Ayudantía 5: Interpolación polinomial
La interpolación es un método que se usa para estimar valores medios entre dos puntos, si
además se utiliza este método para generar un polinomio que se adapte a una serie de
puntos, se obtiene así la interpolación polinomial. El grado del polinomio depende
directamente de la cantidad de puntos a interpolar.
Interpolación de Lagrange
El método de interpolación de Lagrange es una alternativa para formar un polinomio de
interpolación, el grado de este polinomio es 1 menos la cantidad de puntos por interpolar,
por ejemplo, si se quiere encontrar un polinomio a partir de 5 puntos, se obtendrá un
polinomio de grado 4. Este método de interpolación depende de las siguientes funciones:
＝
fn
(
(
x
)
)
∑
=i0
nLi
(
(
x
)
)
f
⎛
⎝
xi
⎞
⎠
＝
Li
∏
=j0
n
―――
-
x xj
-
xixj
≠
j1
A continuación se muestra un ejemplo donde se aplican estas formulas:
Ejemplo 1:
Aplique la interpolación de Lagrange para obtener un polinomio lineal, es decir, n=1.
＝
f1
(
(
x
)
)
+
―――
-
x x1
-
x0x1f
⎛
⎝
x0
⎞
⎠
―――
-
x x0
-
x1x0f
⎛
⎝
x1
⎞
⎠
Ejemplo 2:
Aplique la interpolación de Lagrange para obtener un polinomio de grado 2, es decir, n=2.
＝
f2
(
(
x
)
)
+
+
――――――
⎛
⎝
-
x x1
⎞
⎠
⎛
⎝
-
x x2
⎞
⎠
⎛
⎝
-
x0x1
⎞
⎠
⎛
⎝
-
x0x2
⎞
⎠
f
⎛
⎝
x0
⎞
⎠
――――――
⎛
⎝
-
x x0
⎞
⎠
⎛
⎝
-
x x2
⎞
⎠
⎛
⎝
-
x1x0
⎞
⎠
⎛
⎝
-
x1x2
⎞
⎠
f
⎛
⎝
x1
⎞
⎠
――――――
⎛
⎝
-
x x0
⎞
⎠
⎛
⎝
-
x x1
⎞
⎠
⎛
⎝
-
x2x0
⎞
⎠
⎛
⎝
-
x2x1
⎞
⎠
f
⎛
⎝
x2
⎞
⎠
Ejemplo 3:
Aplique la interpolación de Lagrange para la siguiente serie de puntos:
＝
x
y
⎡
⎢
⎣⎤
⎥
⎦1 4 5 6
0 1.3863 1.6094 1.7918
⎡
⎢
⎣⎤
⎥
⎦
Sabiendo que esta serie de puntos corresponde a la función logaritmo natural, aplique el
polinomio de Lagrange en 2 y compare el resultado con la función logaritmo natural.