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Competencias matemáticas.

Instrumentos para las Ciencias

Sociales y Naturales

Colección: Aulas de verano

Serie: Ciencias

GOBIERNODE ESPAÑA MINISTERIODE EDUCACIÓN INSTITUTO DE FORMACIÓN DEL PROFESORADO,INVESTIGACIÓN E INNOVACIÓN EDUCATIVA

Índice

Competencias matemáticas y resolución de problemas: una visión instrumental 9 Inés M. Gómez-Chacón

Anexo: Construcción de arcos 28 Inés M. Gómez-Chacón, Violeta Espinosa Gómez y Beatriz Soto Monge

Representaciones y competencias matemáticas 39 Abraham Arcavi

Modelación matemática y finanzas 66 José Luis Fernández Pérez

La geometría dinámica como herramienta para desarrollar competencias de modelización en el Bachillerato 89 Philippe R. Richard

La modelización matemática. Algunos ejemplos en ESO y Bachillerato 116 Constantino de la Fuente Martínez

Recursos y ejemplificaciones en el aula: Geometría dinámica 142 José Luis Muñoz Casado

Estadística y probabilidad: una propuesta de tratamiento orientada al desarrollo de las competencias básicas 154 José Luis Álvarez García

La evaluación de competencias matemáticas: una apuesta de aprendizaje desde la elección de situaciones-problemas 180 Philippe R. Richard

MATERIAL COMPLEMENTARIO

El sol de media noche 200 Carlos Usón Villalba

Ediciones del Instituto de Formación del Profesorado, Investigación e Innovación Educativa 209

Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales

Las competencias matemáticas incluyen muchos aspectos tales como pensar matemáticamente, plantear y resolver problemas matemáticos, analizar y diseñar modelos, razonar y representar objetos y situaciones matemáticas, comunicar sobre matemáticas y comunicarse con las matemáticas.

Cada uno de los capítulos prioriza una de estas competencias, tratando de transmitir los resultados de las reflexiones e innovaciones realizadas no sólo en el contexto español sino en diferentes países.

En el capítulo 1, Competencias matemáticas y resolución de problemas: una visión instrumental, Inés M.ª Gómez-Chacón nos presenta la resolución de problemas desde la perspectiva del desarrollo de competen cias básicas en alumnos de Secundaria y Bachillerato. Sitúa algunos modelos y formas de actuación clave para la enseñanza y aprendizaje, desarrollando ejemplos y tareas a realizar en el aula y poniendo de mani fiesto algunas cuestiones sobre la contribución de la resolución de problemas a las competencias básicas en el ámbito de las Ciencias Sociales y Ciencias Naturales.

Abraham Arcavi, desde la experiencia de trabajo curricular y de formación de profesores en Israel —Weizmann Institute—, nos presenta en el capítulo 2 algunos de sus trabajos respecto a la competencia matemática de razonar y representar objetos y situaciones. Parte del supuesto que conocemos, construimos, operamos y enseñamos conceptos e ideas matemáticas a través de diversas representaciones, por lo tanto debemos desarrollar competencias para su manejo (lectura, creación, comunicación). Cada representación tiene pro piedades idiosincrásicas que merecen un análisis comparativo. En este capítulo se describen mediante ejem plos las características de diversas representaciones y se analizan sus implicaciones didácticas y educativas.

En el capítulo 3 titulado Modelación matemática y Finanzas, José Luis Fernández, del departamento de Ma temáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y Analistas Financieros Internacionales (AFI), afirma que

Presentación

hay modelos (siempre matemáticos) que buscan ayudar a entender algún aspecto concreto de cómo fun ciona el mundo, y modelos que persiguen predecir el comportamiento de una realidad física con precisión. Hay realidades complejas para las que disponemos de modelos muy precisos, y realidades simples para las que la modelación es todavía primaria. El autor describe el estado de la modelación matemática de las fi nanzas, del sistema financiero y sus instrumentos, de las herramientas matemáticas y de sus objetivos o de cuáles deben/pueden ser éstos.

