Teoría Lineal: Sumas de Subespacios Vectoriales, Apuntes de Álgebra

¡Descarga Teoría Lineal: Sumas de Subespacios Vectoriales y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

ALGEBRA LINEAL`

Curs 2012-

Teresa Crespo

24 d’abril de 2013

• 1 Espais vectorials
  • 1.1 Definici´o de cos
  • 1.2 Definici´o d’espai vectorial
  • 1.3 Independ`encia lineal
  • 1.4 Bases. Dimensi´o
  • 1.5 F´ormula de Grassmann
  • 1.6 Equacions d’un subespai vectorial
  • 1.7 Espai vectorial quocient
  • 1.8 Coordenades. Canvi de base
• 2 Aplicacions lineals
  • 2.1 Definici´o d’aplicaci´o lineal
  • 2.2 Nucli i imatge. Teorema d’isomorfia
  • 2.3 Matriu d’una aplicaci´o lineal. Canvi de base
• 3 Espai vectorial de les aplicacions lineals
  • 3.1 Definici´o.
  • 3.2 L’`algebra dels endomorfismes
  • 3.3 L’espai dual.
  • 3.4 Ortogonalitat
• 4 Diagonalitzaci´o
  • 4.1 Determinant d’un endomorfisme
  • 4.2 Vectors i valors propis
  • 4.3 Polinomi caracter´ıstic
  • 4.4 Criteri de diagonalitzaci´o
  • 4.5 Pot`encies d’una matriu
• 5 Formes can`oniques de Jordan
  • 5.1 Triangulaci´o d’endomorfismes
  • 5.2 Teorema de Cayley-Hamilton
  • 5.3 Polinomi m´ınim
  • 5.4 Subespais invariants 4 ´INDEX
  • 5.5 Descomposici´o en components prim`aries
  • 5.6 Formes can`oniques de Jordan
• 6 Q¨uestions complementaries
  • 6.1 Suma directa de m´es de dos subespais
  • 6.2 Matriu d’una aplicaci´o lineal

Notacions

Indiquem per N el conjunt dels enters naturals. Fem el conveni 0 ∈ N.

Indiquem per Z el conjunt dels enters.

Indiquem per Q el conjunt dels nombres racionals.

Indiquem per R el conjunt dels nombres reals.

Indiquem per C el conjunt dels nombres complexes.

Cap´ıtol 1

Espais vectorials

1.1 Definici´o de cos

Si A ´es un conjunt no buit, una operaci´o interna a A ´es una aplicaci´o de A × A en A. Indiquem la imatge de (a, b) per aquesta aplicaci´o per a ∗ b, o b´e a + b o b´e a · b (o ab) i diem que a A tenim definida l’operaci´o ∗, una suma, un producte, respectivament.

Exemples. La suma de vectors de Rn^ ´es una operaci´o interna. A Z tenim definides dues operacions internes, la suma i el producte.

Sigui ∗ una operaci´o interna definida en el conjunt A.

1. Diem que ∗ ´es associativa si (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), per a a, b, c elements de A qualssevol.
2. Diem que ∗ ´es commutativa si a ∗ b = b ∗ a, per a a, b elements de A qualssevol.
3. Diem que e ∈ A ´es element neutre per ∗ si a ∗ e = e ∗ a = a per a qualsevol element a de A.
4. Si e ´es element neutre per ∗ i a ´es un element de A, diem que un element b de A ´es sim`etric de a per ∗ si a ∗ b = b ∗ a = e.

Si l’operaci´o interna ´es suma, indiquem l’element neutre per 0 i diem oposat l’ele- ment simetric, escrivim −a l’oposat de a; si l’operaci´o interna ´es producte, indiquem l’element neutre per 1 i diem invers l’element simetric, escrivim a−^1 l’invers de a. Si A ´es un conjunt dotat de dues operacions internes: +, ·, diem que · ´es distributiva respecte de + si a · (b + c) = a · b + a · c i (b + c) · a = b · a + c · a per a a, b, c elements de A qualssevol.

