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1. Actividades de repaso.
Parte A
Para realizar correctamente las actividades de esta sección tendrás que:
Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. 1 Conocer las funciones exponenciales 𝑎𝑥^ y logarítmicas log𝑎 (𝑥) (para 𝑎 > 0 ), dominios, gráficas, comportamientos asintóticos, propiedades algebraicas y derivadas. 2 Conocer las funciones trigonométricas sen(𝑥), cos(𝑥), tan(𝑥), arc cos(𝑥), arc sen(𝑥) y arctan(𝑥) sus gráficas, propiedades algebraicas y derivadas. 3 Calcular la derivada de combinación de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas; determinar el dominio de las funciones derivadas y los valores estacionarios de las funciones (requiere resolver ecuaciones o inecuaciones sencillas con expresiones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas). 4 Calcular límites que involucran comportamientos asintóticos, orden de magnitud y límites combinados con límites conocidos de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Integración. 1 Calcular integrales definidas usando la relación con el área entre la gráfica de funciones y el eje 𝑥 y las propiedades de las integrales definidas. 2 Conocer las propiedades algebraicas y de monotonía de las integrales definidas de en [𝑎, 𝑏]. 3 Conocer la definición de antiderivada o primitiva de una función continua en un intervalo; y usarlas mediante la Regla de Barrow para calcular integrales definidas conociendo primitivas de una función continua en un intervalo. 4 Conocer y poder aplicar los métodos de sustitución, partes y fracciones simples para calcular integrales definidas e indefinidas.
Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Ejercicio 1 Determinar el dominio de las siguientes funciones.
a) 𝑔(𝑥) = log 3 ( 3 − 2 𝑥) b) 𝑓 (𝑥) = ln(𝑥^2 + 1 ) c) 𝑔(𝑥) = ln(𝑥) + log 3 ( 3 − 2 𝑥) d) ℎ(𝑥) =
ln(𝑥)
e) 𝑟 (𝑥) =
1 − 2 𝑥^
f ) 𝑟 (𝑥) =
1 − 2 𝑥^2 −𝑥+^5
g) 𝑗 (𝑥) =
sen(𝑥) 7 − 𝑒^2 𝑥−^3
h) 𝑞(𝑥) =
sen(𝑥) − 1
i) 𝑤(𝑥) =
cos(𝑥) − 3 j) 𝑝(𝑥) =
arctan(𝑥) 1 + 𝑥^2
1 − cos(𝑥)
Ejercicio 2 Determinar las derivadas de las siguientes funciones.
a) 𝑓 (𝑥) = ln(𝑥^2 + 𝑒𝑥^ ) b) 𝑔(𝑥) =
ln(𝑥)
c) 𝑟 (𝑥) =
sen(𝑥) − 1
d) 𝑚(𝑞) =
arctan(𝑞) 1 + 𝑞^2
e) 𝑥(𝑦) = cos(𝑒𝑦^ + 2 ) f) 𝑗 (𝑥) = ln( 3 𝑥) − ln( 5 𝑥)
g) 𝑝(𝑥) = 3 𝑥^ 𝑥^3 h) 𝑞(𝑥) = tan(𝑥^6 + 𝑒) + 𝜋𝑥^3 i) ℎ(𝑦) =
ln(𝑥) 𝑒−𝑥^
2 Capítulo 1. Actividades de repaso.
Ejercicio 3 Determinar los valores estacionarios de las siguientes funciones
a) 𝑓 (𝑥) =
ln(𝑥) √ 𝑥
b) 𝑓 (𝑥) =
𝑥^2
c) 𝑓 (𝑥) =
𝑥^2
𝑒𝑥^
d) 𝑓 (𝑥) = cos(𝑥) + 𝑥
e) 𝑓 (𝑥) = cos(𝑥) + 5 𝑥 f) 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥
2 g) 𝑓 (𝑥) = (2 ln(𝑥) + 1 )𝑥^2
Ejercicio 4 Calcular, justificando, el valor de los siguientes límites.
