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Algebra Computacional
Grado en Matem´aticas
Prueba presencial de evaluaci´on continua - 31 de mayo de 2012
1. (7 puntos) Dada la matriz
−1 1 0 −1
0000
1412
0−2−1−1
clasificar el endomorfismo que representa en la base {e1, e2, e3, e4}si es posible, lo que
implicar´ıa dar la matriz can´onica en forma de Jordan y una base de Jordan dando expl´ıci-
tamente sus coordenadas respecto de la base mencionada. En caso de que no sea posible
la clasificaci´on razonar por qu´e no lo es.
2. (3 puntos) Sea T2la m´etrica cuya matriz en la base {e1, e2, e3, e4}es la del ejercicio
anterior, y sea ¯
Eel subespacio generado por ¯e1=e1,¯e2=e4. Sea ¯
T2la restricci´on de T2
a¯
E. Calcular c2
1(¯
T2⊗¯e2⊗(2 ¯e1−3 ¯e2)).
Resoluci´on
1. Polinomio caracter´ıstico: x2(x2+x+ 1).
dimKer(A) = 1, luego no diagonaliza.
Polinomio anulador: PT
a(x) = cT(x).
Forma can´onica de Jordan
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 −1
Base de Jordan:
KerA =h(−1,0,−1,1)i,KerA2=h(−3,1,0,1),(−2,1,1,0)i
Ker(A2+A+Id) = h(−1,0,0,1),(−1,0,1,0)i
Una posibilidad de base de Jordan:
e1∈KerA2\KerA, por ejemplo e1= (−2,1,1,0) y e2=Ae1= (3,0,3,−3).
e3∈Ker(A2+A+Id), por ejemplo e3= (−1,0,0,1) y e4=Ae3= (0,0,1,−1).
2. Matriz asociada a ¯
T2:−1−1
0−1.
¯
T2=−¯ω1⊗¯ω1−¯ω1⊗¯ω2−¯ω2⊗¯ω2
¯
T2⊗¯e2⊗(2 ¯e1−3 ¯e2) = −¯ω1⊗¯ω1⊗¯e2⊗(2 ¯e1−3 ¯e2)−¯ω1⊗¯ω2⊗¯e2⊗(2 ¯e1−3 ¯e2)
−¯ω2⊗¯ω2⊗¯e2⊗(2 ¯e1−3 ¯e2)
c2
1(¯
T2⊗¯e2⊗(2 ¯e1−3 ¯e2)) = −2¯ω1⊗¯e2−2 ¯ω2⊗¯e2+ 3¯ω2⊗¯e2=−2¯ω1⊗¯e2+ ¯ω2⊗¯e2