Si A ´es un conjunt dotat d’una operaci´o interna ∗ i B un subconjunt de A, diem que B ´es estable per ∗ si es compleix

8 CAP´ITOL 1. ESPAIS VECTORIALS

a, b ∈ B ⇒ a ∗ b ∈ B.

Un grup ´es un conjunt no buit dotat d’una operaci´o interna associativa, amb element neutre i tal que tot element t´e simetric. Si a m´es l’operaci´o ´es commutativa diem que el grup ´es commutatiu o abelia.

Exemples.

1. Rn^ amb la suma de vectors ´es un grup commutatiu.
2. Z amb la suma usual ´es un grup commutatiu.
3. Q amb la suma usual ´es un grup commutatiu.
4. R amb la suma usual ´es un grup commutatiu.
5. El conjunt de matrius n × n amb coeficients a R, de determinant no nul, ´es un grup amb el producte de matrius. Si n ≥ 2, ´es grup no commutatiu.

Un anell ´es un conjunt A no buit dotat de dues operacions internes: +, ·, tals que

1. • ´es associativa, commutativa, amb 0 i tot element de A t´e oposat;
2. · ´es associativa i distributiva respecte de +.

Si a m´es, · ´es commutativa, diem que A ´es anell commutatiu. Si A t´e element neutre per ·, diem que ´es un anell amb unitat. En aquest cas, demanem 1 ̸= 0; si no fos aix´ı, tindriem A = { 0 }. Un element a d’un anell amb unitat A es diu invertible si t´e invers a A.

Exemples.

1. Z amb la suma i el producte ´es anell commutatiu amb unitat. Els elements invertibles s´on 1, −1.
2. El conjunt de matrius n × n a coeficients a R amb la suma i el producte de matrius ´es anell amb unitat: la matriu identitat n × n. Les matrius invertibles s´on les que tenen determinant diferent de 0.

Observem que en un anell A es compleix 0 · a = a · 0 = 0, per a tot element a de A ja que 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a ⇒ 0 · a = 0, restant 0 · a de les dues bandes de la igualtat. An`alogament es prova l’altra igualtat. Si a ´es element invertible de l’anell A, es compleix a · b = 0 ⇒ b = 0, ja que a · b = 0 ⇒ a−^1 · (a · b) = a−^1 · 0 = 0 i, d’altra banda, a−^1 · (a · b) = (a−^1 · a) · b = 1 · b = b.

10 CAP´ITOL 1. ESPAIS VECTORIALS

1. a(u + v) = au + av, per a a ∈ K; u, v ∈ E, qualssevol;
2. (a + b)v = av + bv, per a a, b ∈ K; v ∈ E, qualssevol;
3. (ab)v = a(bv), per a a, b ∈ K; v ∈ E, qualssevol;
4. 1v = v, per a tot v ∈ E, on 1 indica la unitat del cos K.

Habitualment, l’element neutre de la suma d’un espai vectorial E s’indica per

o per

(^0) E , si considerem m´es d’un espai vectorial. Si E ´es un espai vectorial sobre el cos K, anomenem vectors els elements de E, escalars els de K.

En el que segueix, K designar`a sempre un cos.

Proposici´o 1.2.1. Sigui E un K-espai vectorial, v ∈ E, a ∈ K. Es compleix

1. 0 v =

0 ; a

2. av =

0 ⇒ a = 0 o v =

3. (−1)v = −v.

Demostraci´o 1. Tenim 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v ⇒ 0 v =

0 i a

0 = a(

a

0 + a

0 ⇒ a

2. Si av =

0 i a ̸= 0, aleshores a ´es invertible i tenim a−^1 (av) = a−^1

0 , per l’apartat 1., i, d’altra banda a−^1 (av) = (a−^1 a)v = 1v = v.

3. (−1)v + v = (−1)v + 1v = (−1 + 1)v = 0v =

0 ⇒ (−1)v = −v. 2

Exemples.

