Análisis dimensional y similitud en mecánica de fluidos, Apuntes de Arte

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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD

MECANICA DE FLUIDOS

PROFESOR: CARLOS ALBERTO PALACIO TOBÓN UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA AMBIENTAL

DIMENSIONES Y UNIDADES

DIMENSIONES FUNDAMENTALES

Longitud [ L ], Tiempo [ T ], Masa [ M ] o Fuerza [ F ], Temperatura [ θ ].

DIMENSIONES DERIVADAS

• Densidad : [M 1

][L

• 3

][T

0

]

• Viscosidad dinámica : [M 1

][L

• 1

][T

• 1

]

• Tensión superficial : [M 1

][L

0

][T

• 2

]

NÚMEROS ADIMENSIONALES MÁS COMUNES En la MECÁNICA DE FLUIDOS existen varios números o parámetros que son característicos del flujo del fluido y de las propiedades que este posea.  Número de REYNOLDS (Re)  Número de FROUDE (Fr)  Número de EULER (E)  Número de MACH (M)  Número de WEBER (W)  Número de STANTON (St)  Número de CAUCHY (Ca)  Número de BOUSSINESQ (B)  Número de STROUHAL (S) Siguiendo la tradición, cada parámetro recibe el nombre de algún científico o ingeniero destacado, generalmente aquel que utilizó por primera vez el parámetro en consideración.

NÚMERO DE REYNOLDS (Re)

En 1880 OSBORNE REYNOLDS , estudió la transición entre el flujo laminar y turbulento a través de un tubo, y pudo descubrir que se puede determinar el estado de un flujo, de acuerdo al parámetro: V : Velocidad media del fluido. D : Longitud característica (diámetro en tuberías). ρ : Densidad del fluido. μ, 𝝂 : (^) Viscosidad dinámica y cinemática respectivamente, 𝝂 = 𝝁 𝝆 . REYNOLDS encontró qué en tuberías, el flujo turbulento siempre pasaba a ser laminar , cuando al disminuir la velocidad se hacía que Re valiera menos de 2000. Este índice es el número "crítico inferior de Reynolds". Para tuberías convencionales, el flujo cambiará de laminar a turbulento cuando Re se encuentra en el rango de 3000 a 4000. Para valores de Re mayores de 4000 el flujo será turbulento. 𝑹𝒆 = 𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂 𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂𝒔 𝒗𝒊𝒔𝒄𝒐𝒔𝒂𝒔 𝑹𝒆 = 𝒎𝑽 𝑽/𝑳 𝝂 𝝂 𝝆 = 𝒎𝑽 𝟐 /𝑳 𝝂 𝝂 𝒎/ 𝑫 𝟐 𝑳 𝑹𝒆 = 𝑽 𝟐 𝑫 𝟐 𝝂 𝟐 = 𝑽𝑫 𝜈 = ρ𝑽𝑫 𝝁

NÚMERO DE EULER (E)

Este número es también denominado coeficiente o parámetro de Cavitación , y está representado como: Donde: E = Fuerza de presión / Fuerza de inercia ΔP : (^) (Presión local - Presión corriente). V : Velocidad del flujo ρ : Densidad del fluido. El número de EULER es de gran importancia cuando se estudian las pérdidas de energía en una conducción con base en la diferencia de presiones entre dos puntos determinados. E = ∆𝑷 𝝆𝑽 𝟐 𝟐

NÚMERO DE MACH ( M )

Donde: En el año de 1870 , el físico ERNEST MACH , introdujo el parámetro: V : Velocidad flujo. c : Velocidad de propagación del sonido en el fluido. El número de MACH es fundamental para caracterizar los efectos de compresibilidad en un flujo o cuando las variaciones de densidad, debidas a la presión, son de gran importancia en los flujos de alta velocidad. c (m/s) Aire: 340 Agua: 1460 Acero: 5000 Valores comunes de c M = Energía cinética / Energía elástica  Subsónico → M < 1  Sónico → M = 1  Supersónico → M > 1 M =

Este número permite clasificar los flujos en:

VARIABLE DIMENSIONAL → valor numérico depende de la escala usada en su medida ( depende del sistema de unidades: longitud , tiempo , fuerza , energía , .. .) VARIABLE ADIMENSIONAL → valor numérico independiente del sistema de unidades de medida ( los ángulos , la relación entre dos longitudes, el rendimiento ..)

¿QUÉ ES EL ANÁLISIS DIMENSIONAL?

Es un método ingenieril que se basa en el principio de homogeneidad dimensional , que establece que: El análisis dimensional permite reducir el número y la complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado. “sí una ecuación expresa correctamente una relación entre variables, debe ser dimensionalmente homogénea , es decir, sus sumandos deben tener las mismas dimensiones” Si un fenómeno físico depende de n variables dimensionales, es posible reducir el problema a sólo k variables adimensionales, donde la reducción n-k puede ser 1 , 2 , 3 o 4 , dependiendo del número de dimensiones básicas que intervengan en el fenómeno. Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. Sin embargo, la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico.

Dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables , y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes , entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de (n–k) números adimensionales construidos con las variables originales. TEOREMA Π DE VASCHY-BUCKINGHAM u 1 = f (u 2 , u 3 , ..., u n ) π 1 = ϕ(π 2 ,π 3 ,..,π (n-k) ) (n-k)= j: es la reducción Donde: n: variables relacionadas en el problema k: número de dimensiones fundamentales que aparecen en el problema. k cantidades físicas dimensionalmente independientes

Paso 1. Identificar las variables: ΔP L = función (D, ρ, μ, V): n= 5 y sus unidades básicas:

APLICACIÓN DEL MÉTODO

Paso 2. Se requieren j =(n–k) = ( 5 – 3 ) = 2 : números adimensionales π. ΔP 𝑳 = 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 𝑳 = Δ 𝑷 𝑳 𝑷𝟏 𝑷 𝟐 𝑳 Pérdida de presión por unidad de longitud ΔP L en flujo incompresible a presión en una tubería circular lisa de diámetro D , con velocidad V. El problema se reduce a: π 1 = ϕ(π 2

ΔP

L

= FL

- 2 /L = FL - 3 D = L ρ = **FL

• 4 T 2 μ** = **FL
• 2 T V** = **LT
• 1** Resultan k= 3 dimensiones fundamentales: F , L y T Con k= 3 variables repetitivas.

F:: 0 = 1 + c L: 0 =- 3 + a + b - 4 c T: 0 = - b + 2 c PASO 3. Elegir entre las variables independientes (D, ρ, μ, V) las k= 3 variables repetidas ( que no se pueda formar un grupo adimensional entre ellas y que tengan todas las dimensiones fundamentales del problema ), por ejemplo: D, V , ρ. π 1 = ΔP L D a V b ρ c Se debe verificar que este número resultante sea en efecto adimensional 𝚷

= 𝑫∆𝑷

𝝆𝑽

a=1, b=-2, c=- 1

APLICACIÓN DEL MÉTODO

π 1

= ΔP

L

D

a V b ρ c PASO 4. Formar los términos π : Resolver para los coeficientes: π 1 = ΔP L D a V b ρ c y π 2 = μ D a V b ρ c F 0 L 0 T 0 = (FL

• 3 )(L) a (LT - 1 ) b (FL - 4 T 2 ) c

PASO 6. Verificación de la adimensionalidad de los números π : APLICACIÓN DEL MÉTODO A través de experimentos se puede establecer la forma de la función 𝒇(𝑹𝒆) , conocida como FACTOR DE FRICCIÓN

ΔP

L

Pérdida de presión por unidad de longitud, ΔP L : PASO 7. El resultado del análisis dimensional se puede expresar como π 1 = ϕ(π 2

𝐷∆𝑷 𝑳 𝜌𝑉 2 = 𝝋 𝜇 𝜌𝑉𝐷 = 𝝋 1 𝜌𝑉𝐷 𝜇 = 𝝓 1 𝑹𝒆 𝑫∆𝑷 𝑳 𝝆𝑽 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒇(𝑹𝒆) π 1

= (FL

• 3 )(L)/(FL - 4 T 2 )/(LT - 1 ) 2 = F 0 L 0 T 0 π 2

= (FL

• 2 T)/(L)/(LT - 1 )/(FL - 4 T 2 ) = F 0 L 0 T 0

LEY DE HAGEN-POISEUILLE :

.

FACTOR DE FRICCIÓN: 𝒇

 En RÉGIMEN TURBULENTO ( 2000 < Re< 10000 ) : Formula de COLEBROOK-WHITE para todo tipo de tuberías en régimen turbulento:  PARA FLUJOS LAMINARES ( Re< 2000 ): FÓRMULA DE BLASIUS : 1 𝒇 = −2𝑙𝑜𝑔 𝒆

3. 7 𝑫

2. 51 𝑹𝒆 𝒇

TUBERÍAS RUGOSAS :

TUBERÍAS LISAS :

⟶ 𝒇(𝑹𝒆, 𝒆 𝑫 ), con 𝒆 : longitud de rugosidad de la superficie.

EL DIAGRAMA DE MOODY

Caída de presión por unidad de longitud ΔP L para cualquier tipo de tubería ( lisa o rugosa ) en cualquier régimen de flujo ( laminar, transición o turbulento )

𝟐

ΔP 𝑳 = Δ 𝑷 𝑳 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝒉𝒇: perdidas de energía por unidad de peso 𝜸 = 𝝆𝒈: 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑫 Δ 𝑷 𝝆𝑽 𝟐 𝑳 = 𝟏 𝟐 𝒇 𝒉𝒇= 𝒇 𝑳 𝑫 𝑽 𝟐 𝟐𝒈 Ecuación de Darcy_Weisbach ∆𝑷 𝜸 :

FUERZA EJERCIDA POR UNA CORRIENTE Se quiere estudiar la FUERZA EJERCIDA POR UNA CORRIENTE UNIFORME DE FLUIDO SOBRE UN OBJETO INMERSO en él. Se sabe que esta fuerza, F , depende de la longitud del objeto, L , de la rugosidad de la superficie, ε , de la velocidad del flujo, V , de la densidad del fluido, ρ , y de su viscosidad, μ. Y se puede expresar como: Fuerza F M L T- 2 Longitud L L Rugosidad ε L Velocidad V L T

• 1 Densidad ρ M L-^3 Viscosidad dinámica μ M L
• 1 T
• 1 F= función (L, ε, V, ρ, 𝜇 ) 2 ) Aparecen las dimensiones M , L y T (k= 3 ) , por lo que se van a buscar j=(n-k)= 6 - 3 = 3 números adimensionales π : π 1 = ϕ(π 2 , π 3 ) 3 ) Con k = 3 : variables repetitivas. Se elige a ρ , V y L como variables repetitivas (no es posible formar un grupo adimensional entre ellas y tienen todas las dimensiones fundamentales entre ellas) V L 1 ) Lista de variables y sus dimensiones ( n = 6 ):