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ALGEBRA LINEAL.
ING. TELECOMUNICACIONES.
CONVOCATORIA ORDINARIA DE FEBRERO 5-2-
SOLUCIÓN
Problema 1.- Dadas las matrices
A =
B =
se pide:
- (0.8 puntos) Calcular las formas escalonadas reducidas por las y por
columnas de A y B.
- (0.3 puntos) ¾son los sistemas AX = 0 y BX = 0 equivalentes?
- (1 punto) Calcular bases del núcleo y la imagen de las aplicaciones f
y g que, respecto de las correspondientes bases canónicas, vienen dadas
por A y B respectivamente.
- (0.4 puntos) Determinar si cada uno de los siguientes vectores pertenece
a la imagen de f y/o g:
v 1 = (3, 0 , 1)
v 2 = (1, 1 , −
1 2
1 2
v 3 = (1, 0 , 0)
v 4 = (1, 0 , 0 , 0)
SOLUCIÓN
- Las formas escalonadas por las y por columnas de A son
Hf (A) =
H
c(A) =
Las de B son
Hf (B) =
Hc(B) =
- Si, son equivalentes puesto que el sistema escalonado reducido obtenido
a partir de ambos es el mismo:
x + z = 0
y − z = 0
- Para f , como unas ecuaciones del núcleo son
x + z = 0
y − z = 0
(por ser un sistema equivalente con AX = 0) una base es { 1 , − 1 , −1)}.
La base de la imagen son las columnas de la f. e. r. por columnas de
A:
{(1, 0 , 1 /3), (0, 1 , 1 /3)}
Análogamente para g, la base del núcleo es la misma que la de f , y la
de la imagen la de las columnas de Hc(B):
- Es inmediato que v 1 y v 3 no pueden pertenecer a la imagen de g
porque no tienen la dimensión adecuada. Del mismo modo, v 2 y v 4
no pueden pertenecer a la imagen de f. Nos queda comprobar que
v 1 ∈ Im(f ) puesto que es un múltiplo del primer vector de la base dada
y v 3 ∈/ Im(f ) puesto que es l.i. con los de la base. Para g, v 2 ∈ Im(g)
pero v 4 ∈/ Im(g).
Problema 2.- En R
4 se consideran los subespacios
U ≡ x + y + z = 0 W ≡
x = 0
y − z = 0
- (1 punto) Calcular bases de U ∩ W y U + W.
- (1 punto) Calcular U
⊥ y W
⊥ y dar un complementario para U y otro
para W distintos de los anteriores.
- (0.5 puntos) Calcular pU (1, 1 , 1 , −1) y pW (0, 1 , − 1 , 1).
SOLUCIÓN
- U ∩ W tiene ecuaciones cartesianas
x + y + z = 0
x = 0
y − z = 0
x = 0
y = 0
z = 0
Problema 3.- Dada la matriz simétrica:
C =
- (1.5 puntos) Calcular una matriz ortogonal P tal que P
t CP sea di-
agonal.
- (1 punto) Calcular una matriz regular Q tal que Q
t CQ sea diagonal
y en la diagonal sólo contenga los valores 1, 0 y/o -1.
SOLUCIÓN
- Calculamos el polinomio característico:
|C−λI| =
1 − λ 1 1 1
1 1 − λ − 1 − 1
1 − 1 1 − λ − 1
1 − 1 − 1 1 − λ
1 − λ 1 1 1
2 − λ 2 − λ 0 0
2 − λ 0 2 − λ 0
2 − λ 0 0 2 − λ
Después de estas operaciones elementales desarrollamos por la primera
columna:
|C−λI| = (1−λ)(2−λ)
3 −(2−λ)
3 −(2−λ)
3 −(2−λ)
3 = (2−λ)
3 (1−λ−3) =
(2 − λ)
3 (− 2 − λ)
Así tenemos dos valores propios distintos: λ = 2 con multiplicidad
algebraica 3 y λ = − 2 con multiplicidad algebraica 1. Calculamos los
subespacios propios asociados:
Vλ=2:
C − 2 I =
v
Con lo que las ecuaciones cartesianas son x = y + z + t y una base
Vλ=− 2 :
C − 2 I =
v
Con lo que las ecuaciones cartesianas son
x = −t
y = t
z = t
y una base {(− 1 , 1 , 1 , 1)}. Para obtener la matriz de paso ortogonal P ,
basta tomar bases ortonormales de los subespacios propios.
Base ortonormal de Vλ=2: aplicando el método de Gram-Schmidt a la
base obtenida se tiene
v 1 = (1, 1 , 0 , 0); v 2 = (1, 0 , 1 , 0) + α(1, 1 , 0 , 0) ajustando para que sean
ortogonales α = − 1 / 2 y v 2 = (1/ 2 , − 1 / 2 , 1 , 0); v 3 = (1, 0 , 0 , 1) +
α(1, 1 , 0 , 0) + β(1/ 2 , − 1 / 2 , 1 , 0) y calculando α = − 1 / 2 y β = − 1 / 3
se tiene v 3 = (1/ 3 , − 1 / 3 , − 1 / 3 , 1).
Una base ortonormal de Vλ=2 es
Y una base ortonormal para Vλ=− 2
Así la matriz ortogonal pedida puede ser:
P =
√^1 2
√^1 6
1 2
√ 3
1 2
√^1 2
√^1 6
1 2
√ 3
1 2
0 √^2 6
1 2
√ 3
1 2
0 0
3 2
√ 3
1 2
- Para calcular la matriz Q diagonalizamos por congruencia:
C =
∼f il
∼col
- (0.5 puntos) Calcular los elementos geométricos necesarios para clasi-
carla.
- (0.8 puntos) Calcular la matriz asociada en la base
B = {(1, − 1 , −1), (1, 0 , 1), (1, 2 , −1)}
SOLUCIÓN
- Puesto que la matriz está dada en la base canónica que es ortonormal,
sólo hay que comprobar que AA
t = I
AA
t
= I
- Para calcular el subespacio de los vectores jos usamos la matriz A−I:
A − I =
Así que las ecuaciones cartesianas son
x = −z
y = z
y como tiene dimensión 1, se trata de una ROTACIÓN.
- El eje de rotación es el subespacio de los vectores jos: la recta
x = −z
y = z
Nos queda calcular el ángulo de rotación. Tomamos un vector perpen-
dicular al eje de giro: por ejemplo (1, 0 , 1) y calculamos su imagen:
y el coseno del ángulo que forman es
cosα =
||(1, 0 , 1)||^2
con lo que α = π/ 3.
- Puede hacerse directamente, planteando el diagrama correspondiente
y quedará que la matriz pedida es:
Q
− 1 AQ
donde
Q =
También puede razonarse que en la base
B
′ = {
la matriz asociada es muy sencilla (la base es ortonormal y el primer
vector es un vector jo):
C =
1 2
√ 3 2
0
√ 3 2
1 2
y la matriz de cambio de base de B
′ a B es también muy sencilla:
P =
√^1 3
√^1 2
√^1 6
y su inversa es
P
− 1
y la matriz buscada es
P CP
− 1
1 2
3 2 0
1 2
1 2
