¡Descarga Euler y coeficientes indeterminados para ecuación diferencial 2º orden - Prof. Vidal y más Apuntes en PDF de Ingeniería Mecánica solo en Docsity!
Matem`atiques 3
Curs 2013-2014/Q1 - Segon examen parcial. 17/01/
Nom: Calculadora:
[MATLAB - 10% de la nota final de l’assignatura]
- [5 punts] Indiqueu quin resultat retorna Matlab per pantalla en executar les seg¨uents comandes. En cas que creieu que alguna comanda no s’executa correctament expliqueu perqu`e donaria error.
a) [0:0.5:2] [0 0.5 1 1.5 2]
b) [1,2,3]*[4,5,6] Error: les dimensions no concorden
c) a=-4; if a > 0 b = 1; else b = -1; end; b b = − 1
d) v = [-1,3,5,2,6,2,8,4,2]; s = 0; for i = 2: s = s+v(i); end; s s = 18
e) g = @(x) x + exp(x
g(2) 56. 5982
- [1 punt] Calculeu el polinomi interpolador pur p(x) que passa pels punts (1, 2), (3, 6) sabent que Matlab retorna els seg¨uents resultats:
polyfit([1,3],[2,6],1) ans = 0.0000 2.0000 p(x) = 2 x
- [2 punts] Escriviu la comanda de matlab (una ´unica l´ınea) tal que
a) Assigni la primera fila de la matriu A a un vector anomenat z z=A(1,:)
b) Calculi la matriu B que en cada posici´o contingui el quadrat de cada coeficient de la matriu A B=A.
- [2 punts] Es vol implementar un nou m
etode per resoldre equacions diferencials ordinaries. Aix´ı com el metode d’Euler ve donat per la formula:
Yi+1 = Yi + h · f (ti, Yi),
el nou m`etode ve donat per:
Yi+1 = Yi + h · f
ti +
h 2
, Yi + k 1
h 2
on k 1 = f (ti, Yi).
Sota teniu la implementaci´o del metode d’Euler. Escriviu al costat una funci´o anomenada RK2 que implementi el nou metode.
function [Y]=Euler(f,a,b,alpha,n) function [Y]=RK2(f,a,b,alpha,n)
h = (b-a)/n; h = (b-a)/n;
t=[a:h:b]; t=[a:h:b];
Y(1) = alpha; Y(1) = alpha;
for i = 1:n for i = 1:n
Y(i+1) = Y(i)+h*f(t(i), Y(i)); k1=f(t(i), Y(i));
end Y(i+1) = Y(i)+hf(t(i)+h/2, Y(i)+k1h/2);
end
Matem`atiques 3
Curs 2013-2014/Q1 - Segon examen parcial. 17/01/
Nom: Calculadora:
- [2.5 punts]
a) [1.25 punts] Trobeu la soluci´o general (expl´ıcita) de l’equaci´o diferencial ordin`aria (EDO):
y′′(t) + 4y(t) =
sin (2t)
b) [1.25 punts] Resoleu utilitzant el m`etode dels coeficients indeterminats l’EDO
y′′(t) + y′(t) − 2 y(t) = 3et^ + 2
Resultats:
a) y(t) = C 1 cos (2t) + C 2 sin (2t) −
t 2
cos (2t) +
ln (| sin (2t)|) sin (2t)
b) y(t) = C 1 et^ + C 2 e−^2 t^ − 1 + tet.