1. Sobre qualsevol cos K, podem considerar l’espai vectorial trivial que cont´e nom´es el vector

2. Si K ´es cos, ´es espai vectorial sobre ell mateix, amb la suma i el producte de l’estructura de cos.
3. Si K ´es cos, el conjunt Kn^ d’n-ples d’elements de K, ´es a dir

Kn^ := {(x 1 ,... , xn) : x 1 ,... , xn ∈ K}

´es K-espai vectorial amb les operacions

(x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn) = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn),

per a (x 1 ,... , xn), (y 1 ,... , yn) ∈ Kn,

1.2. DEFINICI O D’ESPAI VECTORIAL´ 11

a(x 1 ,... , xn) = (ax 1 ,... , axn),

per a (x 1 ,... , xn) ∈ Kn, a ∈ K.

4. Si K ´es subc`os de L, L ´es K-espai vectorial amb la suma i el producte de l’es- tructura de cos de L.
5. Si K ´es cos, el conjunt K[X] de polinomis amb coeficients a K ´es K-espai vectorial amb la suma de polinomis i el producte

x(anXn^ + · · · + a 1 X + a 0 ) = xanXn^ + · · · + xa 1 X + xa 0 ,

per a anXn^ + · · · + a 1 X + a 0 ∈ K[X], x ∈ K.

6. Si K ´es cos, el conjunt Mm×n(K) de matrius de m files i n columnes amb coefi- cients a K ´es K-espai vectorial amb la suma de matrius i el producte

x(aij ) 1 ≤i≤m 1 ≤j≤n

= (xaij ) 1 ≤i≤m 1 ≤j≤n

per a (aij ) 1 ≤i≤m 1 ≤j≤n

∈ Mm×n(K), x ∈ K.

7. Si K ´es subc`os d’un cos L i E ´es L-espai vectorial, aleshores E ´es tamb´e K-espai vectorial amb la mateixa suma i el producte restringit als elements de K.

Sigui E un K-espai vectorial. Diem que un vector u ∈ E ´es combinaci´o lineal dels vectors v 1 ,... , vn de E si es compleix

u = a 1 v 1 + · · · + anvn,

per certs elements a 1 ,... , an de K que s’anomenen coeficients de la combinaci´o lineal.

Exemples.

1. A R^2 , el vector (1, 1) ´es combinaci´o lineal de (1, −1) i (0, 1), ja que (1, 1) = (1, −1) + 2(0, 1).
2. El vector

0 ´es combinaci´o lineal de qualsevol conjunt finit de vectors amb tots els coeficients iguals a 0.

Definici´o 1.2.2. Un subconjunt no buit F d’un K-espai vectorial E s’anomena subes- pai vectorial de E si es compleixen les dues condicions seg¨uents.

1. u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F ;

1.3. INDEPEND ENCIA LINEAL` 13

´es a dir si l’´unica manera d’escriure el vector zero com a combinaci´o lineal de vectors de S ´es amb tots els coeficients iguals a 0. En cas contrari, diem que S ´es linealment dependent sobre K.

Exemples.

1. Si

0 ∈ S, aleshores, S ´es linealment dependent. Si S ´es linealment dependent i S ⊂ T , aleshores T ´es tamb´e linealment dependent.

2. Si u ´es un vector de E, {u} ´es linealment independent si i nom´es si u ̸=

3. Els vectors 1, i de C s´on linealment independents sobre R per`o linealment depen- dents sobre C.
4. Els vectors (1, 0), (0, 1) de R^2 s´on linealment independents.
5. El subconjunt {Xn}n≥ 0 de K[X] ´es linealment independent.

Proposici´o 1.3.1. Sigui E un K-espai vectorial, v 1 ,... , vn ∈ E. El vectors v 1 ,... , vn s´on linealment dependents si i nom´es si un d’ells ´es combinaci´o lineal dels altres.

