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[Versión 9 de julio de 2021]
Problemas resueltos de la relación 2 (Capacidad)
En todos los problemas tomamos K 0 = (^4) πε^10 ≃ 9 · 109 N m^2 /C^2 Problema 1. Tres condensadores idénticos se conectan de modo que su capacidad equivalente máxima es 15 μF. a) Describe cómo se han combinado los condensadores. b) Existen otras tres formas de combi- nar los condensadores en un circuito. ¿Cuáles son las capacidades equivalentes en cada una de esas tres combinaciones?
Solución Tres condensadores idénticos de capacidad C pueden conectarse solo de cuatro formas distintas:
(A) (B) (C) (D)
En cada caso la capacidad equivalente es:
Ceq. (A) =
1 C +^
1 C +^
1 C
3 C
⇒ Ceq. (A) =
C (1)
Ceq. (B) = C + C¯ = C +
1 C +^
1 C
= C +
C ⇒ Ceq. (B) =
C (2)
Ceq. (C) =
1 C +^
1 Cˆ
1 C +^
1 C+C
3 2
1 C
⇒ Ceq. (C) =
C (3)
Ceq. (D) = C + C + C ⇒ Ceq. (D) = 3C (4)
a) Si se han combinado para dar la máxima capacidad es que se ha empleado la configuración (D). b) Si Ceq. (D) = 15 μF, podemos despejar la capacidad de cada uno de los condensadores empleados:
3 C = 15 μF ⇒ C = 5 μF. (5)
Y si sustituimos en el resto:
Ceq. (A) =
μF , Ceq. (B) =
μF , Ceq. (C) =
μF. (6)
Problema 2. Cuatro condensadores están conectados como se muestra en la Figura. a) Encuentra la ca- pacidad equivalente entre los puntos a y b. b) Calcula la carga de cada uno de los condensadores si ∆Vab = 15 V. c) Calcula la energía total almacenada.
Solución
Comenzamos poniendo nombre a los condensadores de modo que C 1 = 15 μF, C 2 = 3 μF, C 3 = 6 μF, C 4 = 20 μF. También introducimos el punto auxiliar m. a) Comenzamos a asociar capacidades. Primero C 1 con C 2 que están en serie:
C 12 =
1 C 1 +^
1 C 2
1 15 μF +^
5 15 μF
μF (= 2, 5 μF) (7)
Ahora C 12 y C 3 están en paralelo, luego
C 123 = C 12 + C 3 =
μF + 6 μF =
μF (≃ 8 , 5 μF) (8)
Por último, C 123 y C 4 están en serie, de nuevo usamos la fórmula de las inversas
CT =
1 C 123 +^
1 C 4
2 17 μF +^
1 20 μF
⇒ CT =
μF (≃ 5 , 96 μF). (9)
b) Vamos a usar las siguientes propiedades de las asociaciones de condensadores:
❏ Cuando dos condensadores están conectados en serie: la diferencia de potencial total es la suma de las correspondientes a cada condensador y la carga almacenada en ambos coincide.
❏ Cuando están en paralelo ocurre lo contrario: la suma de las cargas da la carga de la capacidad equi- valente y las diferencias de potencial en ambos coinciden.
Para hallar las cargas vamos desandando el camino.
Problema 3. Un condensador de placas paralelas separadas por aire tiene una capacidad de 0 , 14 μF. Las placas están separadas entre sí 0 ,5 mm. a) ¿Cuál es el área de cada placa? b)¿Cuál es la diferencia de potencial si el condensador se carga con 3 , 2 μC? c) ¿Cuánta energía hay almacenada? d) Si el campo eléctrico alcanza el valor de 3 × 106 V/m el aire se ioniza y se convierte en conductor. ¿Qué cantidad de carga se puede acumular en el condensador antes de que se produzca la ruptura del mismo?
Solución La situación es la que se refleja en la figura:
Algunas expresiones útiles a tener en cuenta, siendo σ la densidad superficial de las placas, Q la carga almacenada (sin signo), S la superficie de las placas y L la distancia entre ellas:
|E⃗ | =
|σ| ε 0
Q
ε 0 S
∆V = | E⃗ |L =
Q
ε 0 S
L ⇒ C =
Q
∆V
ε 0 S L
4 πK 0
S
L
Y nos dicen que C = 0, 14 μF y L = 0,5 mm. a) Para hallar la superficie despejamos de la fórmula de la capacidad:
S = 4πK 0 LC ⇒ S ≃ 7 ,91 m^2. (26)
b) Conocida la carga y la capacidad, la diferencia de potencial es trivial de calcular:
∆V =
3 , 2 μC 0 , 14 μF
⇒ ∆V =
V ≃ 22 ,86 V. (27)
c) La energía almacenada viene dada por:
U =
Q^2
C
⇒ U =
μJ ≃ 36 , 57 μJ. (28)
d) El campo eléctrico máximo se alcanzará cuando las placas almacenen la máxima carga (o equivalente- mente, cuando la diferencia de potencial sea máxima).