Soluci´o. a) Aquesta ´es una EDO de segon ordre, lineal, a coeficients constants i no homogenia. Per tal de resoldre-la primer resolem l’EDO homogenia associada:
y′′ h (t) + 4yh(t) = 0
L’equaci´o caracter´ıstica ´es s^2 + 4 = 0 que t´e dues arrels complexes conjugades: ± 2 i. Aix´ı doncs, la soluci´o general de l’EDO homog`enia ´es: yh = C 1 cos (2t) ︸ ︷︷ ︸ y 1
+C 2 sin (2t) ︸ ︷︷ ︸ y 2
Ara busquem una soluci´o particular, yp, de l’EDO no homogenia. Utilitzarem el metode de variaci´o de les constants. Per tant, proposem que yp sigui de la forma:
yp = K 1 (t) cos (2t) + K 2 (t) sin (2t)
on, per tal de trobar K 1 (t) i K 2 (t) haurem de resoldre el sistema lineal:
y 1 y 2
y′ 1 y′ 2
K 1 ′
K 2 ′
1 sin (2t)
(^) que en el nostre cas ´es
cos (2t) sin (2t)
−2 sin (2t) 2 cos (2t)
K 1 ′
K 2 ′
1 sin (2t)
Per tal de resoldre aquest sistema podem utilitzar Cramer. Aix´ı doncs, calculem el determinant de la matriu del sistema, W, W = 2 cos^2 (2t) + 2 sin^2 (2t) = 2
i per tant,
K 1 ′ = −
K 2 ′ =
cos (2t) 2 sin (2t)
Finalment, calculem les primitives:
K 1 =
K′ 1 (t)dt = −
dt = −
t 2
K 2 =
K 2 ′(t)dt =
cos (2t) 2 sin (2t)
dt =
ln (| sin (2t)|)
Aix´ı doncs la soluci´o general de l’EDO ´es:
y = yh + yp = C 1 cos (2t) + C 2 sin (2t) −
t ︸︷︷︸^2 K 1 (t)
cos (2t) +
ln (| sin (2t)|) ︸ ︷︷ ︸ K 2 (t)
sin (2t)
Matem`atiques 3
Curs 2013-2014/Q1 - Segon examen parcial. 17/01/
Nom: Calculadora:
- [3 punts]
a) [1.25 punts] Resoleu el problema de valor inicial:
t
y′(t) + 4y(t) = 4
y(0) = 2
b) [1.25 punts] Considereu el problema de valor inicial de l’apartat a). Calculeu una aproximaci´o de y(1) utilitzant el m`etode d’Euler amb 2 passos de temps.
c) [0.5 punts] Calculeu l’error de l’aproximaci´o obtinguda en l’apartat b), tenint en compte que utilitzant la soluci´o de l’apartat a) podeu con`eixer el valor de y(1) exactament. Feu una predicci´o de l’error que obtindr´ıem si utilitzessim 200 passos de temps.
Resultats:
a) y(t) = 1 + e−^2 t
2
b) y(1) ≈ 1
c) error(n = 2) = 0. 135
predicci´o error(n = 200) = 0. 0014
Soluci´o.
a) Hem de resoldre un problema de valor inicial amb una edo de primer ordre lineal. Per calcular la soluci´o general de l’edo utilitzarem el factor integrant. Per a fer-ho, passem la edo a forma can`onica i identifiquem les funcions p(t) i q(t) com es fa a continuaci´o.
t
y′(t)+4y(t) = 4 =⇒ y′(t)+4ty(t) = 4t =⇒
p(t) = 4t −→
p(t)dt = 2t^2 −→ μ(t) = e^2 t
2
q(t) = 4t −→
μ(t)q(t)dt =
4 te^2 t
2 dt = e^2 t
2
Per tant, el factor integrant de la edo ´es μ(t) = e^2 t 2
. Utilitzant aquest factor integrant, sabem que si multipliquem la edo pel factor integrant, aquesta es transforma en
d dt (μ(t)y(t)) = μ(t)q(t).
Comprovem-ho:
d dt
(μ(t)y(t)) =
d dt
e^2 t
2 y(t)
d dt
e^2 t
y(t)+e^2 t
2 y′(t) = 4te^2 t
2 y(t)+e^2 t
2 y′(t) = e^2 t
2 (4ty(t) + y′(t) ︸ ︷︷ ︸ edo
) = e^2 t
2 4 t
Per tant, tenim que
d dt
(μ(t)y(t)) = μ(t)q(t) =⇒ μ(t)y(t) =
μ(t)q(t)dt + C = e^2 t
2
d’on a¨ıllant y(t) tenim que
y(t) =
μ(t)
e^2 t
2
e^2 t^2
e^2 t
2
C
e^2 t^2
= 1 + Ce−^2 t
2 .
