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Estadística Inferencial

ESTADÍSTICA

Contenidos

• Definición de Variable aleatoria
• Probabilidad de un evento  Experimental  Teórica  Subjetiva
• Propiedades de las probabilidades
• Distribución de probabilidades  Variables discretas  Variables continuas

Probabilidad

Probabilidad de un evento: La frecuencia relativa con la que

puede esperarse la ocurrencia de dicho evento.

Formas en que se obtiene la probabilidad de un evento Empíricamente Teóricamente Subjetivamente

Probabilidad empírica o experimental

• Esta probabilidad es la frecuencia relativa observada con la

que un evento ocurre.

Probabilidad teórica (ejemplo) Los seis posibles resultados de un lanzamiento Espacio muestral para la rodadura de un dado 𝑺 = 𝟏, 𝟐 , 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 Considera una rodadura de un dado. Define el evento A como la ocurrencia de un número “mayor que 4 ”. ¿Cuál es la probabilidad de ocurrir A? En una rodadura de un dado, existen seis posibles resultados, lo que constituye n(S) = 6. El evento “mayor que 4 ” se satisface con la ocurrencia de un 5 o un 6; por tanto, n(A) = 2. Si se supone que el dado es simétrico y que cada número tiene una igual probabilidad de ocurrir la probabilidad de A 𝑷 𝑨 =

Probabilidad teórica (ejemplo) Considera una rodadura de dos dados. Define el evento A como la ocurrencia de que los dados sumen 2.

Propiedades de la probabilidad

Notas acerca de la propiedad 1

1. La probabilidad es 0 si el evento no puede ocurrir
2. La probabilidad es 1 si el evento ocurre todos las veces.
3. De otro modo, la probabilidad es un número fraccionario entre 0 y 1

Propiedades de la probabilidad

Notas acerca de la propiedad 2

1. La lista de “todos los resultados” debe ser un conjunto no traslapante de eventos que incluya todas las posibilidades

Distribución de probabilidades

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una tabla, una gráfica, una fórmula u otro sistema utilizado para especificar los valores posibles de la variable junto con sus probabilidades respectivas. Tipo de variable Discreta Distribución Binomial Distribución de Poisson Continua Distribución Normal Distribución t de Student Distribución Chi cuadrado Distribución Fisher

Distribución Binomial James Bernoulli ( 1654 – 1705) Experimento donde sólo puede ocurrir uno de dos resultados mutuamente excluyentes:

Simeon D. Poisson

Distribución de los sucesos raros^ (1781^ –^ 1840)

Aproximación de experimentos binomiales donde el número de pruebas o ensayos ( n ) es muy alto, pero la probabilidad de éxito ( p ) es muy baja.

! . x e p x x     Donde: x = 0, 1, 2,.... e = 2,72 (constante) λ = n.p = media de la dist. de Poisson Aplicación: Cálculo de probabilidades si n ≥ 30 y p ≤ 0 , 1

Distribución Poisson

Distribución Normal o de Gauss

La curva normal es un modelo matemático que representa la distribución más frecuente de los errores en las mediciones experimentales. Es una distribución de frecuencia para variables continuas. Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

• μ: media de todos los valores de la variable o media poblacional (posición)
• σ: desviación estándar poblacional (aplanamiento o levantamiento)
• x: valor de la variable

Distribución normal

(estándar o unitaria)

Distribución normal con: μ = 0 y σ = 1 Importancia Es una sola curva Es posible calcular de forma sencilla la probabilidad de obtener valores de la variable en un intervalo dado. Z : v. normalizada = (x – μ) / σ

Distribuciones asociadas a la Normal

Dependiendo del problema, podemos encontrar otras distribuciones.

• X 2

(Chi cuadrado)

• t- student
• F- Fisher

Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones

normales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertos

estadísticos.