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Capítulo 1: ComplejidadCapítulo 1: Complejidad

Análisis y Diseño de Algoritmos

Universidad de MálagaETSII Gestión y SistemasDpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

ÍndiceÍndice^

I.

Complejidad ◦ 1. 1 Introducción ◦ 1.2 Eficiencia de un algoritmo ◦ 1.3 Noción de complejidad. Determinación del tiempo deejecución ◦ 1.4 Cotas de complejidad. Notación asintótica

Análisis y Diseño de Algoritmos

◦^

1.4 Cotas de complejidad. Notación asintótica^ ^

1.4.1 Cota superior. Orden O ^

1.4.2 Cota inferior. Orden Ω ^

1.4.3 Orden exacto. Orden

Θ

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1.1 Introducción1.1 Introducción^

¿Cómo resolver un problema?^ ◦

1º. Especificarlo. ◦ 2º.

Diseñar

una posible solución.

◦^

3º. Expresarlo mediante un lenguaje de

Análisis y Diseño de Algoritmos

◦^

3º. Expresarlo mediante un lenguaje de programación. ◦^

4º.Validar y verificar lo realizadoanteriormente. ◦^

5º. Por último, se

evalúa

.

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1.2 Eficiencia de un algoritmo1.2 Eficiencia de un algoritmo^

Diseñar la solución

◦^

¿Qué método o algoritmo seguir para resolver un problema? Seaplicarán métodos a problemas diferentes pero concaracterísticas comunes. ◦^

¿Cuál es el objetivo?^ Crear nuevos y mejores algoritmos.

Análisis y Diseño de Algoritmos

Crear nuevos y mejores algoritmos. ◦^

¿Qué factores tendremos en cuenta?Eficiencia en la programación:

Facilidad de programación,

claridad, robustez, etc.Eficiencia empresarial:

relación entre los recursos consumidos y

los productos conseguidos.

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1.2 Eficiencia de un algoritmo1.2 Eficiencia de un algoritmo^

Recursos que requiere un algoritmo.

Análisis y Diseño de Algoritmos

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1.2 Eficiencia de un algoritmo1.2 Eficiencia de un algoritmo

◦^

Evaluar la solución^ ^

¿En qué medida es bueno el algoritmo?

^

¿Mejora las características de los anteriores?

◦^

¿Cómo medir la eficiencia de un algoritmo?

Análisis y Diseño de Algoritmos

^

Simplicidad.

^

Uso eficiente de los recursos.

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1.2 Eficiencia de un algoritmo1.2 Eficiencia de un algoritmo^

¿Cómo cuantificamos el tiempo? Operaciones elementales.

◦^

Operación elemental:

operación mínima cuyo tiempo de ejecución se

puede acotar superiormente por una constante que dependeráexclusivamente de la implementación utilizada: factores externos. Por lotanto, la constante no depende del tamaño ni de la naturaleza de los datosde entrada. ◦^

Ejemplos de operaciones elementales:

suma, acceso a tablas, asignación…

Análisis y Diseño de Algoritmos

◦^

Ejemplos de operaciones elementales:

suma, acceso a tablas, asignación…

^

Análisis: se utilizará sólo el número de operaciones elementalesejecutadas, y no el tiempo requerido para ellas.^ ◦^

Será dependiente de los factores externos.

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1.31.

Determinación del tiempo deDeterminación del tiempo de ejecuciónejecución^

¿Cómo medimos la eficiencia teórica de un algoritmo?

◦^

Tiempo:

NO, puesto que dependería del ordenador donde se

ejecutara. ◦^

t(n) = tiempo de ejecución del algoritmo i para una entrada dei tamaño n. ◦

Análisis y Diseño de Algoritmos

◦^

Principio de Invarianza:

SI, no depende del ordenador en el que

se ejecuta. La eficiencia de dos implementaciones diferentes delmismo algoritmo difiere únicamente en una constantemultiplicativa.

^

Principio de Invarianza^ ◦^

Si tenemos dos implementaciones de un mismo algoritmo detamaño

n

que tardan t

(n) y t 1

(n) segundos en ejecutarse, existe 2

una constante positiva

c

tal que para todo

n

se verifica que:

t(n) ≤^1

c

t(n).^2

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1.3 Determinación del tiempo de1.3 Determinación del tiempo deejecuciónejecución^

Eficiencia temporal

◦^

Se valora el tiempo de ejecución, es decir,

“lo rápido que se ejecuta”.