Demostraci´o. Si v 1 ,... , vn s´on linealment dependents, es compleix

a 1 v 1 + · · · + anvn =

per certs a 1 ,... , an de K, no tots nuls. Reordenant la suma si cal, podem suposar a 1 ̸= 0 i obtenim

v 1 = −a− 1 1 (a 2 v 2 + · · · + anvn). Rec´ıprocament, si v 1 = b 2 v 2 + · · · + bnvn, amb b 2 ,... , bn ∈ K, tenim

1 v 1 − b 2 v 2 − · · · − bnvn =

i, com 1 ̸= 0, els vectors v 1 ,... , vn s´on linealment dependents. 2

Proposici´o 1.3.2. Sigui S un subconjunt linealment independent d’un K-espai vecto- rial E, u un vector de E. Es compleix

u ̸∈ ⟨S⟩ ⇔ S ∪ {u} ´es linealment independent.

Demostraci´o. Provarem “u ∈ ⟨S⟩ ⇔ S∪{u} ´es linealment dependent” que ´es equivalent a l’enunciat de la proposici´o. Si u ∈ ⟨S⟩, tenim u = a 1 v 1 + · · · + anvn, amb v 1 ,... , vn ∈ S, a 1 ,... an ∈ K, per tant, per 1.3.1 {u, v 1 ,... , vn} ´es linealment dependent i com S ∪ {u} el cont´e, tamb´e ho ´es. Rec´ıprocament, si S ∪ {u} ´es linealment dependent, ha

d’existir una combinaci´o lineal de vectors de S ∪ {u} igual a

0 amb algun coeficient no nul. Per`o, com S ´es linealment independent, ha de ser no nul el coeficient de u i obtenim u ∈ ⟨S⟩. 2

14 CAP´ITOL 1. ESPAIS VECTORIALS

1.4 Bases. Dimensi´o

Una base d’un K-espai vectorial E ´es un sistema de generadors de E, linealment independent sobre K.

Proposici´o 1.4.1. Un subconjunt B d’un K-espai vectorial E ´es base de E si i nom´es si tot vector de E s’escriu com a combinaci´o lineal de vectors de B d’una ´unica forma.

Demostraci´o. Suposem que B ´es base de E. Per definici´o, B ´es sistema de generadors de E, per tant tot vector de E s’escriu com a combinaci´o lineal de vectors de B. Suposem ara que tenim dues maneres d’escriure un vector v de E com a combinaci´o lineal de vectors de B, diem v =

u∈B auu, v^ =^

u∈B buu, on nom´es un nombre finit de coeficients au i bu s´on no nuls. Obtenim

u∈B (au^ −^ bu)u^ =^

0 ⇒ au − bu = 0, ∀u ∈ B ⇒ au = bu, ∀u ∈ B, per ser B linealment independent. Rec´ıprocament, si tot vector de E s’escriu com a combinaci´o lineal de vectors de B, B ´es sistema de generadors i, si

0 s’escriu d’una ´unica forma com a combinaci´o lineal de vectors de B, aquesta ha de ser amb tots els coeficients nuls i, per tant B ´es linealment independent. 2

Volem provar ara que tot espai vectorial no trivial t´e una base. Per aixo necessitem un resultat de teoria de conjunts, el lema de Zorn. Abans d’enunciar-lo, introduim alguns conceptes sobre relacions d’ordre. Una relaci´o d’ordre en un conjunt S ´es una relaci´o binaria, que escrivim x ≤ y, que compleix les propietats seg¨uents.

1. x ≤ x, ∀x ∈ S (reflexiva);
2. x ≤ y i y ≤ z ⇒ x ≤ z, ∀x, y, z ∈ S (transitiva);
3. x ≤ y i y ≤ x ⇒ x = y, ∀x, y ∈ S (antisim`etrica).

Si, a m´es, es compleix que per a cada parella d’elements x, y de S tenim x ≤ y o y ≤ x, diem que la relaci´o d’ordre ´es total.

Exemples.

1. Considerem el conjunt P(C) de subconjunts d’un conjunt C amb la relaci´o d’in- clusi´o. Es relaci´´ o d’ordre, no total si C t´e m´es d’un element.
2. La relaci´o d’ordre usual ´es relaci´o d’ordre total a N. La relaci´o de divisibilitat ´es relaci´o d’ordre no total a N.