Philippe R. Richard, de la Universidad de Montreal, en el capítulo 4 rehabilita, en cierto modo, el papel clave de la geometría como puente “natural” entre la modelización extramatemática e intramatemática. En particular, muestra cómo los software de geometría dinámica aparecen como herramientas privilegiadas que no solamente ayudan a dar sentido a los conceptos y procesos matemáticos, sino que ofrecen entornos potentes de experimentación que van más allá de los enfoques tradicionales en el aula.

Los capítulos 5, 6 y 9 nos permiten profundizar en las posibilidades y límites de la articulación de un currí culum por competencias. En los capítulos 5 y 9 se discuten algunos principios de los modelos didácticos- matemáticos que sustentan los diseños curriculares cuyo objetivo es apoyar el desarrollo de competencias matemáticas diversas. Se analiza la presencia de la competencia matemática en CCSS y CCNN y se proponen concreciones en relación. En el capítulo 5 Constantino de la Fuente Martínez —IES Cardenal López de Men doza, Burgos— presenta actividades de modelización referidas a Modelos funcionales para la modificación de las notas de un examen, modelos funcionales para el estudio de una enfermedad vírica, modelos geométricos para el estudio del Patrimonio Histórico-Artístico. Y en el capítulo 6 José Luis Muñoz Casado —del IES Salvador Dalí, Madrid—, bajo el titulo Recursos y ejemplificaciones para el aula, nos presenta una experiencia de situaciones didácticas de integración de las TIC y cómo pueden contribuir al desarrollo de

Competencias matemáticas y resolución

de problemas: una visión instrumental

Inés M.ª Gómez-Chacón

Introducción

1. Una visión instrumental: la matemática del pensamiento versus la matemática de la acción
2. Resolución de problemas y competencias básicas
3. Ejemplos de actividades y problemas 3.1. Procesos de pensamiento matemático y saberes actitudinales
4. Matematización, utilizar la tecnología para traer a la clase problemas del mundo real 4.1. Ejemplo 1: Exploración de variedad de figuras geométricas tomando imágenes del mundo real 4.2. Ejemplo 2: Construcción de Arcos 4.3. Ejemplo 3: Matemáticas e investigación policial
5. Guía para la implementación en el aula
6. Consideraciones finales

Referencias

Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales

Así, la Resolución de Problemas se plantea como el centro sobre el que gravita la actividad matemática en general, a la vez que se pone de relieve la importancia de los factores afectivos en la enseñanza y el apren dizaje de las Matemáticas.

En la propuesta que se presenta situamos el tema en una perspectiva instrumental, enfatizando la resolución de problemas no sólo como un objetivo general del área de Matemáticas, sino como una herramienta me todológica potente para el desarrollo de aspectos que pueden ayudar a que la Matemática devenga mo tivadora y formativa para los estudiantes.

El esquema que vamos a seguir es el siguiente: en primer lugar precisaremos el significado de “enfoque instrumental” para —a continuación— situar las finalidades de la Resolución de Problemas en el currículo español mediante la interacción entre competencias básicas y Resolución de problemas. Para finalizar se presentan algunos ejemplos relativos al “enfoque instrumental”, poniendo en evidencia algunas cuestiones sobre la contribución de la Resolución de Problemas a las Competencias Básicas.

1. U NA VISIÓN INSTRUMENTAL : LA MATEMÁTICA DEL PENSAMIENTO VERSUS

LA MATEMÁTICA DE LA ACCIÓN

Desde nuestro punto de vista —y así pretendemos reflejarlo en este capítulo— la finalidad que persigue la inclusión de la Resolución de Problemas en el currículo de Matemáticas es que el alumnado aprenda a pensar matemáticamente.