◦^

Enfoque empírico(a posteriori)

mide exactamente el tiempo de

ejecución. Se programan los algoritmos y se ejecutan para diferentessituaciones del problema.^ ^

Desventajas:^ ^

Depende de l lenguaje en el que se ha programado, del compilador, del ordenador

Análisis y Diseño de Algoritmos

^ Depende de l lenguaje en el que se ha programado, del compilador, del ordenador^ donde se ejecuta y de las habilidades del programador. ^ No se puede generalizar.

◦^

Enfoque teórico(a priori)

calcula una función matemática que

determina el tiempo de ejecución en función del tamaño de los datosde entrada del programa.^ ^

Ventajas:^ ^

Es generalizable a otras instancias, sin importar el tamaño.  Evita el esfuerzo de programar algoritmos ineficiente y desperdiciar tiempo deejecución haciendo pruebas.

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1.3 Determinación del tiempo de1.3 Determinación del tiempo deejecuciónejecución^

Ejemplo:

Ordenación por inserción

//@ pre: true

public static void insercion (int [] a) {

int pos, tmp, j; for ( pos = 1; pos < a.length; pos++ ) {

tmp = a[pos];

Análisis y Diseño de Algoritmos

tmp = a[pos]; j = pos-1;while ( 0 <= j

ЄЄ

tmp < a[j] ) {

a[j+1] = a[j];j--;

} a[j+1] = tmp;} }

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1.3 Determinación del tiempo de1.3 Determinación del tiempo deejecuciónejecución^

Idea clave:

para cada paso i, quedan ordenados los elementos a

, …, 1

ai-

y se inserta entre ellos el elemento a

, quedando ordenados losi

elementos a

, …, a 1

.i

^

Ordenar la siguiente colección de datos de entrada:^ ◦^

3

1

9

7

5

23

15

20

Análisis y Diseño de Algoritmos

◦^

3

1

9

7

5

23

15

20

^

Paso 1:

Numerar las líneas de código.

^

Paso 2:

Determinar las operaciones elementales.

^

Paso 3:

Estudiar los diferentes casos(mejor, promedio y peor).

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1.3 Determinación del tiempo de1.3 Determinación del tiempo deejecuciónejecución^

Pasos 1 y 2: //@ pre: true

public static void insercion (int [] a) {

int pos, tmp, j; (1)

for ( pos = 2; pos <= a.length; pos++ ) {

2 o.e.

(2)

tmp = a[pos];

2 o.e.

Análisis y Diseño de Algoritmos

1 o.e. al

2 o.e. al final

de cadaiteración

(2)

tmp = a[pos];

2 o.e.

(3)

j = pos-1;

2 o.e

(4)

while ( 0 < j

ЄЄ

tmp < a[j] ) {

4 o.e.

(5)

a[j+1] = a[j];

4 o.e

(6)

j--;

2 o.e.

}

(7)

a[j+1] = tmp;

3 o.e.

} }

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1 o.e. al principio

.

1.3 Determinación del tiempo de1.3 Determinación del tiempo deejecuciónejecución

2

(^10)

(^10)

2

(^10)

(^10)

2

(^10)

2

(^10)

12

∑^ ∑

∑

∑

∑^

∑

∑

∑^

∑

∑^

∑

=

− =

− =

=

− =

− =

=

− =

=

− =

pos pos

k

pos

k

pos

pos

pos

k

pos

pos

k

pos

pos

n t

n pos n

pos k

pos k

n pos

pos k

pos k

n pos

pos k

n pos

pos k

Capítulo 1: Complejidad

Análisis y Diseño de Algoritmos

2 2

2

2

2 2 2 2

∑

∑ ∑ ∑ ∑

=

= = = =^ n n

n

n

n

n

n

n

n

n n

pos pos

pos

pos

pos pos pos

pos^ n pos

n n pos n posn pos pos

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1.3 Determinación del tiempo de1.3 Determinación del tiempo deejecuciónejecución^

¿Es mejor el algoritmo que tiene menos o.e.?^ ◦

El algoritmo A resuelve un problema usando 2

n^ o.e.

◦^

El algoritmo B lo resuelve haciendo uso de n

3 o.e.

Análisis y Diseño de Algoritmos

◦^

Tenemos tres computadores diferentes:^ ^

Computador 1 realiza 10K o.e/seg ^

Computador 2 realiza 1M o.e./seg ^

Computador 3 realiza 100 o.e./seg

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