Sigui S un conjunt ordenat. Un element a de S diem que ´es m´ınim si es compleix a ≤ x, per a tot x ∈ S. Analogament un element b de S diem que ´es maxim si es compleix x ≤ b, per a tot x ∈ S. Clarament, si S t´e m´ınim (resp. m`axim), aquest

16 CAP´ITOL 1. ESPAIS VECTORIALS

2. Si tenim un espai vectorial E generat per un conjunt finit de vectors, S, per obtenir una base de E formada per vectors de S, fem el proc`es seg¨uent. Si S ´es linealment independent, ja estem. Si no, per 1.3.1, hi ha un vector v a S que ´es combinaci´o lineal dels restants. Clarament S \ {v} tamb´e genera E. Reiterem el proc´es amb el conjunt S \ {v}. Com S ´es finit, arribem a una base de E.

Proposici´o 1.4.5 (Lema de Steinitz). Sigui B := {u 1 ,... , un} una base del K-espai vectorial E i siguin v 1 ,... , vm vectors de E, linealment independents. Aleshores podem substituir m vectors de la base B pels vectors v 1 ,... , vm de forma a obtenir una nova base de E. En particular m ≤ n.

Demostraci´o. Vegem que podem introduir els vectors v 1 ,... , vm d’un en un, substituint vectors de B. Com B ´es base, tenim

v 1 = a 1 u 1 + · · · + anun, (1.1)

per certs a 1 ,... , an ∈ K. Com v 1 forma part d’un conjunt de vectors linealment independent, v 1 ̸=

0 i per tant algun ai ´es no nul. Reordenant la base, podem suposar a 1 ̸= 0. Aleshores tenim

u 1 = a− 1 1 (v 1 − a 2 u 2 − · · · − anun). (1.2)

Vegem que {v 1 , u 2 ,... , un} ´es base de E. De (1.1) i (1.2), obtenim ⟨v 1 , u 2 ,... , um⟩ =

⟨u 1 , u 2 ,... , um⟩ = E, per tant generen E. Ara si b 1 v 1 + b 2 u 2 + · · · + bnun =

substituint v 1 per la seva expressi´o a (1.1) i operant, obtenim b 1 a 1 u 1 + (b 2 + b 1 a 2 )u 2 +

· · · + (bn + b 1 an)un =

0 , que implica b 1 a 1 = b 2 + b 1 a 2 = · · · = bn + b 1 an = 0, per ser B base. Com a 1 ̸= 0, obtenim b 1 = 0 i b 2 = · · · = bn = 0. Suposem ara que hem substitu¨ıt h vectors de la base B pels vectors v 1 ,... , vh. Reordenant si cal la base B, podem suposar que hem substitu¨ıt els h primers i tenim doncs la base {v 1 ,... , vh, uh+1,... , un}. Ara tenim

vh+1 = a 1 v 1 + · · · + ahvh + ah+1uh+1 + · · · + anun. (1.3)

Si veiem que algun dels ai, amb h + 1 ≤ i ≤ n ´es no nul, podem substituir el vector ui per vh+1 i obtenir una nova base, com en el primer pas. Si fos ah+1 = · · · = an = 0, la igualtat (1.3) ens donaria que els vectors vh+1, v 1 ,... , vh s´on linealment dependents, en contradicci´o amb la hip´otesi. 2

Corol·lari 1.4.6. Si el K-espai vectorial E t´e una base finita, aleshores totes les bases de E tenen el mateix nombre d’elements.

