eje de simetría x = 1. Paso 4 Identifica la intersección con el eje y con c , que es 1. Marca el punto (0, 1) y su refl exión en el eje de simetría, (2, 1). Paso 5 Evalúa la función para otro valor de x , como x = 3. f (3) = 3(3) 2 − 6(3) + 1 = 10 Marca el punto (3, 10) y su refl exión en el eje de simetría, (−1, 10). Paso 6 Dibuja una parábola mediante los puntos marcados.
Monitoreo del progresoMonitoreo del progreso Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Haz una gráfi ca de la función. Rotula el vértice y el eje de simetría.
1. f ( x ) = −3( x + 1)^2 2. g ( x ) = 2( x − 2)^2 + 5 3. h ( x ) = x^2 + 2 x − 1 4. p ( x ) = − 2 x^2 − 8 x + 1
Asegúrate de incluir el signo negativo al escribir la expresión para la coordenada x del vértice.
x
y
2
− 2
4 (1, – 2)
− 2 ( , ) x = 1
Sección 2.2 Características de las funciones cuadráticas 59
Cuando la gráfi ca de una función cuadrática tiene por lo menos una intersección con el eje x , la función se puede escribir en forma de intersección , f ( x ) = a ( x − p )( x − q ),
La intersección con el eje x de una gráfica es la coordenada x de un punto donde la gráfica se interseca con el eje x. Ocurre donde f ( x ) = 0.
Haz una gráfi ca de f ( x ) = −2( x + 3)( x − 1). Rotula las intersecciones con el eje x , el vértice y el eje de simetría.
Paso 1 Identifica las intersecciones con el eje x. Las intersecciones con el eje x son p = −3 y q = 1, entonces la parábola pasa por los puntos (−3, 0) y (1, 0). Paso 2 Halla las coordenadas del vértice.
x = p —^ +^ q 2
f (−1) = −2(− 1 + 3)(− 1 − 1) = 8 Entonces, el eje de simetría es x = −1 y el vértice es (−1, 8). Paso 3 Dibuja una parábola que pase por el vértice y los puntos donde ocurren las intersecciones con el eje x.
Monitoreo del progreso (^) Ayuda en inglés y español en BigIdeasMath.com
Haz una gráfi ca de la función. Rotula las intersecciones del eje x , el vértice y el eje de simetría.
6. f ( x ) = −( x + 1)( x + 5) 7. g ( x ) = (^) —^14 ( x − 6)( x − 2)
Recuerda que las intersecciones con el eje x de la gráfica de f ( x ) = a ( x − p ) ( x − q ) son p y q , no − p y − q.
Verifica Puedes verificar tu respuesta generando una tabla de valores para f en una calculadora gráfica. X Y 1
X=-
-4 - 0 6 8 6 0
0 1 2
intersección con el eje x (^) Los valores muestran simetría alrededor de x = −1. intersección con el eje x Entonces, el vértice es (−1, 8).
ConceptoConcepto EsencialEsencial
● Dado que f ( p ) = 0 y f ( q ) = 0, p y q son las intersecciones con el eje x de la gráfi ca de la función. ● El eje de simetría está en el medio de ( p , 0) y ( q , 0). Entonces, el eje de simetría es x = p + q — 2
● La parábola se abre hacia arriba cuando a > 0 y se abre hacia abajo cuando a < 0.
x
y
( q , 0) ( p , 0)
x =
y = a ( x – p )( x – q )
p + q 2
x
y
2
4
6
2
(–3, 0) (1, 0)
(–1, 8)
− 4 − 2
x = – 1
60 Capítulo 2 Funciones cuadráticas
La parábola muestra la trayectoria de tu primer lanzamiento de golf, donde x es la distancia horizontal (en yardas) y y es la altura correspondiente (en yardas). La trayectoria de tu segundo lanzamiento se puede representar mediante la función f ( x ) = −0.02 x ( x − 80). ¿Qué tiro recorre mayor distancia antes de llegar al suelo? ¿Cuál tiene una trayectoria más alta?
trayectorias de dos tiros de golf. Te piden que determines qué tiro recorre una mayor distancia antes de llegar al suelo y qué tiro tiene una trayectoria más alta.
del eje x. Determina cuán alto llega cada tiro hallando el valor máximo de cada función. Luego, compara los valores.
