¡Descarga Examen de Àlgebra Lineal (II) del curs 2015/2016 de la U.A.B. - Prof. Gallego y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Àlgebra Lineal (II) Curs 2015/
Grau de Física (i doble titulació) U.A.B.
Segon parcial
16 de juny de 2016
1.– Qüestions.
Per a cadascuna de les afirmacions següents, determineu si és certa o falsa, justificant la resposta. a) Una transformació afí de R^3 a R^3 que porta (1, 1 , 2) a (1, 2 , 3) i (1, 0 , 0) a (1, 1 , 2) no pot ser una translació. b) En un espai vectorial euclidià dos vectors no nuls u, v són ortogonals si i només si ||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2. c) Si A ∈ U(n) = {M ∈ Gl(n, C) : M¯ tM = M M¯ t^ = In} llavors det A = ± 1. d) Sigui f : U → V una aplicació lineal entre K-espais vectorials, i f ∗^ : V ∗^ → U ∗ l’aplicació dual. Llavors dim Im f = dim Im f ∗^ i dim ker f = dim ker f ∗.
Solució:
- Pregunta 1: Una translación es en particular una isometría. Si denotamos por P = (1, 1 , 2) y Q = (1, 0 , 0), entonces
d(P, Q) =
12 + 2^2 =
pero d(f (P ), f (Q)) =
12 + 1^2 =
Por lo que la aserción es CIERTA: f no puede ser una translación. Otra respuesta posible: La aplicación lineal subyacente a una translación es la identidad, pero
P Q =
(0, − 1 , −2) y
f (P )f (Q) = (0, − 1 , −1) por lo que a aserción es CIERTA: f no puede ser una translación.
- Pregunta 2. Respuesta aceptable: La aserción es CIERTA, es exactamente el enun- ciado del teorema de Pytágoras, válido en cualquier espacio euclídeo. Respuesta detallada. Por la relación entre módulo de un vector y el producto escalar:
||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 + 2〈u, v〉
Por lo que
||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 = 0 ⇔ 2 〈u, v〉 = 0 ⇔ u⊥v
O ses la aserción es CIERTA
- Pregunta 3. La aserción es FALSA. Por ejemplo, si n = 1, una matriz en U (1) es un número complejo z tal que zz = 1, es decir un complejo de módulo 1. Por ejemplo i ∈ U (1), y det (i) = i 6 = ± 1
- Pregunta 4. La aserción es FALSA. Por ejemplo si V es un espacio de dimensión n > 0 y U = 0, entonces f : 0 → V tiene: dim ker f = 0, dim Imf = 0. Pero f ∗^ : V ∗^ → 0 , tiene dim ker f ∗^ = n > 0 y dim Imf ∗^ = 0
2.– Considerem la forma bilineal de R^4 definida per 〈u|v〉 = uT^ Av, on
A =
a) Troba una matriu diagonal D de manera que A = ODOt^ amb O matriu ortogonal real. Justifica l’existència de la matriu ortogonal O i explica com calcular-la (no fer els càlculs!). b) Prova que si u i v són vectors linealment independents, i ortogonals respecte de 〈 | 〉, llavors 〈u|u〉 > 0 o 〈v|v〉 > 0.
Solució: a) La matriu és simètrica llavors, pel teorema espectral, admet una diagona- lització ortogonal. Podem calcular fàcilment el polinomi característic pA(x). Obtenim pA(x) = (x − 2)^3 (x + 2). Llavors la matriu diagonal D serà, per exemple,
D =
b) Considerem una base {e 0 , e 1 , e 2 , e 3 } respecte la qual la matriu del producte 〈 | 〉 sigui diag(− 1 , 1 , 1 , 1). Tenim que R^4 = 〈e 0 〉 ⊕ E amb el producte 〈 | 〉 és un espai de Lorentz i E = 〈e 1 , e 2 , e 3 〉 = 〈e 0 〉⊥^ amb el producte induït té estructura euclidiana. Suposem u, v ortogonals i independents tals que 〈u|u〉, 〈v|v〉 ≤ 0. Escrivim u = ae 0 + u′^ i v = be 0 + v′ amb u′, v′^ ∈ E i a, b ∈ R. Per l’ortogonalitat de u i v resulta que ab = 〈u′|v′〉 i per les condicions 〈u|u〉, 〈v|v〉 ≤ 0 tenim que ||u′||^2 ≤ a^2 , ||v′||^2 ≤ b^2. Si a = 0 llavors ||u′|| = 0 i u = 0 cosa que no pot ser ja que u i v són independents. El mateix argument serveix per b. Llavors a i b són no nuls i
a^2 b^2 = 〈u′|v′〉^2 = ||u′||^2 ||v′||^2 cos^2 ∠(u′, v′).
D’aquí resulta que cos^2 ∠(u′, v′) ≥ 1 per tant cos ∠(u′, v′) = ± 1 i ha de complir-se que v′^ = λu′. Com que cos ∠(u′, v′) = ± 1 també ha de passar que a^2 b^2 = ||u′||^2 ||v′||^2 i com que ||u′||^2 ≤ a^2 , ||v′||^2 ≤ b^2 resulta que ||u′||^2 = a^2 , ||v′||^2 = b^2 i u, v són vectors nuls i proporcionals (ja que b = λa) cosa que no pot ser. Per tant les condicions ‘u, v ortogonals tals que 〈u|u〉, 〈v|v〉 ≤ 0 ’ porten a contradicció i cal que 〈u, u〉 > 0 o que 〈v, v〉 > 0. Nota: s’admet argumentar sobre el caracter temporal dels vectors i donar per suposades propietats estudiades a classe de teoria o de problemes sobre els espais de Lorentz.
3.– Considerem les següents subvarietats de R^4 amb la seva estructura euclidiana ordinària:
L 1 = (1, 0 , 0 , 0) + 〈(1, 1 , 0 , 0), (0, 0 , 1 , 1)〉 i L 2 = (0, 1 , 0 , 0) + 〈(1, 0 , 0 , 1)〉 a) Calcula la distància entre L 1 i L 2. b) Troba una recta que talli perpendicularment L 1 i L 2. És única? Justifica la resposta.
