Algebra ejercicios para ejercitar la mente, Apuntes de Álgebra

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ÁLGEBRA

Prof. WILY RAMOS

curso

NÚMEROS

COMPLEJOS Y

ECUACIONES LINEAL

Y CUADRÁTICA

curso

EJEMPLO 2

Para la ecuación de incógnita 𝑥

𝟎𝒙 = 0 , se tiene

Luego : 𝑪𝑺 = 𝟐; 𝟑; 𝟏; …. = ℂ

EJEMPLO 3

Para la ecuación de incógnita 𝑥

𝟎𝒙 = 2 , se tiene

OBSERVACIONES:

La ecuación: 𝑎𝑥 = 𝑏, de incógnita x.

Cumplirá:

✓ Si: 𝒂 = 𝟎 ∧ 𝒃 = 𝟎 , la ecuación tendrá

infinitas soluciones.

✓ Si: 𝒂 = 𝟎 ∧ 𝒃 ≠ 𝟎 , la ecuación no tiene

solución alguna.

OBSERVACIONES:

✓ Si una ecuación presenta infinitas

soluciones, se denomina compatible

indeterminada.

✓ Si una ecuación no presenta solución,

se denomina incompatible.

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ECUACIÓN LINEAL

Son de la forma

Su resolución

Como

𝒃 𝒂

, es la solución o raíz de la ecuación

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Son de la forma

𝟐

✓ Esta ecuación siempre presenta 2 raíces

pero no necesariamente 2 soluciones.

✓ En esta ecuación se define:

𝟐

− 𝟒𝒂𝒄 (Discriminante)

✓ Sus raíces vienen dadas por la formula

general

Observaciones

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TEOREMA DE CARDANO PARA LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Sea la ecuación cuadrática

𝟐

De raíces denotadas por 𝑥 1 𝑦 𝑥 2 entonces

se cumple:

−𝒃 𝒂

✓ 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠: 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 =

𝒄 𝒂

Además usando la identidad de legendre:

2

2

EJEMPLO

✓ En la ecuación: 2 𝑥

2

− 5 𝑥 + 11 = 0 , se

cumple:

𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠: 𝑥 1 + 𝑥 2 =

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠: 𝑥 1. 𝑥 2 =

✓ En la ecuación: − 3 𝑥

2

− 5 𝑥 + 7 = 0 , se

cumple:

𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠: 𝑥 1 + 𝑥 2 =

• 5 − 3

5 3

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠: 𝑥 1. 𝑥 2 =

+𝑓 −𝑓^ +𝑓

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NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Sea la ecuación cuadrática

𝟐

• 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎; 𝑎; 𝑏; 𝑐 ⊆ ℝ

✓ En esta ecuación se define:

𝟐

− 𝟒𝒂𝒄 (Discriminante)

✓ Sus raíces vienen dadas por la formula

general

Luego en función al valor del discrimínante se

puede afirmar.

✓ Si Δ = 0 , entonces sus raíces son reales e

iguales.

✓ Si Δ > 0 , entonces sus raíces son reales y

diferentes.

✓ Si Δ < 0 , entonces sus raíces no son reales

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FORMA BINOMIAL DE UN NÚMERO

COMPLEJO

Si 𝒛 = 𝒂; 𝒃 , entonces 𝒛 = 𝒂; 𝒃 = 𝒂 + 𝒃𝒊

En el cual se define En el cual se define

EJEMPLO:

✓ 2 , 3 = 2 + 3 𝑖: Complejo imaginario

✓ 0 , 3 = 0 + 3 𝑖: Complejo imaginario puro

1 2

1 2

+ 0 𝑖: Complejo real

DEFINICIONES

Para 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 ⊂ ℝ, se define

∗

TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

Para 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 ⊂ ℝ, se define

✓ Si: 𝒂 = 𝟎 ∧ 𝒃 ≠ 𝟎 → 𝒛 = 𝟎 + 𝒃𝒊 = 𝒃𝒊ณ 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒐 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒑𝒖𝒓𝒐 ✓ Si: 𝒂 ≠ 𝟎 ∧ 𝒃 = 𝟎 → 𝒛 = 𝒂 + 𝟎𝒊 = ณ𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒐 𝒓𝒆𝒂𝒍

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En el cual se define

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA:

1 = 𝑖 𝑖 2 = − 1 𝑖 3 = −𝑖 𝒊 𝟒 = 𝟏

5 = 𝑖 𝑖 6 = − 1 𝑖 7 = −𝑖 𝒊 𝟖 = 𝟏

9 = 𝑖 𝑖 10 = − 1 𝑖 11 = −𝑖 𝒊 𝟏𝟐 = 1

4 𝑘 = 1 ✓ 𝑖 4 𝑘+𝑛 = 𝑖 𝑛 ✓ 𝑖 1

• 𝑖 2
• 𝑖 3
• 𝑖 4 = 0 ✓ 𝑖 1
• 𝑖 2
• 𝑖 3
• 𝑖 4
• 𝑖 5
• ⋯ + 𝑖 4 𝑘 = 0 EJEMPLO: Calcular 𝑆 = 1 + 𝑖 + 𝑖 2
• 𝑖 3
• ⋯. +𝑖 2020 SOLUCIÓN: 𝑆 = 1 + 𝑖 + 𝑖 2
• 𝑖 3
• ⋯. +𝑖 4 ( 505 ) 𝑆 = 1 + 0 = 1