El pensamiento del que hablamos, tal como nos indicaba Polya (1954), no es soñar con los ojos abiertos, sino un “pensar dirigido hacia el objetivo o un pensar voluntario”. Partimos del supuesto de que el pensa

Inés M.ª Gómez-Chacón

miento matemático no es puramente “formal” (no se preocupa exclusivamente de axiomas, definiciones o pruebas rigurosas), sino que existen muchos otros aspectos que le son naturales a este tipo de pensamiento: generalizar a partir de casos observados con argumentos inductivos, o —por analogía— reconocer un con cepto matemático en una situación concreta y saber explicitarlo.

Respecto a cuáles serían los contenidos más apropiados para la educación inicial en Matemáticas, en el ám bito de la enseñanza en Matemáticas crece el consenso relativo a que los contenidos adecuados serían aquellos que de una forma eficaz aproximen al estudiante a lo más genuino de la actividad matemática, al método y a la forma característica del razonamiento y la creación matemática. Ahora bien, cualquier profesor o profesora que estuviese de acuerdo con esta aseveración se preguntaría a continuación con qué tipo de ejemplos, materiales y actividades trabajar para el logro de este aprendizaje.

En los ejemplos que a continuación mostraré parto de un principio: que en los procesos de aprendizaje las tec nologías digitales juegan hoy en día un papel preponderante que el profesorado no puede obviar. Desde un enfoque de resolución de problemas, este principio plantea un doble reto al profesorado: el desarrollo de nuevas competencias técnico-matemáticas y de nuevas formas de gestión del aula, requeridas por este tipo de recursos.

Desde el enfoque de competencias nos decantamos por una concepción que se sustenta no sólo en la en señanza de modelos matemáticos y procesos de matematización para caracterizar situaciones complejas del mundo real, sino en aquella que opta por el desarrollo de aptitudes y actitudes para resolver problemas complejos —dentro del espíritu de los trabajos de G. Polya—, registrando en qué grado la mediación tec nológica puede favorecer esta conjunción.

La propuesta desarrollada en este capítulo está avalada por los resultados de un estudio reciente sobre in tegración de tecnologías y desarrollo de actitudes matemáticas (Gómez-Chacón, en prensa). En él se ha

Inés M.ª Gómez-Chacón

Actualmente, la noción de competencia ocupa un lugar central no sólo en España, sino también en las reformas educativas de otros países. Esta aproximación demanda que los estudiantes adquieran las competencias dis ciplinares y transversales ligadas a los dominios de experiencia para la vida. En las situaciones de aprendizaje se pone el acento en el “saber hacer” y en la movilización de conocimientos en situaciones complejas.

Entendemos la competencia como

una capacidad de respuesta eficaz de cara a un conjunto de situaciones no rutinarias o no estereotipadas. Res ponde a un conjunto de conocimientos movilizables de cara a situaciones complejas (Perrenoud, 1999).

Esta capacidad de actuar eficazmente en tipos definidos de situaciones está apoyada en los conocimientos, pero no se agota en ellos. Con los conocimientos debemos poner en juego otros recursos complementarios de forma coordinada. El concepto de competencia incluye tanto los saberes (conocimientos teóricos) como las habilidades (conocimientos prácticos o aplicativos) y las actitudes (compromisos personales).

La organización del currículo a partir de las competencias busca propiciar una cultura escolar en la que los saberes no constituyan un bagaje inerte sino una forma dinámica de construcción acorde con la actividad de la persona que la adquiere. La competencia no se opone al saber, ni a los contenidos, ni a las disciplinas; únicamente pone el acento en la movilización de los saberes en situación^2.

El Real Decreto 1631/2006 enuncia las finalidades educativas en forma de ocho competencias básicas:

1. Competencia en comunicación lingüística.
2. Competencia matemática.

(^2) Se puede consultar VVAA (2002). Educación para la ciudadanía: Un enfoque basado en el desarrollo de competencias transversales. Apuntes IEPS. Madrid: Narcea.

Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales

3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.
4. Tratamiento de la información y competencia digital.
5. Competencia social y ciudadana.
6. Competencia cultural y artística.
7. Competencia para aprender a aprender.
8. Autonomía e iniciativa personal.