a) l´ım 𝑥→ 0
sen( 7 𝑥) 2 𝑥
b) l´ım 𝑥→ 0
sen( 4 𝑥) sen( 6 𝑥)
c) l´ım 𝑡→ 0
tan( 2 𝑡) 𝑡
d) l´ım 𝑡→ 0
tan( 6 𝑡) sen( 2 𝑡)
e) l´ım ℎ→ 0
sen^2 ( 3 ℎ) ℎ^2
f ) l´ım ℎ→ 0
ℎ cos(ℎ) − ℎ 3 ℎ^2
g) l´ım 𝑥→ 𝜋
sen(𝑥) 2 + cos(𝑥)
h) l´ım 𝑡→+∞ 𝑡 sen
i) l´ım 𝑥→+∞
3 + 𝑥^2 − 𝑒𝑥
𝑥 + ln(𝑥)
j) l´ım 𝑥→−∞ 𝑥^2 𝑒𝑥^ k ) l´ım 𝑥→ 0 +^ 𝑥 ln(𝑥) l) l´ım 𝑥→ 0 +^ sen(𝑥) ln(𝑥)
m) l´ım 𝑥→+∞ 𝑥 − ln(𝑥) n) l´ım 𝑥→ 0 +
ln(𝑥) 𝑥
ñ) l´ım 𝑥→ 1 +
ln(𝑥)
o) l´ım 𝑥→ 1 −
ln(𝑥)
Ejercicio 5 Determinar los comportamientos asintóticos verticales y horizontales de las siguientes funciones:
a) 𝑓 (𝑥) =
𝑥^4
𝑒𝑥^
b) 𝑓 (𝑥) =
sen(𝑥) 𝑥^2
c) 𝑓 (𝑥) =
− ln(𝑥)
Integración.
Ejercicio 6 Calcular las siguientes primitivas:
a)
𝑥(𝑥^2 + 2 )𝑑𝑥 b)
( 1 − 𝑡)( 1 + 2 𝑡^2 )𝑑𝑡 c)
(𝑒^2 𝑦^ − 2 𝑦^3 )𝑑𝑦 d)
𝑥^3 /^2 − 3 𝑥^ + 3 𝑥^3 𝑑𝑥
e)
sen(𝑥) 1 + cos^2 (𝑥)
𝑑𝑥 f )
𝑦(𝑦^2 + 6 )^9 𝑑𝑦 g)
𝑥^2 cos( 3 𝑥^3 + 1 )𝑑𝑥 h)
𝑥 cos( 3 𝑥)𝑑𝑥
i)
𝑥 ln(𝑥)𝑑𝑥 j)
𝑥𝑒−^2 𝑥^ 𝑑𝑥 k )
ln(𝑥) 𝑥^2
𝑑𝑥 l)
𝑥^2 − 1
m)
(𝑥 + 4 )(𝑥^2 − 1 )
𝑑𝑥 n)
𝑥^2 − 𝑥 − 6
𝑑𝑥 ñ)
𝑔^2 cos(𝑔^3 )𝑑𝑔 o)
(𝑥^2 + 1 )(𝑥 − 2 )
Ejercicio 7 Calcular las siguientes integrales definidas. En algunos pueden ser útiles los resultados del Ejercicio 6
a)
1
( 1 + 2 𝑦)^2 𝑑𝑦 b)
0
( 2 𝑒𝑥^ + 4 cos(𝑥))𝑑𝑥 c)
0
𝑡^2 + 1
𝑑𝑡 d)
1
√ 𝑢 √ 𝑢
e)
3
𝑥^3 +
3 𝑥 + 7 𝑑𝑥 f )
1
𝑥^5 ln(𝑥)𝑑𝑥 g)
0
𝑟^3
4 + 𝑟^2
𝑑𝑟 h)
2
𝑥^2 − 1
i)
0
𝑡^2 + 3 𝑡 + 2
𝑑𝑡 j)
0
𝑑𝑥 k )
1
3 𝑧^2 − 7 𝑧 + 2
𝑑𝑧 l)
0
(𝑥^2 + 1 )(𝑥 − 2 )
4 Capítulo 1. Actividades de repaso.
Ejercicio 11 Considerar 𝑓 y 𝑔 las funciones que se presentan en la gráfica. Marca con ≤ o ≥ en cada recuadro según corresponda.