Primer tiro: La gráfi ca muestra que las intersecciones con el eje x son 0 y 100. Entonces, la pelota recorre 100 yardas antes de llegar al suelo.
y
100 yd
25 yd
x
Dado que el eje de simetría está a medio camino entre (0,0) y (100,0), el eje de simetría es x =
— 2
= 50. Entonces, el vértice es (50, 25) y la altura máxima es 25 yardas. Segundo tiro: Al reescribir la función en forma de intersección como f ( x ) = −0.02( x − 0)( x − 80), puedes ver que p = 0 y q = 80. Entonces, la bola recorre 80 yardas antes de llegar al suelo. Para hallar la altura máxima, halla las coordenadas del vértice.
x = p + q — 2
— 2
f (40) = −0.02(40)(40 − 80) = 32 La altura máxima del segundo tiro es 32 yardas. Dado que 100 yardas > 80 yardas, el primer tiro recorre mayor distancia. Dado que 32 yardas > 25 yardas, el segundo tiro recorre mayor altura.
de la función que represente la trayectoria del segundo tiro y la recta y = 25, que representa la altura máxima del primer tiro. La gráfi ca se eleva por encima de y = 25, entonces el segundo tiro recorre mayor altura. ✓
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8. ¿QUÉ PASA SI? La gráfica de tu tercer tiro es una parábola que pase por el origen que alcanza una altura máxima de 28 yardas cuando x = 45. Compara la distancia que recorre antes de llegar al suelo con las distancias de los dos primeros tiros.
x
y
(0, 0)
(50, 25)
(100, 0)
90 0
0
40
y = 25
f
62 Capítulo 2 Funciones cuadráticas
ANÁLISIS DE ERRORES En los Ejercicios 33 y 34, describe y corrige el error cometido al analizar la gráfi ca de y = 4 x^2 + 24 x − 7.
33. La coordenada x del vértice es
x = — b 2 a
✗
La intersección con el eje y de la ✗ gráfica es el valor de c, que es 7.
REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS En los Ejercicios 35 y 36, x es la distancia horizontal (en pies) y y es la distancia vertical (en pies). Halla e interpreta las coordenadas del vértice.
35. La trayectoria de una pelota de básquetbol lanzada en un ángulo de 45° se puede representar mediante y = −0.02 x^2 + x + 6. 36. La trayectoria de un lanzamiento de bala en un ángulo de 35° se puede representar mediante y = −0.01 x^2 + 0.7 x + 6.
x
35 °
y
37. ANALIZAR ECUACIONES ¿La gráfi ca de qué función tiene el mismo eje de simetría que la gráfica de y = x^2 + 2 x + 2?
38. USAR LA ESTRUCTURA ¿Qué función representa la parábola más amplia? Explica tu razonamiento.
En los Ejercicios 39–48, halla el valor mínimo o máximo de la función. Describe el dominio y el rango de la función y dónde la función es ascendente y descendente. (Consulta el Ejemplo 3).
39. y = 6 x^2 − 1 40. y = 9 x^2 + 7 41. y = − x^2 − 4 x − 2 42. g ( x ) = − 3 x^2 − 6 x + 5 43. f ( x ) = − 2 x^2 + 8 x + 7 44. g ( x ) = 3 x^2 + 18 x − 5 45. h ( x ) = 2 x^2 − 12 x 46. h ( x ) = x^2 − 4 x 47. y = 1 — 4 x^2 − 3 x + 2 48. f ( x ) = 3 — 2 x^2 + 6 x + 4 49. RESOLVER PROBLEMAS La trayectoria de un clavadista se representa mediante la función f ( x ) = − 9 x^2 + 9 x + 1, donde f ( x ) es la altura del clavadista (en metros) sobre el agua y x es la distancia horizontal (en metros) desde el extremo del trampolín.
a. ¿Cuál es la altura del trampolín? b. ¿Cuál es la altura máxima del clavadista? c. Describe dónde el clavadista va en ascendente y dónde va en descendente.
50. RESOLVER PROBLEMAS El torque de motor y (en pies–pulgadas) de un modelo de carro está dado por y = −3.75 x^2 + 23.2 x + 38.8, donde x es la velocidad del motor (en miles de revoluciones por minuto).
a. Halla la velocidad de motor que maximice el torque. ¿Cuál es el torque máximo? b. Explica qué pasa con el torque del motor al aumentar la velocidad del motor.
CONEXIONES MATEMÁTICAS En los Ejercicios 51 y 52, escribe una ecuación para el área de la figura. Luego determina la máxima área posible de la figura.
51. 52.
w
20 – w b
6 – b
Sección 2.2 Características de las funciones cuadráticas 63
En los Ejercicios 53–60, haz una gráfi ca de la función. Indica la intersección (o intersecciones) con el eje x , el vértice y el eje de simetría. (Consulta el Ejemplo 4).