EJEMPLO:

Calcular 𝑆 = 1 + 2𝑖 + 3𝑖 2

• 4𝑖 3
• ⋯. +2021𝑖 2020 SOLUCIÓN: 𝑆 = 1 + 2𝑖 + 3𝑖 2
• 4𝑖 3
• ⋯. +2021𝑖 2020 𝑖𝑆 = 𝑖 + 2 𝑖 2
• 3𝑖 3
• 4𝑖 4
• ⋯. +2021𝑖 2021

𝟐

• 𝒊 𝟑
• ⋯ + 𝒊 𝟐𝟎𝟐𝟎 − 2021 𝑖 2021 𝑆 1 − 𝑖 = 1 − 2021 𝑖 4 505 + 1 𝑆( 1 − 𝑖) = 1 − 2021 𝑖 1 𝑆 =

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REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO:

Es la representación geométrica en el plano de Argand, en honor a su creador Jean Robert

Argand.

Sea: 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊; 𝑎; 𝑏 ∈ ℝ

Eje real Eje imaginario (^) Módulo de 𝑧 : ✓ 𝒛 = 𝒂 𝟐

• 𝒃 𝟐 Conjugado de 𝑧: ✓ 𝒛ത = 𝒂 − 𝒃𝒊 Opuesto de 𝑧: ✓ 𝒛 ∗ = −𝒂 − 𝒃𝒊 Argumento principal de 𝑧: ✓ 𝜽 Forma Polar o trigonométrica de 𝑧: ✓ 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖 𝒛 = 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒛 = 𝒛 𝒄𝒊𝒔𝜽

𝜃 −𝑏 𝒛ത = 𝒂 − 𝒃𝒊

∗ = −𝒂 − 𝒃𝒊

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SOLUCIÓN:

01. Represente en forma polar los siguientes complejos: 𝑧 = − 3 + 4 𝑖 𝑦 𝑤 = 1 − 1. 𝑖

Eje real Eje imaginario − 3

𝜃 53° Argumento de 𝑧: 𝜃 + 53° = 180° 𝜃 = 127° Forma Polar o trigonométrica de 𝑧: 𝒛 = 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒛 = 𝒛 𝒄𝒊𝒔𝜽 𝒛 = 𝟓. 𝒄𝒊𝒔𝟏𝟐𝟕° Eje real Eje imaginario 1 − 1

𝑤 = 2 𝜃 45 ° Argumento de 𝑤: 𝜃 + 45 ° = 36 0° 𝜃 = 315° Forma Polar o trigonométrica de w: 𝒘 = 𝒘 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒘 = 𝒘 𝒄𝒊𝒔𝜽 𝒘 = 𝟐. 𝒄𝒊𝒔𝟑𝟏𝟓°

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1. Si 𝛼 = − 1 2

3 2

1 2

3 2 𝑖. Determine 𝛼 𝑛

• 𝛽 𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ

A)2𝑐𝑜𝑠 2𝑛𝜋 3

B) 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋 C)2𝑠𝑒𝑛

2𝑛𝜋 3

D) 1 E) 𝑖

𝑛

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2. Si 𝑧 𝑦 𝑤 ∈ ℂ, resuelva ቊ

. E indique 𝑅𝑒 𝑧 𝑤 A) 1 B) 1 / 2 C) 1 / 3 D)− 1 E) 0

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4. Sean 𝑧, 𝑢 𝑦 𝑤 números complejos definidos por: 𝑧 ҧ= 𝑖 2 𝑒 𝑖 3𝜋 (^4) ; 𝑢 + 𝑖 = 𝑒 𝑖 𝜋 (^2). 1 ; − 1 ; 𝑤 = − 1 ; 1 −^2. Halle el complejo 𝑧 2
   • 2 𝑢ത + 𝑤 − 1 A)− 2 + 4𝑖 B) 4 + 2𝑖 C) 4 − 2𝑖 D) 4 − 4𝑖 E) 2 − 4𝑖

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5. Sean 𝑥 𝑒 𝑦 números reales que satisfacen la ecuación: 𝑥 − 2𝑦 𝑖 − 3𝑥 + 4𝑦𝑖 − 6𝑥𝑖 + 6 𝑒 𝑖𝜋 = 0 Halle el valor de 𝑥 − 𝑦. A)- 7 B)- 3 C)7 D)2 E)