Finalment, per determinar el valor de C hem d’imposar la condici´o inicial y(0) = 2, que d´ona lloc a
y(0) = 1 + C = 2 =⇒ C = 1.
Per tant la soluci´o del PVI ´es y(t) = 1 + e−^2 t
2 .
b) Hem de resoldre num`ericament el PVI que t´e per edo
y′(t) + 4ty(t) = 4t =⇒ y′(t) = 4t − 4 ty(t) =⇒ f (t, y) = 4t − 4 ty.
Recordem que la formula per avan¸car en el temps amb el metode d’Euler ´es Yi+1 = Yi + h · f (ti, Yi). En aquest cas tenim t 0 = 0, Tf in = 1, n = 2, h = 0.5 i recordem que f (t, y) = 4t − 4 ty. ti Yi t 0 = 0 Y 0 = y(0) = 2
t 1 = 0. 5 Y 1 = Y 0 + h · f (t 0 , Y 0 ) = 2 + 0. 5 · (4 · 0 − 4 · 0 · 2) = 2 + 0 = 2
t 2 = 1 Y 2 = Y 1 + h · f (t 1 , Y 1 ) = 2 + 0. 5 · (4 · 0. 5 − 4 · 0. 5 · 2) = 2 − 1 = 1 Per tant, obtenim l’aproximaci´o y(1) ≈ Y 2 = 1.
c) Ens demanen que calculem l’error de l’aproximaci´o. Com que coneixem la soluci´o exacta, tenim que
E(n = 2) = y(1) − Y 2 = 1 + e−^2 − 1 = e−^2 = 0. 1353352832 ≈ 0. 135.
Addicionalment, ens demanen que fem una predicci´o de l’error que obtindr´ıem si consider´essim 200 passos de temps, ´es a dir, ˜n = 200. Recordem que l’error global del metode d’Euler convergeix linealment, ´es a dir, que E(h) ≈ Ch o equiva- lentment E(n) ≈ C/n. Per tant, si multipliquem per 100 el nombre de subintervals (passem de 2 a 200), l’error es veura dividit aproximadament per 100. Es a dir´
E(n = 200) ≈
E(n = 2) 100
Per tant, hem de resoldre el sistema
(1) A + B = 1 (2) C − B = 1 (3) 4 A − C = 3
(1) + (2) + (3) 5 A = 5 −→ A = 1, B = 0, C = 1
i tenim que F (s) =
s − 1
s^2 + 4
Per tant
L−^1 {F (s)}(t) = L−^1
s − 1
s^2 + 4
(t) = L−^1
s − 1
(t) +
L−^1
s^2 + 4
(t) = et^ +
sin(2t)
c) Per a resoldre el PVI que ´es de tercer ordre utilitzarem la transformada de Laplace, utilitzant la notaci´o Y (s) = L{y(t)}(s). Si apliquem la transformada de Laplace a l’edo utilitzant la propietat de la transformada de la derivada tenim y′′′(t) − y′′(t) + 4y′(t) − 4 y(t) = 0 obtenim
s^3 Y (s) − s^2 y(0) − sy′(0) − y′′(0) −
s^2 Y (s) − sy(0) − y′(0)
- 4 (sY (s) − y(0)) − 4 Y (s) = 0.
