`
Algebra lineal. Curs 2015-2016 Examen parcial (2016-04-18)
Cal resoldre exercicis diferents en fulls diferents. Encara que la suma de les puntuacions
parcials sigui 30, la puntuaci´o m`axima d’examen que es pot obtenir ´es de 25 punts.
Q¨uesti´o 1. (8 punts) Defineix espai vectorial quocient i demostra l’enunciat seg¨uent.
Siguin Eun espai vectorial de dimensi´o finita i F⊆Eun subespai. Llavors, F´es de
dimensi´o finita i dim E/F = dim E−dim F.
Q¨uesti´o 2. (8 punts) Siguin Kun cos i E,F, espais vectorials sobre K. Descriu l’estruc-
tura d’espai vectorial producte en el conjunt producte cartesi`a E×Fi demostra l’enunciat
seg¨uent. Si G⊆E´es un subespai vectorial, llavors hi ha un isomorfisme E∼
=G×E/G.
Problema 1. Siguin Kun cos, E:= K[X]≤3l’espai vectorial dels polinomis en la in-
determinada X, de grau menor o igual que 3, i de coeficients en K, i F:= M(2,2; K),
l’espai vectorial de les matrius de dues files i dues columnes i coeficients en K. Siguin
B1:= {1, X, X 2, X3}i
B2:= {[1 0
0 0],[0 0
1 0],[0 1
0 0],[0 0
0 1]}.
Per a cada λ∈K, sigui φλ:E−→ Fl’aplicaci´o lineal donada per
φλ(a0+a1X+a2X2+a3X3) := a0I+a1Aλ+a2A2
λ+a3A3
λ, a0, a1, a2, a3∈K,
on I=[1 0
0 1]iAλ=[λ0
1λ].
(a) (2 punts) Calcula la matriu Mλassociada a φλrespecte les bases B1iB2,
(b) (2 punts) Calcula les dimensions del nucli i la imatge de φλ,
(c) (2 punts) Sigui fλ:K4−→ K4l’aplicaci´o lineal definida, en la base can`onica de K4,
per la matriu Mλ. Per a quins valors de λse satisf`a que ker(fλ)∩im (fλ)={0}?
Problema 2. Sigui E:= R[X]≤2l’espai vectorial dels polinomis de coeficients reals i
grau ≤2. Per a cada P∈E, es defineix l’aplicaci´o
ωP:E−→ R, ωP(Q) := ∫1
0
P(X)·Q(X)dX.
(a) (2 punts) Prova que ωP´es una forma lineal i que l’aplicaci´o f:E−→ E∗definida
per f(P) := ωP´es lineal.
(b) (2 punts) Calcula les coordenades de les formes ω1,ωXiωX2en la base dual de la
base {1, X, X 2}i demostra que {ω1, ωX, ωX2}´es una base de E∗.
(c) (2 punts) Calcula els polinomis P∈Etals que ωPpertany al subespai ⟨1, X ⟩⊥.
(d) (2 punts) Sigui φl’endomorfisme de Edefinit per φ(P) := P′, on P′designa el
polinomi derivat. Calcula la matriu de l’aplicaci´o dual φ∗en la base {ω1, ωX, ωX2}.
1