a)
− 2
− 2
b)
0
0
c)
2
2
d)
− 1
0
e)
− 1
− 1
f)
1
1
Parte B
Deben tenerse en cuenta todos los ítems enunciados para la parte A en cuanto a comportamientos asintóticos, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométicas y técnicas de integración. También se requiere revisar y aplicar todos los resultados desarrollados en los módulos 4, 5, 6 y 7 para funciones continuas, funciones derivables y las aplicaciones de la derivada para el estudio de las funciones numéricas y los comportamientos asintóticos. Funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas. 1 Calcular analíticamente los intervalos de crecimiento/decrecimiento, los comportamientos asintóticos, los intervalos concavidad, los puntos de inflexión, valores máximos y mínimos relativos y absolutos de funciones que involucran a funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. 2 Realizar la gráfica de funciones que involucran a funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas según sus características de crecimiento, comportamientos asintóticos, concavidad, continuidad y derivabilidad. Integración. 1 Reconocer al área debajo de la gráfica de una función continua y positiva en un intervalo [𝑎, 𝑏] como el límite de las sumas parciales asociadas a particiones del intervalo con el tamaño de los subintervalos que tienden a cero. 2 Calcular área de regiones del plano comprendidas entre las gráficas de funciones usando integrales. 3 Reconocer al desplazamiento de un objeto como el límite de las sumas parciales asociadas a particiones del intervalo temporal con tamaños de los subintervalos que tiende a cero. 4 Conocer la definición de función integrable en un intervalo [𝑎, 𝑏] y las condiciones que garantizan la existencia de la integral definida en un intervalo [𝑎, 𝑏]. 5 Resolver problemas sencillos de cálculo de integrales definidas, áreas entre gráficas de funciones o de situaciones de modelado de variación en forma gráfica o que involucren primitivas conocidas Tabla 2 , del Módulo 9. 6 Conocer el Teorema Fundamental del Cálculo y poder utilizarlo para estudiar funciones integrales.
Ejercicio 12 En cada caso, determinar
a) Dominio de la función. e) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Intersecciones con los ejes cartesianos f) Su derivada segunda y su dominio. c) Sus comportamientos asintóticos. g) Sus intervalos de concavidad y puntos de inflexión. d) Su derivada y el dominio de su derivada. h) Sus valores máximos y mínimos relativos. Realizar la gráfica de cada función utilizando toda la información recolectada previamente.
a) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) b) 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑒𝑥^ c) 𝑓 (𝑥) = 𝑥^2 𝑒𝑥^ d) 𝑓 (𝑥) = ln(𝑥) 𝑥
e) 𝑓 (𝑥) =
f) 𝑓 (𝑥) = 𝑒^1 /𝑥^ g) 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑒^1 /𝑥^ h) 𝑓 (𝑥) = 𝑒−𝑥
2 i) 𝑓 (𝑥) =
Ejercicio 13 Encontrar los máximos y mínimos absolutos de las funciones en el intervalo indicado.
a) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 − 2 sen(𝑥) en el intervalo [ 0 , 𝜋]. b) 𝑓 (𝑥) = 𝑥−^2 ln(𝑥) en el intervalo [ 1 , 𝑒].
c) 𝑓 (𝑥) = 𝑥^2 𝑒−^3 𝑥^ en el intervalo [ 1 , 3 ].
Ejercicio 14 Considerar 𝑓 la función dada en la gráfica.
Calcular
0
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 en forma aproximada usando sumas de Riemann con: a) 10 intervalos de igual longitud y usando el borde de la derecha en cada intervalo. b) 5 intervalos de igual longitud y usando el borde de la izquierda en cada intervalo.
Ejercicio 15 Calcular en cada caso, usando integrales, el área de la región sombreada
3 𝜋 4
𝜋 2 𝑦 = 2 sen( 2 𝑥)
𝑦 = 5 𝑥 − 𝑥^2
𝑦 = 𝑥^2 − 2 𝑥 + 2
Ejercicio 16 Calcular el área de las regiones indicadas en cada caso.
a) La región entre la gráfica de la función 𝑓 (𝑥) = 2 𝑥 − 𝑥^2 y el eje 𝑥 para 𝑥 ∈ [ 2 , 3 ]. b) La región entre las gráficas de las funciones 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 1 )^2 y 𝑔(𝑥) = −𝑥^2 + 2. c) La región encerrada por las curvas 𝑦 = 2 𝑥^2 + 6 𝑥 + 4 , 𝑦 = 𝑥 + 2 d) La región entre la gráfica de la función 𝑓 (𝑥) = 𝑥^2 − 1 y el eje 𝑥 para 𝑥 ∈ [ 0 , 2 ]. e) La región encerrada por las gráficas de las funciones 𝑓 (𝑥) = 𝑥^3 − 𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑥. f) La región encerrada por las gráficas de las funciones 𝑓 (𝑥) = 3 𝑥 − 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥^3 − 𝑥 − 2.
