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Tipo: Ejercicios
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Jhonathan Ferney Moreno
Vanessa Ante Ortiz
Luis Fernando Zambrano Egue
Corporación Universitaria Iberoamericana
Facultad de Ingeniería - Ingeniería Industrial Virtual
Miguel Garzón
Ecuaciones Diferenciales
7 de diciembre de 2022
Consideremos una partícula que se mueve sin resistencia a lo largo de una recta, que puede ser
el eje x, bajo la acción de una fuerza localizada en el origen 0. Supongamos que la fuerza es
proporcional al desplazamiento x de la partícula de 0 en un tiempo t; suponiendo x positiva a la
derecha y negativa a la izquierda de 0. Puesto que la fuerza es proporcional a la aceleración, la
aceleración d2x/dt2 seria proporcional al desplazamiento x. Si la partícula se encuentra a la derecha
de 0, el desplazamiento es positivo y la fuerza (hacia la izquierda) y la aceleración son negativas;
si la partícula se encuentra a la izquierda de 0, el desplazamiento es negativo y la fuerza (hacia la
derecha) y la aceleración son positivas; luego la aceleración y el desplazamiento son opuestos, y la
ecuación diferencial que define el movimiento es
𝑑
2
𝑥
= - kx
𝑑𝑡
2
donde k es la constante de proporcionalidad y es positiva. Su solución es
ec
1
2
cos 𝑑𝑡
donde
ec
𝑘. Sea A= √𝑐
2
2
y cos (u) =
𝑐
1
, sen(u) =
1 2 1 2
𝐴
𝑐
2
, sen(u) arctan
𝑐
2
𝐴 𝑐 1
Se han reflejado problemas únicamente de resortes donde se consideran fuerzas de restitución
y amortiguamiento; vamos a revisar casos en que pueden actuar otras fuerzas externas que
dependen del tiempo. Estas fuerzas suelen presentarse, por ejemplo, cuando el resorte sube y baja
de manera prescrita, como un movimiento periódico, o bien cuando se empuja ligeramente al
peso cada vez que alcanza su posición más baja. Si designamos por F(t) la fuerza externa, fuerza
de amortiguamiento proporcional a la velocidad,
la ecuación diferencial del movimiento del resorte es
𝑊 𝑑
2
𝑥
𝑑𝑥
𝑔 𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
Es decir
𝑊 𝑑
2
𝑥
𝑑𝑥
+kx =F(t)
𝑔 𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
Para iniciar se deben usar dos enfoques principales:
a) Enfoque experimental: este enfoque se usa cuando el equipo físico del proceso industrial está
disponible.
b) Enfoque teórico: se usa generalmente cuando se requiere diseñar un controlador para un
proceso industrial cuya planta aún no ha sido construida.
Necesidad del modelamiento matemático para el control de procesos:
*Para diseñar un sistema de control es necesario conocer la dinámica de la planta ante cambios en
las variables de entrada y perturbaciones externas. Si la planta no está construida entonces para
conocer su dinámica es necesario tener el modelo matemático de la planta y en el caso de que la
planta física exista la aplicación del método experimental es muy costosa por lo que también es
útil tener el modelo matemático de la planta.
*Generalmente lo que el diseñador necesita es una descripción sencilla de cómo reacciona el
proceso ante cambios en la variable de entrada y esto es lo que el modelo matemático provee al
diseñador del sistema de control.
Donde H es la entalpia total del líquido del tanque. Además,
H= pVcp(T-Tref) = pAhcp(T-Tref),
donde cρ es el calor especifico del líquido del tanque, Tref es la temperatura de referencia, donde
la entalpia especifica del líquido se asume cero. Las variables de estado: h y T, y los parámetros
constantes: p, A, cp,Tref.
Vergel Ortega, M., Rincón Leal, O.L. and Ibarguen Mondragón, E. (2022) Ecuaciones
diferenciales Y aplicaciones, Sistema Institucional de Recursos Digitales - Universidad de
Nariño. Editorial Universidad de Nariño. Available at: https://sired.udenar.edu.co/7344/
(Accessed: December 7, 2022).