53. y = ( x + 3)( x − 3) 54. y = ( x + 1)( x − 3) 55. y = 3( x + 2)( x + 6) 56. f ( x ) = 2( x − 5)( x − 1) 57. g ( x ) = − x ( x + 6) 58. y = − 4 x ( x + 7) 59. f ( x ) = −2( x − 3)^2 60. y = 4( x − 7)^2
USAR HERRAMIENTAS En los Ejercicios 61–64, identifica las intersecciones con el eje x de la función y describe dónde la gráfi ca es ascendente y descendente. Usa una calculadora gráfi ca para verifi car tu respuesta.
61. f ( x ) = 1 — 2 ( x − 2)( x + 6) 62. y = 3 — 4 ( x + 1)( x − 3) 63. g ( x ) = −4( x − 4)( x − 2) 64. h ( x ) = −5( x + 5)( x + 1) 65. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Un jugador de fútbol patea la pelota en dirección del arco contrario. La altura de la pelota aumenta hasta que alcanza una altura máxima de 8 yardas, alejada 20 yardas del jugador. Una segunda patada está representada en y = x (0.4 − 0.008 x ). ¿Cuál patada hace que la pelota avance más antes de tocar el suelo? ¿Cuál patada hace que alcance más altura? (Consulta el Ejemplo 5). 66. REPRESENTAR CON MATEMÁTICAS Aunque un campo de fútbol parece ser plano, algunos en realidad tiene la forma de una parábola para que la lluvia escurra hacia ambos lados. El corte transversal de un campo se puede representar mediante y = −0.000234 x ( x − 160), donde x y y se miden en pies. ¿Cuál es el ancho del campo? ¿Cuál es la altura máxima de la superfi cie del campo?
Dibujo no hecho a escala
y superficie del campo de fútbol
x
67. RAZONAR Los puntos (2, 3) y (–4, 2) corresponden a la gráfi ca de una función cuadrática. Determina si puedes usar estos puntos para hallar el eje de simetría. Si no es así, explica. Si puedes usarlos, escribe la ecuación del eje de simetría. 68. FINAL ABIERTO Escribe dos funciones cuadráticas diferentes en forma de intersección cuyas gráficas tengan el eje de simetría x = 3. 69. RESOLVER PROBLEMAS Una tienda de música en línea vende aproximadamente 4000 canciones cada día cuando cobra $1 por canción. Por cada aumento de $0.05, se venden aproximadamente 80 canciones menos por día. Usa el modelo verbal y la función cuadrática para determinar cuánto debe cobrar por canción la tienda para maximizar los ingresos diarios.
Ingresos (dólares)
Precio (dólares/canción) ⋅^
Ventas (canciones)
R ( x ) = (1 + 0.05 x ) (^) ⋅ (4000 − 80 x )
70. RESOLVER PROBLEMAS Una tienda de artículos electrónicos vende 70 cámaras digitales por mes, a un precio de $320 cada una. Por cada $20 menos en el precio, se venden aproximadamente 5 cámaras más. Usa el modelo verbal y la función cuadrática para determinar cuánto debería cobrar por cámara la tienda para maximizar los ingresos mensuales.
Ingresos (dólares) =^
Precio (dólares/cámara) ⋅^
Ventas (cámaras)
R ( x ) = (320 − 20 x ) (^) ⋅ (70 + 5 x )
71. SACAR CONCLUSIONES Compara las gráfi cas de las tres funciones cuadráticas. ¿Qué observas? Reescribe las funciones f y g en forma estándar para justifi car tu respuesta. f ( x ) = ( x + 3)( x + 1) g( x ) = ( x + 2)^2 − 1 h ( x ) = x^2 + 4 x + 3 72. USAR LA ESTRUCTURA Escribe la función cuadrática f ( x ) = x^2 + x − 12 en forma de intersección. Haz una gráfi ca de la función. Indica las intersecciones con el eje x , la intersección con el eje y , el vértice y el eje de simetría. 73. RESOLVER PROBLEMAS Un ratón saltador de las maderas salta a lo largo de una trayectoria parabólica dada por y = −0.2 x^2 + 1.3 x, donde x es la distancia horizontal (en pies) recorrida por el ratón y y es la altura correspondiente (en pies). ¿Puede el ratón saltar una cerca de 3 pies de altura? Justifi ca tu respuesta.
Dibujo no hecho a escala x
y
