7. Árboles IV, Apuntes de Ingeniería Infórmatica

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ING. INFORMÁTICA. ESTRUCTURA DE DATOS Y DE LA INFORMACIÓN. Nuria Alv

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Tema 7.

ESTRUCTURAS

DE DATOS

AVANZADAS.

ÁRBOLES

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

ÁRBOLES B

Un árbol B de orden n es aquel árbol de búsqueda que cumple las siguientes propiedades:

• Cada página o nodo contiene como máximo 2n llaves, claves o elementos.
• Cada página contiene como mínimo n llaves, excepto la raíz que puede contener sólo una.
• Cada página o es una página de hoja o tiene m + 1 descendientes, ramas o punteros, siendo

m el número de llaves en esta página.

• Todas las páginas de hoja aparecen al mismo nivel

Se utilizan para:

• tratamiento de datos en memoria principal.
• creación de bases de datos.

Las operaciones que nos encontramos son Creación, Búsquedas, Inserciones, Eliminaciones

No son árboles necesariamente binarios. Si son binarios se llaman árboles BB, (árboles B binarios).

Dado que todas sus hojas tienen que tener el mismo nivel, son árboles necesariamente equilibrados.

Los árboles B deben cumplir la condición de árbol de búsqueda de manera que a la izquierda de cada

llave se encuentran las llaves menores que ella, y a la derecha las que tienen valores mayores. Esto

es así dentro de una página como entre ellas.

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

CREACIÓN DE ÁRBOLES B

Se busca si la clave a insertar se encuentra en el árbol para lo cual se sigue el camino de búsqueda

Si la clave no está en el árbol, la búsqueda termina en un nodo hoja. La nueva clave se inserta o se

intenta insertar en el nodo hoja

Si no está lleno el nodo hoja, la inserción es posible en dicho nodo y finaliza el proceso

Si la hoja está llena, la inserción no es posible en dicho nodo. Se divide entonces el nodo (incluyendo

la clave que estamos intentando insertar) en dos nodos en el mismo nivel del árbol, excepto la clave

mediana que no se incluye en ninguno de los dos nodos, sino que se sube en el árbol por el camino

de búsqueda para a su vez insertarla en el nodo antecedente. El árbol, por tanto crece hacia arriba.

Ejemplo

Vamos a crear un árbol B de orden 2 con la siguiente serie: 6, 11, 5, 4, 8, 9, 12, 21, 14, 10, 19, 28, 3,

17, 32, 15, 16, 26, 27

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

Ejemplo

Vamos a crear un árbol con la siguiente serie: 6, 11, 5, 4, 8, 9, 12, 21, 14, 10, 19, 28, 3, 17, 32, 15,

16, 26, 27

Primero

Segundo

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

Ejemplo

Vamos a crear un árbol con la siguiente serie: 6, 11, 5, 4, 8, 9, 12, 21, 14, 10, 19, 28, 3, 17, 32, 15,

16, 26, 27

cuarto

quinto

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

Ejemplo

Vamos a crear un árbol con la siguiente serie: 6, 11, 5, 4, 8, 9, 12, 21, 14, 10, 19, 28, 3, 17, 32, 15,

16, 26, 27

quinto

sexto

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

Ejemplo. Vamos a insertar la clave 42

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

Serie: 30, 60, 45, 8, 22, 35, 4, 28, 52, 33, 13, 39, 41, 43, 24, 25, 15

Primero

Segundo

Tercero

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

Serie: 30, 60, 45, 8, 22, 35, 4, 28, 52, 33, 13, 39, 41, 43, 24, 25, 15

Sexto

Séptimo

Octavo

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

Serie: 30, 60, 45, 8, 22, 35, 4, 28, 52, 33, 13, 39, 41, 43, 24, 25, 15

Noveno

Décimo

Undécimo

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

Serie: 30, 60, 45, 8, 22, 35, 4, 28, 52, 33, 13, 39, 41, 43, 24, 25, 15

Duodécimo

Decimotercero

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Tema 7. ESTRUCTURAS DE DATOS AVANZADAS. ÁRBOLES

ELIMINACIÓN EN ÁRBOLES B

Una vez buscado el elemento a eliminar se pueden dar dos casos:

• El elemento a eliminar se encuentra en una página hoja. La eliminación entonces es directa.
• El elemento a eliminar no se encuentra en una página hoja. Se sustituye entonces el

elemento de una página hoja tal que se mantenga la característica de árbol de búsqueda. Se

toma el elemento más a la derecha de la página de hoja del subárbol izquierdo o el elemento

más a la izquierda de la página hoja del subárbol derecho. (mayor de los menores o menor de

los mayores)

• Es imprescindible que como mínimo cada página tenga n elementos, por lo tanto si se

produce subocupación, se combinan dos páginas contiguas más el que las apunta desde la

página padre

• Si hay sobreocupación se sube el elemento central.

Ejemplo de eliminación. Llaves 30,35 y 60

Inicial

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