|E⃗max| =
Qmax ε 0 S
= 4πK 0
Qmax S
⇒ Qmax =
|E⃗ max|S 4 πK 0
y sustituyendo los datos obtenemos
Qmax ≃ 2 , 1 · 10 −^4 C = 210 μC (30)
Problema 4. Cierto dieléctrico de constante κ = 24 puede resistir un campo eléctrico de 4 × 107 V/m. Con este dieléctrico se quiere construir un condensador de placas paralelas de 0 , 1 μF de capacidad que pueda resistir una diferencia de potencial de 2000 V. a) ¿Cuál es la separación mínima de las placas? b) ¿Cuál debe ser el área de las placas? c) ¿Cuánto vale la densidad de carga inducida en cada cara del dieléctrico?
Solución a) La diferencia de potencial en un condensador de placas paralelas viene dada por
∆V = |E⃗ |L , (31)
donde L es la distancia entre las placas. Evaluando en el campo eléctrico de ruptura la separación entre placas necesaria para que se resista la diferencia de potencial dada es:
L =
|E⃗ max| ∆Vmax
4 · 107 V/m 2000 V
⇒ L = 0,05 mm. (32)
b) La capacidad viene dada por (ojo que el campo eléctrico no está en el vacío)
C =
εS L
κε 0 S L
κ 4 πK 0
S
L
De aquí despejamos la superficie
S =
4 πK 0 LC κ
⇒ S =
899 π 12
cm^2 ≃ 235 ,36 cm^2. (34)
c) En el momento en que se alcanza la ruptura:
C =
Qmax ∆Vmax
⇒ Qmax = 200 μC , (35)
y esto, junto con el resultado del apartado anterior nos permite hallar la densidad superficial de carga:
|σ| =
Qmax S
⇒ |σ| ≃ 0 , 85 μC/cm^2 = 8, 5 · 10 −^3 C/m^2. (36)
Problema 6. Dos condensadores idénticos de placas paralelas y capacidad 4 μF cada uno, se conectan en serie a través de una batería de 24 V. a) Calcula la carga y la energía almacenada en cada uno de los los condensadores. Un dieléctrico de constante κ = 4, 2 se inserta entre las placas de uno cualquiera de ellos sin desconectarlos de la batería. b) Calcula la carga y la diferencia de potencial sobre cada condensador. c) Calcula cómo cambia la energía total almacenada en los condensadores.
Solución a) Sea ∆V la diferencia de potencial suministrada por la batería (24 V). Vamos a referirnos a los condensadores con una etiqueta, uno va a ser el condensador 1 y el otro el conden- sador 2. Inicialmente son identicos, así que C 1 = C 2 ≡ C. Al estar en serie, se cumple:
Qeq = Q 1 = Q 2 , (45) ∆V = ∆Veq = ∆V 1 + ∆V 2 , (46)
Ceq =
1 C 1 +^
1 C 2
1 C +^
1 C
C. (47)
Como las cargas en ambos son iguales nos centramos en una de ellas:
Q 1 = Qeq = Ceq∆Veq =
C∆V ⇒ Q 1 = Q 2 = 48 μC. (48)
Dado que ambos tienen igual capacidad y carga, las energías almacenadas serán iguales:
U 2 = U 1 =
Q^21
C
⇒ U 1 = U 2 = 288 μJ. (49)
b) Repetimos el problema solo que ahora las capacidades son distintas. Supongamos que C 1 continúa igual, con capacidad C, y sobre C 2 introducimos el dieléctrico, de modo que tendrá una capacidad C¯. Como son condensadores de placas plano paralelas, la capacidad es proporcional a ε, por lo que si lo modi- ficamos con un factor κ, la capacidad se modifica con ese factor, de modo que debe ocurrir:
C^ ¯ = κC. (50)
Ahora tenemos:
Qeq = Q 1 = Q 2 , (51) ∆V = ∆Veq = ∆V 1 + ∆V 2 , (52)
Ceq =
1 C +^
1 C¯
C C¯
C + C¯
κC^2 (1 + κ)C
κ 1 + κ
C. (53)
Las cargas en ambos son iguales de nuevo así que:
Q 1 = Qeq = Ceq∆Veq =
κ 1 + κ
C∆V ⇒ Q 1 = Q 2 = 77, 54 μC. (54)
Para las diferencias usamos la capacidad:
∆V 1 =
Q 1
C
⇒ ∆V 1 = 19,38 V , (55)
∆V 2 =
Q 2
C^ ¯ =^
Q 2
κC
⇒ ∆V 2 = 4,62 V. (56)
c) El cambio de energía es
∆U = Uf − Ui (57)
=
Q^21
C
Q^22
C^ ¯
− 2 × (288 μJ) (58)
(77, 54 μC)^2 4 μF
− 2 × (288 μJ) ⇒ ∆U = 354, 5 μJ (59)