Si substituim les condicions inicials obtenim
s^3 Y (s) − s^2 − 2 s − 1 −
s^2 Y (s) − s − 2
- 4 (sY (s) − 1) − 4 Y (s) = 0
que simplificant queda
Y (s)(s^3 − s^2 + 4s − 4) − s^2 − s − 3 = 0 =⇒ Y (s) =
s^2 + s + 3 s^3 − s^2 + 4s − 4
Per resoldre la edo nom´es ens falta calcular la antitransformada de Y (s). Per aixo hem de transformar la funci´o en fraccions simples. El primer que hem de fer ´es factoritzar el denominador s^3 − s^2 + 4s − 4. Les possibles arrels s´on divisors de 4, per tant poden ser ± 1 , ± 2 , ±4. Per saber quina sera l’arrel, avaluem el polinomi s^3 − s^2 + 4s − 4 en els diferents candidats: s = 1 −→ 13 − 12 + 4 − 4 = 1 − 1 + 4 − 4 = 0 per tant, s = 1 ´es una arrel que podem utilitzar per fer Ruffini. 1 -1 4 - 1 1 0 4 1 0 4 0 Per tant, tenim que s^3 − s^2 + 4s − 4 = (s − 1)(s^2 + 4), i tenim que
Y (s) =
s^2 + s + 3 s^3 − s^2 + 4s − 4
s^2 + s + 3 (s − 1)(s^2 + 4)
Aquesta funci´o ´es precisament la funci´o de l’apartat b), de la que ja hav´ıem calculat l’antitransformada, per tant y(t) = L−^1 {Y (s)}(t) = et^ +
sin(2t).
Matem`atiques 3
Curs 2013-2014/Q1 - Segon examen parcial. 17/01/
Nom: Calculadora:
- [2 punts] Volem resoldre l’equaci´o diferencial ordin`aria a coeficients no constants:
ty′′(t) − ty′(t) + y(t) = 2
amb les condicions inicials: y(0) = 2, y′(0) = − 4. Per tal de fer-ho seguiu els seg¨uents passos:
a) [1 punt] Calculeu la transformada de Laplace de l’equaci´o diferencial ordin`aria anterior tenint en compte que: L{tf n)(t)} = −
d ds
L{f n)(t)}
L’equaci´o que obtindreu sera una equaci´o diferencial ordinaria de primer ordre on la funci´o inc`ognita ´es Y (s) = L{y(t)}. Escriviu aquesta EDO de la manera m´es simplificada possible.
b) [0.5 punts] Resol l’equaci´o diferencial obtinguda a l’apartat a).
c) [0.5 punts] Calculeu l’antitransformada de Y (s) i utilitzeu la segona condici´o inicial donada al problema per donar la soluci´o particular del problema de valor inicial plantejat.
Ajuda: Potser necessiteu alguna/es de les seg¨uents transformades i propietats de les transformades:
L{ 1 } =
s
, L{t} =
s^2 L{f (n)(t)} = snF (s) − sn−^1 f (0) −... − sf (n−2)(0) − f (n−1)(0) L{tf (t)} = − (^) dsd F (s)
Resultats:
a) Y ′(s) +
s
Y (s) =
s^2
b) Y (s) =
s
C
s^2
c) y(t) = 2 − 4 t
Soluci´o. a) Utilitzant l’ajuda observem que:
L{ty′(t)} = −
d ds L{y′(t)} = −
d ds (sY (s) − y(0)) = −(Y (s) + sY ′(s)) = −Y (s) − sY ′(s)
L{ty′′(t)} = −
d ds
L{y′′(t)} = −
d ds
(s^2 Y (s) − sy(0) − y′(0)) = −(2sY (s) + s^2 Y ′(s) − y(0) ︸︷︷︸ =
) = − 2 sY (s) − s^2 Y ′(s) + 2
Aix´ı doncs, si fem la transformada de Laplace de l’EDO donada obtindrem:
L{ty′′(t) − ty′(t) + y(t)} = L{ 2 }
on aplicant la propietat de linealitat obtenim
L{ty′′(t)} − L{ty′(t)} + L{y(t)} = L{ 2 }
que podem escriure com
− 2 sY (s) − s^2 Y ′(s) + 2 − (−Y (s) − sY ′(s)) + Y (s) =
s
(s − s^2 )Y ′(s) + (2 − 2 s)Y (s) + 2 =
s
s(1 − s)Y ′(s) + 2(1 − s)Y (s) =
2(1 − s) s
Y ′(s) +
s
Y (s) =
s^2
que observem ´es una EDO de primer ordre lineal.
