Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Este documento trata sobre los límites indeterminados de las funciones, específicamente sobre las formas indeterminadas cero sobre cero y infinito sobre infinito. El texto explica cómo determinar estos límites a través de ejemplos y la regla de L'Hôpital. Además, se define la función creciente y se estudian los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Tipo: Monografías, Ensayos
1 / 18
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR SAN CRISTÓBAL-ESTADO TÁCHIRA
DIANA CAROLINA BECERRA ROSALES C.I. V-19.769. ADMINISTRACION DE EMPRESAS Sección: 4012
El límite de la función en el punto , es el valor al que se acercan las imágenes (las , puntos del codominio) cuando los puntos del dominio (las ) se acercan al valor. Es decir, diremos que es el límite de cuando los puntos del dominio tienden a es. A la proposición es el límite de cuando tiende a , la denotamos así:
Una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de límites y cuyo resultado no se puede conocer de antemano. Por ejemplo, el límite de una función que tiende a 3/03/0 es ∞∞. Sin embargo, el límite de una función que tiende a 0/00/0 puede tomar distintos valores. Por esta razón, decimos que 0/00/0 es una forma indeterminada o una indeterminación. La indeterminación 0/00/0 aparece en cocientes de funciones que normalmente se pueden simplificar, evitando así la indeterminación. Por ejemplo, El cociente de ceros aparece en este límite porque 1 es una raíz de ambos polinomios. Como se trata de una raíz común, si factorizamos los polinomios, podemos simplificar el cociente:
Así, se evita la indeterminación: Regla de L'Hôpital La indeterminación 0 dividido entre 0 es una de las dos indeterminaciones para las que se puede aplicar la regla de L'Hôpital: siendo aa un número finito o infinito. La otra indeterminación para la que se puede aplicar la regla es ∞/∞∞/∞. Por ejemplo, Como la derivada del seno es el coseno y la derivada de xx es 11 , aplicando L'Hôpital tenemos que el límite anterior es 11 :
Al considerar el cociente entre polinomios cuando la variable tiende infinito, se puede determinar el límite considerando el grado de los polinomios. Esta situación se puede generalizar para cualquier cociente entre funciones considerando el grado de ambas funciones. Veamos entonces con los siguientes ejemplos como determinar este tipo de límites.
Es decir, la función f es creciente si para cualquier par de puntos x 1 y x 2 del dominio tales que x 1 < x 2 , se cumple que f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ). También se puede estudiar el crecimiento a partir de la derivada. Una función f es creciente si para todo punto x del dominio la derivada es positiva, es decir f ’( x ) ≥ 0. La función es estrictamente creciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x 1 y x 2 tales que x 1 < x 2 , se cumple que f ( x 1 ) < f ( x 2 ). Función creciente en un intervalo Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [ a , b ]. Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x 1 y x 2 del intervalo tales que x 1 < x 2 , se cumple que f ( x 1 ) < f ( x 2 ). Es decir, es creciente en [ a , b ] si al aumentar la variable independiente x , aumenta la variable dependiente y.
Ejemplo de crecimiento en un intervalo Función creciente en un punto Sea una función f derivable en el punto a. La función f es creciente en a si f ’( a ) > 0. Es decir, es creciente en a si la derivada es positiva. Ejemplo de crecimiento en un punto Intervalos de crecimiento y decrecimiento Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los trozos del dominio en los que la función crece o decrece. Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se realizará el siguiente procedimiento.
Ejemplo de función creciente en un punto Demostrar que la función f ( x )= x^3 -5 x^2 +5 x +4 es creciente en 0 y 3. Primero calcularemos la derivada de f : Veamos en el punto x =0. La derivada da f ’(0)=5 ≥ 0, por lo que f es creciente en 0. Finalmente estudiaremos el punto x =3. La derivada da f ’(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3.
Una función decreciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x , disminuye la variable dependiente y.
Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x 1 y x 2 del intervalo tales que x 1 < x 2 , se cumple que f ( x 1 ) > f ( x 2 ). Es decir, es decreciente en [ a , b ] si al aumentar la variable independiente x , disminuye la variable dependiente y. Ejemplo de decrecimiento en un intervalo Función decreciente en un punto Sea una función f derivable en el punto a. La función f es decreciente en a si f ’( a ) < 0. Es decir, es decreciente en a si la derivada es negativa. Ejemplo de decrecimiento en un punto Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los trozos del dominio en los que la función crece o decrece. Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se realizará el siguiente procedimiento.
En [-2,-1], los extremos del intervalo son a =-2 y b =-1. Veamos por ejemplo en el x 1 =-1, y x 2 =-1,2. La función en -1,8 es mayor que en -1,2, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x 1 y x 2 , por lo que la función es decreciente en [-2,-1]. Ejemplo de función decreciente en un punto Comprobar que la función f ( x )= x^3 -5 x^2 +5 x +4 es creciente en el punto x =2. Primero calcularemos la derivada de la función f :
Veamos en el punto x =0. La derivada da f ’(0)=5 ≥ 0, por lo que f es creciente en 0. Estudiaremos en el punto x =2. La derivada da f ’(2)=-3 ≤ 0, por lo que f es decreciente en 2. Finalmente estudiaremos el punto x =3. La derivada da f ’(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3.