Aparecen competencias transversales y otras que surgen de un área de conocimiento concreta, pero que se transfieren a otros ámbitos en los que también son funcionales. Así pues, en cada materia —y en particular en Matemáticas— se incluyen referencias explícitas relativas a su contribución a aquellas competencias bá sicas a las se orienta en mayor medida.

En el Real Decreto se formula expresamente una competencia matemática: la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella.

La educación matemática, a través de la explicitación de estas competencias, subraya una serie de sub competencias, todas ellas básicas para un aprendizaje eficaz de la matemática. Entre otras, las siguientes:

— Competencia de Resolución de Problemas. — Competencia en el conocimiento y manejo de elementos matemáticos básicos. — Competencia crítica. — Competencias informativas, argumentativas y comunicativas. — Competencias afectivas o emocionales y actitudinales.

En el Cuadro 1 se resume la contribución de la materia de Matemáticas a la adquisición de las competencias básicas. El documento del Real Decreto en unos casos nos orienta, indicando contenidos específicos de la

Competencias matemáticas. Instrumentos para las Ciencias Sociales y Naturales

Competencias básicas Contribución de la asignatura de Matemáticas Competencia en comunicación lingüística

Todos los bloques de contenido. Tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico. Expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas. Procesos de comprensión en la Resolución de Problemas. Procesos de argumentación. Competencia matemática Toda la disciplina. Priorización de estilo de enseñanza. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico

Formas, relaciones y estructuras geométricas. Visión espacial. Transferencia de formas y representaciones entre el plano y el espacio. Modelización. Tratamiento de la información y competencia digital

La utilización de los lenguajes gráfico y estadístico para la comprensión en medios de comunicación. Interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información. Dominio tecnológico y digital. Competencia social y ciudadana Matemáticas para describir fenómenos sociales. Análisis funcional y Estadística. Tratamientos de los errores. Procesos de Resolución de Problemas. Competencia cultural y artística La matemática es expresión universal de la cultura. Geometría. Valor de la belleza en las estructuras. Valores de sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético. Competencia para aprender a aprender Técnicas heurísticas. Actitudes de perseverancia, autonomía, sistematización, reflexión crítica, eficacia. Autonomía e iniciativa personal Resolución de problemas. Planificar estrategias, procesos de toma de decisiones. Actitudes de perseverancia, autonomía, sistematización, reflexión crítica. CUADRO 1. Contribución de la materia a la adquisición de las competencias básicas

Inés M.ª Gómez-Chacón

3. E JEMPLOS DE ACTIVIDADES Y PROBLEMAS

Hasta aquí hemos presentado los cambios legislativos en lo que concierne a la Enseñanza Secundaria, y de forma específica lo referido a Resolución de Problemas y competencias básicas. En este apartado trataremos de propiciar una base experimental, presentando ejemplos y tareas a realizar en el aula.

El término ejemplo , en este contexto, incluye cualquier tipo de materia prima empleada para generalizar, incluyendo relaciones intuitivas y razonamientos inductivos; ilustrando conceptos y principios, indicando una categoría mayor, motivando, exponiendo posible variación y cambio, etc., y practicando la técnica.

A partir de esos ejemplos retomaremos algunas cuestiones que nos interesa destacar respecto a la contri bución de la Resolución de Problemas a las competencias básicas. El criterio rector que nos ha guiado en la selección de las actividades ha sido el de acompañar al estudiante en el desarrollo de procesos de pen samiento matemático y de matematización, que paso a presentar.

3.1. P ROCESOS DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO Y SABERES ACTITUDINALES

Con los alumnos hay que trabajar la toma de conciencia de los procesos que actúan en la Resolución de Problemas. Señalamos, como más representativos, la particularización, la generalización, la conjetura y la justificación o demostración. Aquí vamos a prestar atención a los procesos de argumentación y prueba y, dentro de ellos, a procesos que tienen que ver con la elaboración de imágenes mentales y desarrollo de la percepción.

Veamos algunos ejemplos.