Demostraci´o. Siguin B = {u 1 ,... , un} i B′^ dues bases de E. Per a tot subconjunt finit {v 1 ,... , vm} de vectors de B′, tenim m ≤ n. Per tant, B′^ ´es finit i |B′| ≤ |B|. Aplicant de nou el lema de Steinitz a la base B′^ i el conjunt de vectors independents B, obtenim |B| ≤ |B′|. 2

1.5. F ORMULA DE GRASSMANN´ 17

La dimensi´o d’un espai vectorial ´es el nombre de vectors que cont´e una de les seves bases, si s´on finites. Si l’espai vectorial no t´e cap base finita, diem que t´e dimensi´o infinita. La dimensi´o de l’espai vectorial {

0 } ´es 0. Posem dimK E (o dim E si ´es clar sobre quin cos K ´es E espai vectorial) la dimensi´o del K-espai vectorial E.

Exemples. dimK Kn^ = n, dimK K[X] = ∞, dimR C = 2, dimC C = 1.

Corol·lari 1.4.7. La dimensi´o d’un espai vectorial coincideix amb el nombre m`axim de vectors linealment independents que cont´e i tamb´e amb el nombre m´ınim de generadors.

Demostraci´o. Es conseq¨´ u`encia del lema de Steinitz i de l’observaci´o 1.4.4. 2

Observaci´o 1.4.8. El lema de Steinitz d´ona una forma efectiva de completar a base un conjunt de vectors linealment independents.

Corol·lari 1.4.9. Sigui F un subespai vectorial del K-espai vectorial E. Si E t´e di- mensi´o finita, F tamb´e i es compleix dimK F ≤ dimK E. A m´es dimK F = dimK E ⇔ F = E.

Demostraci´o. Sigui {u 1 ,... , un} una base de E i sigui B una base de F. Com B ´es linealment independent, pel lema de Steinitz 1.4.5, per qualsevol subconjunt finit {v 1 ,... , vm} de B, tenim m ≤ n. Tenim doncs que B ´es finita i dimK F ≤ dimK E. Si dimK F = dimK E, una base B de F ´es un conjunt de vectors de E linealment independent amb tants vectors com dimK E i ´es per tant base de E. Tenim doncs F = ⟨B⟩ = E. 2

Diem rang d’un conjunt de vectors la dimensi´o de l’espai vectorial que genera, ´es a dir rg S = dim⟨S⟩. Equivalentment, el rang d’un conjunt de vectors ´es el nombre m`axim de vectors linealment independents que cont´e.

1.5 Intersecci´o i suma de subespais vectorials.

F´ormula de Grassmann.

Proposici´o 1.5.1. Siguin E un K-espai vectorial, F, G dos subespais vectorials de E. Aleshores F ∩ G ´es subespai vectorial de E.

Demostraci´o. Vegem que F ∩ G compleix les condicions de la definici´o 1.2.2. Primer −→ 0 pertany a F i G i, per tant a F ∩ G. Tenim doncs F ∩ G ̸= ∅. Ara

u, v ∈ F ∩ G ⇒

u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F (F subespai vectorial de E) u, v ∈ G ⇒ u + v ∈ G (G subespai vectorial de E)

⇒ u + v ∈ F ∩ G,

1.5. F ORMULA DE GRASSMANN´ 19

Per l’observaci´o 1.5.3, ´es clar que {u 1 ,... , um, v 1 ,... , vn, w 1 ,... , wl} ´es sistema de generadors de F + G. Suposem

a 1 u 1 + · · · + amum + b 1 v 1 + · · · + bnvn + c 1 w 1 + · · · + clwl =

amb a 1 ,... , am, b 1 ,... , bn, c 1 ,... , cl ∈ K. Tenim

a 1 u 1 + · · · + amum + b 1 v 1 + · · · + bnvn = −(c 1 w 1 + · · · + clwl). (1.4)

El vector −(c 1 w 1 + · · · + clwl) ´es de G, per ser combinaci´o lineal dels vectors de la base de G i, per l’igualtat (1.4) ´es tamb´e de F ; ´es doncs de F ∩ G i tenim

−(c 1 w 1 + · · · + clwl) = d 1 u 1 + · · · + dmum,

per certs d 1 ,... , dm ∈ K, que implica

c 1 w 1 + · · · + clwl + d 1 u 1 + · · · + dmum =

i c 1 = · · · = cl = d 1 = · · · = dm = 0, per ser {w 1 ,... , wl, u 1 ,... , um} base de G. Substituint a (1.4), obtenim

a 1 u 1 + · · · + amum + b 1 v 1 + · · · + bnvn =

que implica a 1 = · · · = am = b 1 = · · · = bn = 0, per ser {u 1 ,... , um, v 1 ,... , vn} base de F. 2

Exercici 1.5.5. Sigui E l’espai vectorial de matrius 2 × 2 amb coeficients a R, F i G els subespais vectorials definits per

F :=

, G :=

a b c d

: a + d = 0

Calculeu la dimensi´o i doneu bases dels subespais F + G i F ∩ G.

Soluci´o. En la base (( 1 00 0 ) , ( 0 10 0 ) , ( 0 01 0 ) , ( 0 00 1 )) de E, els generadors de F tenen coor- denades (1, − 2 , 0 , 1), (0, 1 , 1 , 1), (1, − 1 , 2 , 1). Fent reducci´o de Gauss





obtenim dim F = 3. Les matrius de G s´on de la forma

( a b c −a

= a

• b

• c

20 CAP´ITOL 1. ESPAIS VECTORIALS

i les matrius ( (^10) −^01 ) , ( 0 10 0 ) , ( 0 01 0 ) s´on linealment independents, per tant dim G = 3. Les matrius de F s´on de la forma

x

• y

• z

x + z − 2 x + y − z y + 2z x + y + z

Una matriu de F ´es tamb´e de G si compleix 0 = (x + z) + (x + y + z) = 2x + y + 2z ⇔ y = − 2 x − 2 z. Les matrius de F ∩ G s´on doncs de la forma

( x + z − 4 x − 3 z − 2 x −x − z

= x

• z

Per tant dim(F ∩ G) = 2 i una base de F ∩ G ´es

− 2 − 1

0 − 1

. Apliquem la f`ormula de Grassmann per determinar dim(F + G). Tenim dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G) = 3 + 3 − 2 = 4. Per tant, dim(F + G) = 4 ⇒ F + G = E i podem donar com a base de E + F la base (( 1 00 0 ) , ( 0 10 0 ) , ( 0 01 0 ) , ( 0 00 1 )) de E. 2

Siguin F i G subespais vectorials del K-espai vectorial E. Diem que la suma F + G ´es suma directa, i l’escrivim F ⊕ G, si tot vector de F + G s’escriu com a suma d’un vector de F i un de G en forma ´unica.

Proposici´o 1.5.6. La suma F + G ´es directa si i nom´es si F ∩ G = {

Demostraci´o. Suposem que la suma ´es directa i sigui u ∈ F ∩ G. Podem escriure u = u +

0 , on u ∈ F,

0 ∈ G i tamb´e u =

0 + u, on

0 ∈ F, u ∈ G. Com tot vector de F + G s’escriu en forma ´unica com suma d’un vector de F i un de G, ha de ser u =

Suposem ara F ∩ G = {

0 } i siguin u = uF + uG, u = u′ F + u′ G dues maneres d’escriure el vector u de F + G com suma d’un vector de F i un de G. Tenim doncs uF − u′ F = u′ G − uG, on el terme de l’esquerra ´es un vector de F i el de la dreta de G.

Tenim doncs uF − u′ F ∈ F ∩ G = {

0 } que implica uF = u′ F i uG = u′ G. 2

Corol·lari 1.5.7. Si la suma de F i G ´es directa i F i G tenen dimensions finites, tenim

dim(F ⊕ G) = dim F + dim G.

Proposici´o 1.5.8. Si la dimensi´o de E ´es finita, per a tot subespai vectorial F de E, existeix un subespai G de E tal que E = F ⊕ G.

Demostraci´o. Sigui {u 1 ,... , um} una base de F i {u 1 ,... , um, um+1,... , un} una com- pletaci´o a base de E. Aleshores el subespai G := ⟨um+1,... , un⟩ compleix E = F ⊕ G. 2

Un subespai G com el de la proposici´o anterior s’anomena complementari de F en E.